3.4.Эргодические случайные процессы

Определенные в п. 3.3моменты являются средними по статистическому ансамблю. Функция распределения случайной функции(t,x), введенная в п. 3.1,тоже относится к ансамблю систем. Согласно аксиоме измерения это относительная доля систем в ансамбле одинаковых систем, для которых в моментtвыполняется условиеx(t)x+dx. Но на практике (кроме броуновского движения) у нас нет большого числа систем, а есть одна система, за которой можно наблюдать долгое время и находить среднее по времени за интервалТвида:, которое тоже является случайной величиной. При этом.

Пусть (t) – стационарный случайный процесс, то есть . Найдем его дисперсию:

Сделаем замену переменных=' –,' =' +, или' = (+')/2,

 = (' –)/2, что эквивалентно повороту осей координат на/4, и разобьем область интегрирования на два треугольника:

. (3.0)

Запишем теперь неравенство Чебышева (1.11)для случайной величины:. То есть, если

, (3.0)

то . Условие (3.7)называетсяусловиемэргодичностиСлуцкого для стационарных процессов. Дляэргодическихпро­цес­сов среднее, по времени за достаточно большой интервалТстремится по вероятности к статистическому среднему.

4. Корреляционная теория случайных процессов

4.1.Функция автокорреляции

Рассмотрим комплексную случайную функцию (t) =(t) +i(t), которую можно рассматривать как линейную комбинацию двух вещественных случайных функций(t) и(t) или как двумерную случайную функцию. Функцией автокорреляции комплексной случайной функции(t) называется смешанный момент 2-го порядка:

. (4.0)

При этом, естественно,

– (4.0)

величина вещественная и положительная, как и дисперсия вида

.

Будем рассматривать случайные функции второгопорядка, то есть непрерывные в среднеквадратичном, средний квадрат модуля которых ограничен и непрерывен при любомt.Из определения(4.1)следует эрмитовость фун­к­ции автокорреляции:

B(t₂, t₁) = B^*(t₁, t₂).

В частности, для стационарных в широком смысле процессов B() =B^*(–).

Кроме того, автокорреляционная функция ограничена по модулю. Положим B(t₂,t₁) = |B|exp(i) и рассмотрим при произвольномaвеличину

Так как это равенство выполняется при произвольномa, и |cos( – a)|  1, то

.

Для стационарного случайного процесса .

Кроме того, для непрерывных в среднеквадратичном функций (t) фун­к­ция автокорреляции равномерно непрерывна на плоскости (t₂,t₁). Для того чтобы производная случайного процесса(t) существовала и была случайной фун­кцией 2-го порядка, непрерывной в среднеквадратичном, необходимо и достаточно, чтобы существовала непрерывная для всехt₂=t₁смешанная вторая производная. Тогда:

.

Для стационарного случайного процесса:

.

Аналогично нетрудно показать, что

.

Для стационарного случайного процесса:

.

4.2.Спектральная плотность интенсивности случайных процессов

Рассмотрим стационарный в широком смысле непрерывный в среднеква­д­ра­тичном случайный процесс второго порядка (t).Его функция автокорреляции В() ограничена и непрерывна при всех,а значит, существует преобразование Фурье от нее:

. (4.0)

Существует и обратное к (4.3)преобразование Фурье:

. (4.0)

Функция G(i), определенная интегралом Фурье (4.3),называетсяспек­т­ра­льнойплотностьюинтенсивностислучайного процесса, для электрических процессов –спектральнойплотностьюмощности. Утверждение(4.4)часто называюттеоремойВинера–Хинчина.

Положив в соотношении (4.4)= 0 с учетом соотношения (4.2),получим:

. (4.0)

Если случайный процесс (t) –вещественный, то функция автокорреляцииB() – вещественная и четная, спектральная интенсивностьG(i) –вещественная и четная функция. В этом случае

,

где G⁺(0) = 2G(i),G⁺(< 0) = 0 ­– спектральная плотность интенсивности по положительным частотам,G(f) = 2G⁺() = 4G(i). При этом, соот­вет­с­т­вен­но:

. (4.0)

Если все реализации случайного процесса (t) –финитные функции, то для любой реализации можно записать:

,

где

­–

спектр реализации s(t), случайная функция частоты .Тогда для стационарного случайного процесса(t) можно переписать теорему Винера – Хинчина (4.4) в виде:

.

Это равенство может выполняться в том и только в том случае, если

. (4.0)

То есть спектр реализаций стационарного случайного процесса является дельта-коррелированной функцией частоты. Соотношение (4.7) часто принимается за определение спектральной интенсивности. Тогда соотношение (4.4) –действительно теорема.

Соотношение (4.7) легко обобщается на случай дискретного спектра реализаций:

.

В этом случае каждая реализация представима рядом Фурье:

,

где S_n– случайная величина. Тогда

.

Если рассмотреть стационарный случайный процесс с нулевым средним вида ₁(t) =(t) – <(t)>, нетрудно показать, что

G(i) = G₁(i) + <(t)>²(),

где G₁(i)–спектральная интенсивность процесса₁(t) с нулевым средним.

Кроме того, если существуют интегралы вида

– средняя частота,

– среднее время корреляции,

– квадрат ширины полосы

–квадрат интервала корреляции,

то, как известно из теории интегралов Фурье,

()²()²  1/2 –(4.0)

соотношениенеопределенностей. Вспомнив, что в квантовой механике

Е= ћ,получим классическое соотношение неопределенностей Гейзенберга:

(Е)²()²  ћ²/2.

Заметим, что равенство в формуле (4.8)имеет место лишь для гауссовых кривых:

. (4.0)

Toесть гауссовы кривые вида (4.9)являются минимизирующими.

В качестве примера найдем спектральную плотность интенсивности пуас­со­новского импульсного процесса вида (2.5 в новых лекциях 2.4).Здесь удобнее начать с функции автокорреляцииВ() флуктуаций, то есть случайного процесса

(t) = (t) – <(t)>. Аналогично выводу соотношения (2.12 = в новых лекциях 2.11)можно выразитьВ() через условные моменты и, поскольку <(t)> = 0, получить:

.

Воспользовавшись известной теоремой о спектре свертки, получим:

G() = ||²|f(i)|²(2),

где – спектр импульсаF(t).

Таким образом, частота следования импульсов и их амплитуды влияют только на общий уровень шума, а его спектр полностью определяется спектром импульсов. Если вернуться теперь к задаче о дробовом эффекте, то, положив снова F(0) = 1,F(< 0) =F(>) = 0,a=e/,=i_a/e, получим:

,

, (4.0)

то есть для частот, малых в сравнении с 1/, плотность интенсивности дробового шума постоянна и пропорциональна среднему току i_a.

Случайный процесс, для которого спектральная плотность интенсивности постоянна, называется белымшумом. Вообще говоря, белый шум – абстракция, как следует из соотношения (4.5),средний квадрат такого процесса бесконечен. Можно говорить только о приближенной модели какого-то процесса. Например, для частот, меньших, чем 1/,дробовой шум можно считать белым. Вообще, если функция автокорреляции процессаB() отлична от нуля на узком интервале ||,то для частот<< 1/шум белый, так как

.

В предельном случае при = 0 получаем для всехG() = G₀ = constдля всех частот, что соответствует белому шуму, тогда

B() = 2G₀() – (4.0)

дельта-коррелированныйпроцесс.