8. Стохастические дифференциальные уравнения

8.1. Постановка задачи

Уравнение ФПК (7.20) получено для марковского процесса первого порядка, то есть случайного процесса в системе первого порядка. Однако многие задачи радиофизики описываются моделями более высокого порядка, например, генератор с обратной связью и так далее. Для анализа этих систем можно применить разные методы, например,свести систему к первому порядку, для автогенератора это возможно в рамках метода медленно меняющейся амплитуды. Другой способ –учесть, что для однозначного решения n-го порядка необходимо задатьпначальных условий(0), …,^{(n – 1)}(0), или, что то же самое, значения функции(t) вппредшествующих точках. Такой случайный процесс, для которого распределение вероятности в момент времениt₀определяется зна­чениями функции в ппредшествующих моментах времени, называется мар­ков­ским процессомп-го порядка. Но если ввести n-мерную случайную функцию, то для такой векторной функции случайный процесс будет марковским процессом первого порядка, то есть все его конечномерные распределения приt>t₀зависят только от ,следовательно, можно использовать многомерное уравнение ФПК вида(7.40).

Однако непосредственное применение уравнений ФПК к реальным физическим процессам не всегда очевидно. Неясно, как связать коэффициенты АиВс параметрами системы. Процессы в физических системах описываются диф­ференциальными уравнениями вида

, (8.0)

где – дифференциальные операторы,f(t) – воздействие на систему,x(t)–реакция системы. В статистической радиофизике можно считать, что уравнение (8.1) записано для реализациих(t) случайного процесса(t) в системе.

Случайный характер уравнения (8.1) обычно подразделяют на 3класса:

а) система под воздействием случайной силы f(t); б) система со случайными па­раметрами; в) система со случайными начальными или граничными условиями. В этих случаях уравнение (8.1)называетсястохастическимдифференциальнымуравнением. Его решение –это нахождение средних и корреляционных функций для случайного процесса(t). Разумеется, если известно аналитическое решение уравнения (8.1), его можно усреднить по общим правилам, хотя такое усреднение может оказаться очень трудным. Однако специфика стохастических дифференциальных уравнений состоит в том, что даже если не известно аналитическое решение уравнения (8.1),можно, используя стохастичность процесса, составить и решить уравнение для средних значений(t)или корреляционных функцийB(), не решая само уравнение (8.1).

Для теории стохастических дифференциальных уравнений важен также вопрос, при каких условиях случайный процесс (t) в системе, описываемой уравнением (8.1),будет марковским, и как при этом связаны коэффициентыАиВуравнения ФПК (7.20)с операторами уравнения (8.1).Для ответа на этот вопрос следует рассмотреть ещё один класс случайных функций.

8.2. Случайные функции с независимыми приращениями

Рассматривая такие функции, как координата броуновской частицы, заряд, перенесённый на анод лампы и так далее, мы каждый раз имеем дело со случайными функциями (t),приращение которых на перекрывающихся интервалах времени независимы. Разобьем промежуток времени от 0доtна nпроизвольных интервалов времениt_i=t_{i + 1}–t_i,t₀= 0,t_n=tи запишем:

, (8.0)

где _i=(t_{i + 1}) –(t_i) – независимые случайные величины. Тогда

. (8.0)

Если функция (t) непрерывна почти наверняка и её приращения на сколь угодно малых интервалах независимы, то, переходя в уравнениях (8.2)и (8.3)к пределу n  , в силу центральной предельной теоремы можно утверждать, что функция (t) =(t) –(0) имеет нормальное распределение

, (8.0)

где , причёмB() 0.

Пусть теперь (t) – однородный поt(стационарный) процесс и для определённости <(t)> = 0. Это значит, что в силу соотношения (8.2):

_i = (t_{i + 1}) – (t_i) = (t_{i + 1} – t_i)  (t_i), (t) = (t – 0) = (t),

. (8.0)

Единственное неотрицательное решение функционального уравнения (8.5) –это линейная зависимость вида (5.23):

D[(t)] = Bt, B  0. (8.0)

То есть однородная непрерывная функция с независимыми приращениями рас­пре­делена по нормальному закону (8.4)с дисперсией, пропорциональной вре­мени (8.6),то есть по диффузионному закону вида(7.19).

Рассмотрим теперь производную стационарной случайной функции (t) с независимыми приращениями. Тогда

.

Вычисляя теперь дисперсию функции (t) аналогично тому, как то было сделано при выводе формулы (3.6),с учётом соотношения(8.6),получим

.

Это равенство возможно лишь в том случае, если производная '(t) является дельта-коррелированным процессом вида(4.7):

.