5.5. Спектральное оценивание

Определенные в 4 разделе статистические величины: корреляционная фун­­к­ция В() и спектральная плотность интенсивностиG(i) стационарного слу­чайного процесса, как правило, не доступны для непосредственного измерения, так как требуют вычисления средних по статистическому ансамблю, что эквивалентно для эргодических процессов усреднению по бесконечному интервалу времени. Обычно же при измерениях возможно усреднение по ограниченному числу реализаций или по конечному интервалу времени. Полученные таким образом величины называютсяоценками. Любая оценка, выполненная по конечной выборке или конечному интервалу времени, является случайной величиной, имеющей математическое ожидание и дисперсию. Будем считать случайный процесс эргодическим и рассматривать оценкиВ_Т() иG_Т(i), соответственно, гдеТ– интервал усреднения (см. п. 3.4).

Оценка G_Т(i) называетсянесмещенной, если

(5.0)

и состоятельной, если

. (5.0)

Аналогично определяются несмещенность и состоятельность оценки В_Т().

Рассмотрим оценивание спектральной интенсивности методом фильтрации, когда в течение интервала времени Тусредняется квадрат напряжения на вы­ходе узкополосного фильтра с центральной частотой₀и АЧХ вида

К(|–₀|) = 1,К(|–₀| >) = 0 (см. п. 5.2), на вход которого воздейству­ет исследуемый случайный процесс(t). Если полоса пропускания достаточно узкая, то в ее пределах можно принятьG(i) =G(i₀) =const. С учетом соотношений (4.5), (5.1) и (5.3) по­лу­ча­ем:

Заметим, что из эргодичности случайного процесса (t) отнюдь не следует эргодичность процесса(t–₁)^*(t–₂). Процессы, для которых

, (5.0)

называются корреляционно-эргодическими. Нормальный эргодический процесс является и корреляционно-эргодическим, доказательство не сложно, но до­вольно громоздко. В силу теоремы о нормализации (см. п. 5.4) случайный процесс на выходе узкополосного измерительного фильтра является нормальным и, следовательно, корреляционно-эргодическим. Практически все эргодичес­кие процессы являются и корреляционно-эргодическими. Тогда из условия (5.26), используя соотношение (4.4), получим:

Таким образом, при конечной ширине полосы пропускания из­ме­ри­те­ль­ного фильтра оценка G_T(i), вообще говоря, смещена. Она являетсяасим­п­то­ти­чес­кинесмещенной, так как <G_T(i)>G(i) при0. Будем считать, что смещением оценки для достаточно узкой полосы пропускания измерите­ль­ного фильтраможно пренебречь. Тогда для нормальных процессов с учетом соотношения (5.26) дисперсия этой оценки составит

. (5.0)

Формула (5.27) выводится не слишком сложно, но достаточно громоздко.

За оценку корреляционной функции обычно принимается величина

. (5.0)

Нетрудно показать, что это несмещенная оценка, ее дисперсия обратно пропорциональна времени усреднения Т.

При цифровом спектральном оценивании используется оценка

G_T(i) = |X_T(i)|²/(2T), (5.0)

где

– (5.0)

текущий(оконный,скользящий) спектр реализации. Покажем несмещенность этой оценки. По аналогии с выводом соотношения (3.6), обозначая=₂–₁, получим, считая процесс корреляционно-эргодическим в смысле формулы (5.26):

Из определения оконного спектра (5.30) непосредственно следует, что , то есть оконный спектр реализации стремится к ее спектру при неограниченном увеличении окна. Это и поясняет физический смысл формулы (4.7).

Если вычисление спектра производится с помощью дискретного преобразования Фурье

, (5.0)

где – шаг дискретизации, то можно показать, что дисперсия этой оценки обратно пропорциональна числу отсчетовD[G_T(i)] =G²(i)/N. Смещение оценки обусловлено конечной шириной главного лепестка спектра ДПФ и составляет приблизительно <G_T(i)> –G(i) =G(i)/N.