Экзаменационная программа курса «Статистическая радиофизика»

Вопросы.

1. Случайные величины. Распределение вероятностей.

2. Закон больших чисел. Аксиома измерений. Теорема Бернулли.

3. Совместные и условные распределения

4. Характеристические функции.

5. Центральная предельная теорема.

6. Функции случайной величины.

7. Пуассоновский импульсный процесс.

8. Случайные функции; их задание, сходимость, непрерывность и стационарность.

9. Моменты случайных функций.

10. Эргодические случайные процессы.

11. Функция автокорреляции случайного процесса.

12. Спектральные характеристики случайных процессов.

13. Корреляционная теория случайных последовательностей.

14. Спектр случайного процесса на выходе линейной системы.

15. Распределение вероятностей случайного процесса на выходе линейной системы. Теорема о нормализации.

16. Узкополосные гауссовы процессы.

17. Спектр колебаний с флуктуирующей частотой.

18. Нелинейное безинерциальное преобразование случайных процессов.

19. Марковские процессы. Уравнение Смолуховского.

20. Марковский процесс с дискретными состояниями.

21. Двумерные случайные блуждания.

22. Уравнение Фоккера-Планка-Колмогорова.

23. Стохастические дифференциальные уравнения. Случайные функции с независимыми при­ращениями.

24. Усреднение точного решения стохастического дифференциального уравнения.

25. Уравнение для средних и его связь с уравнением ФПК.

26. Тепловой шум в линейных диссипативных системах. Теорема Найквиста.

27. Дробовой и фликкер-шум. Шумы полупроводниковых приборов и усилителей.

28. Корреляционные и спектральные характеристики случайного поля.

29. Электромагнитная волна в статистически неоднородной среде.

30. Анализ случайной дифракции методом ММА.

31. Корреляционные функции одномодового и многомодового лазерного излучения.

Задачи

1. Установление колебаний в генераторе происходит по экспоненциальному закону A(t) = A₀exp(t), где А₀ - случайная величина. Найти:

а) закон распределения амплитуды колебаний в фиксированный момент времени;

б) закон распределения времени достижения фиксированного значения амплитуды.

2. Найти закон распределения и среднее значение случайного модуля радиуса вектора , если величины x и y независимы и распределены по нормальному закону с нулевыми средними и одинаковой дисперсией ².

3. Найти распределение вероятности случайного сигнала на выходе квадратичного детектора, если на вход подается нормальный шум, а характеристика детектора имеет вид y = x².

4. На цепь, состоящую из последовательно соединенных полупроводникового диода и сопротивления, воздействует стационарный нормальный шум с нулевым средним значением и дисперсией ². Характеристика диода имеет вид:

где u – напряжение на диоде. Определить среднее значение и дисперсию тока в цепи.

5. На резонансный контур воздействует случайный импульс f(t). Найти соотношение между площадями импульса на входе и на выходе контура:

если он описывается уравнением .

6. Выразить спектр случайного АМ сигнала s(t) = a₀{1 + (t)}cos(₀t + ₀) через корреляционную функцию B() и спектр G() модулирующего процесса (t).

7. Найти спектр случайного ФМ сигнала s(t) = a₀cos{₀t + ₀ + (t)}, если случайная фаза (t) распределена по нормальному закону.

8. На вход ФНЧ с полосой пропускания , описываемого уравнением , подаётся шум (t) с нулевым средним и функцией автокорреляции вида B() = ²exp(–||). Найти мощность флуктуаций на выходе фильтра <x²>. При каком соотношении  и  шум (t) можно считать белым?

9. Показать, что _k = , если ширина спектра  и время корреляции _k определены следующим образом:

10. Стационарный случайный процесс x(t) = a₀cos(₀t + ) имеет случайную фазу , рас-пределённую равномерно на интервале [a, b]. Найти корреляционную функцию и спектр этого процесса для случаев, когда a = 0, b = 2 и a = –/2, b = /2.

11. Найти спектр шума на выходе квадратичного детектора, если на его вход подается гауссов шум со спектральной плотностью интенсивности G₁(). Какова форма спектра на выходе, если на входе спектр прямоугольный?

12. На вход перемножителя подаются два статистически независимых стационарных случайных процесса x₁(t) и x₂(t). Выразить спектр сигнала на выходе умножителя через спектры процессов на входах.

13. На вход RC-фильтра с полосой пропускания  подается белый шум. Используя уравнение фильтра , найти мощность флуктуаций на его выходе <x²> .

14. На элемент низкочастотного фильтра воздействует внешняя сила, случайным образом изменяющая параметр фильтра. Исходя из уравнения фильтра определить порог параметрической нестабильности для первого момента m₁ = <x>. Получить уравнение для момента m_n = <xⁿ>. Определить порог параметрической нестабильности для m_n.

15. Найти стационарное распределение вероятности для процесса x, удовлетворяющего уравнению , и вычислить стационарные значения моментов m_n = <xⁿ>.

16. Найти отношение сигнал/шум на выходе узкополосного фильтра с полосой пропускания  описываемого уравнением , если на вход подается аддитивная смесь белого шума (t) с нулевым средним и функцией автокорреляции <(t)(t+)> = 2G₀() и полезного сигнала s(t) = s₀ = const. Под отношением сигнал/шум понимать отношение мощности полезного сигнала и мощности шума <x²(t)> на выходе системы.

17. Найти отношение сигнал/шум на входе и выходе узкополосного фильтра с полосой пропускания h, описываемого уравнением , если на вход подается сигнал f(t) = a₀cos{₀t + ₀) + (t). Спектральная плотность мощности шума (t) равна G_()= G₀²/(² + ²).

18. На вход RC-фильтра с полосой пропускания  подается белый шум (t) с нулевым средним и функцией автокорреляции <(t)(t+)> = 2G₀(). Используя уравнение фильтра найти мощность и корреляционную функцию флуктуаций на его выходе.

19. На вход узкополосного фильтра с полосой пропускания 2 и резонансной частотой ₀ подается белый шум с нулевым средним и функцией автокорреляции <(t)(t + )> = 2C(). Используя уравнение фильтра найти мощность <x²> и корреляционную функцию <x(t)x(t + )> флуктуаций на выходе.

20. Найти флуктуационную энергию магнитного поля в последовательном RLC колебательном контуре.

21. На вход идеального усилителя с частотной характеристикой вида K(j) = K₀/(1 + j) подключена после­до­ва­те­ль­ная RLC-цепь. Найти мощность флуктуаций на выходе усилителя.

22. Найти показания вольтметра в режиме измерения действующего значения напряжения, подключенного к выходу реального усилителя с частотной характеристикой K(j) = K₀/(1 + j). Ко входу усилителя подключена цепь, состоящая из параллельно соединенных сопротивления R и конденсатора С. Известно, что приведённое ко входу значение шумового напряжения равно λ.

23. Определить собственные шумы (приведённое ко входу значение шумового напряжения) операционного усилителя, если известно, что при подключении на вход резистора R₁ шум на выходе составляет , а при подключении на вход резистора R₂ –.

24. Вычислить среднее значение и дисперсию случайного процесса вида

y(t) = A₀cos(₀t + ) + A₁exp(–₀t),

если известно, что случайная фаза  распределена равномерно на интервале [0, ], а случайная величина А₁ распределена по Гауссу со средним значением  и среднеквадратичным отклонением .

Минимальные требования

1. Дать определение частоты появления события и сформулировать аксиому измерений.

2. Записать формулу полной вероятности и формулу Байеса.

3. Сформулировать закон больших чисел и теорему Бернулли.

4. Записать формулы для распределений Гаусса, Релея и Пуассона.

5. Дать определение характеристической функции и записать выражения, связывающие ее с функцией плотности вероятности

6. Сформулировать центральную предельную теорему.

7. Записать выражение для плотности вероятности одномерной функции случайной величины.

8. Привести вид пуассоновского импульсного процесса, сформулировать предположения, при которых он рассматривается, и записать выражение для вероятности появления n импульсов на интервале [0, t].

9. Сформулировать условия, при которых распределение пуассоновского импульсного процесса близко к нормальному.

10. Сформулировать теорему Кемпбелла для пуассоновского импульсного процесса.

11. Дать определения непрерывности, дифференцируемости, интегрируемости и стационарности случайной функции.

12. Дать определение коэффициента корреляции случайной функции.

13. Дать определение среднего по времени и записать условие Слуцкого для эргодичности случайного процесса.

14. Доказать, что функция автокорреляции стационарного случайного процесса ограничена по модулю.

15. Сформулировать соотношение неопределенностей и привести минимизирующие его функции.

16. Дать определение белого шума и привести его функцию автокорреляции и спектральную плотность интенсивности.

17. Записать спектральную плотность интенсивности процесса на выходе линейной системы, на вход которой воздействует случайный процесс.

18. Сформулировать теорему о нормализации.

19. Записать выражение для спектра колебаний с флуктуирующей частотой и привести формулы для случаев, когда наблюдаются медленные и большие или малые и быстрые флуктуации частоты.

20. Записать выражения для смещенной и несмещенной оценок автокорреляционной последовательности.

21. Записать выражения для периодограмм Даньелла и Уэлча.

22. Дать определение марковского процесса и получить уравнение Смолуховского.

23. Записать уравнение ФПК, пояснить смысл его коэффициентов и привести условия, при котором оно существует.

24. Записать распределение стационарного случайного процесса с независимыми прираще­ниями и выражение для его дисперсии.

25. Записать дифференциальное уравнение для среднего функции F(x).

26. Записать теорему Найквиста и сформулировать условия ее применимости.

27. Записать выражение для спектральной плотности интенсивности дробового шума.

28. Записать соотношения для спектральной плотности интенсивности шумов полупроводникового диода, биполярного и полевого транзисторов.

29. Привести выражение для дисперсии напряжения на выходе усилителя. Дать определение отношения сигнал/шум.

30. Записать связь функции автокорреляции и спектральной плотности интенсивности однородного стационарного случайного поля.