9.4.Плоская случайная волна в диспергирующей среде

Пусть источник поля находится в сечении z= 0 и создаёт волну с комплексной амплитудой:

. (9.0)

Случайный процесс A₀(t) будем считать стационарным с корреляционной функцией вида:

B₀() = A₀(t)A₀^*(t + ) = I₀exp(–²/_k²).

Решение линейного дифференциального уравнения (9.14)с граничными условиями (9.15)можно записать в виде свёртки:

, (9.0)

где – функция Грина.

Умножим теперь уравнение (9.14),записанное дляA(z,t) на A^*(z,t₁) и сложим с уравнением(9.14), записанным дляA^*(z,t₁) и умноженным на A(z,t), в результате получим:

.

При усреднении уравнения вследствие стационарности процесса временные про­изводные пропадут и получим B(z,)/z= 0, то есть корреляционная фун­к­ция, а следовательно, и спектр стационарного процесса неизменны:

B(z, ) = B(0, ) = B₀(), G(z, ) = G(0, ) = G₀().

Рассмотрим теперь модель источника сигнала в виде импульса, заполненного шумом: A₀(t) =F(t)(t), гдеF(t)–огибающая,(t) – шумовое заполнение (несущая), стационарный случайный процесс, причём

(t) = 0, , R(0) = 1, max[F(t)] = F₀.

Эта задача имеет большой практический интерес для передачи информации по волоконно-оптическому каналу связи, когда нужно выяснить как меняются фор­ма и длительность импульса при его распространении по волокну. Заметим, что форма и длительность импульса на входе волокна в сечении z= 0 зависит только от огибающейF(t),I₀(t) =A₀(t)A₀^*(t)= |F(t)|². Время же корреляции импульса определяется временем корреляции случайного заполнения:

.

Из формулы (9.16)видно, что амплитуда импульсаA(z,t) зависит от

 = t – z/u

,

где обозначено .Область интегрирования здесь порядка_и0,поэтому если в дальней зоне, то можно положить, и интеграл при­мет вид преобразования Фурье:

. (9.0)

Тогда

. (9.0)

Toесть в среде с дисперсией первого порядка импульс в дальней зоне превращается в спектрон, интенсивность которого повторяет спектрG₀() вхо­дного импульса в линейном масштабе, не меняя его формы. Так как спектр импульса при распространении не меняется, форма спектрона остается ус­той­чи­вой, по мере ростаzимпульс становится более длинным и низким. При этом длительность импульса_и(z) в дальней зоне определяется шириной полосыимпульса на входе. Но1/_к0+ 1/_и0= (1 +)/_и0, где = _и0/_к0 –коэффициент некогерентности. Следовательно, некогерентность сильно влияет на рас­хо­ди­мость импульса. В частности, при сильной некогерентности>> 1,автокорреляцию в дальней зоне можно записать с учётом соотношения(9.17)в виде:

Таким образом, импульс интенсивности в дальней зоне повторяет спектр шумового заполнения . При этом можно показать, что коэффициент некогерентности в дальней зоне имеет ту же величину, что и на входе, хотя форма импульса и его корреляционная функция совсем другие.

10. Флуктуации в электрических цепях

10.1. Тепловой шум в линейных диссипативных системах

Даже в отсутствие внешнего воздействия на зажимах линейного двухполюсника присутствует флуктуирующее (случайное) напряжение, а по замкнутой цепи течёт случайный ток, вызванный броуновским движением электронов. По­­этому, в силу теорем Нортона и Тевенинна, реальный двухполюсник следует рассматривать как идеальный (нешумящий) двухполюсник, последовательно с которым включен генератор шумового напряжения e_nили параллельно –генератор шумового токаi_n .При этом, естественно,

, (10.0)

где z(t) – импульсная характеристика двухполюсника. Как показано в п. 5.1,спектральные интенсивности шумового токаG_i(), который можно рассматривать как входное воздействие, и шумового напряженияG_e() связаны соотноше­нием вида (5.3):

G_e() = |Z()|²G_i(), (10.0)

где – полное сопротивление двухполюсника. Найдём среднюю мощность, рассеиваемую двухполюсником, воспользовавшись со­­отношениями (4.4) и (10.1):

(10.0)

Рассмотрим теперь два двухполюсника Z₁=R₁+iX₁иZ₂=R₂+iX₂, соединенные через третий чисто реактивный двухполюсникZ₃=iX₃и находящиеся в термостате при температуре Т.При термодинамическом равновесии дол­жен выполняться принцип детального равновесия, то есть мощностьР₂₁,создаваемая генераторомe₁во втором двухполюсникеZ₂, должна равняться мощности P₁₂,создаваемой генераторомe₂в первом двухполюсникеZ₁.Воспользовавшись соотношениями (10.2)и (10.3), получим:

Поскольку равенство Р₂₁ = P₁₂ должно выполняться при произвольной функцииZ₃(),тоG_e1()R₂() =G_e2()R₁(), или

G_e1()/R₁() = G_e2()/R₂() = u(, T). (10.0)

Таким образом, отношение спектральной плотности шумового напряжения на зажимах двухполюсника к активному сопротивлению двухполюсника при термодинамическом равновесии является универсальной функцией частоты и температуры и не зависит от вида двухполюсника. Заметим, что из соотношения (10.4) следует, что при R_к() = 0 иG_eк() = 0,то есть в чисто реактивных (недиссипативных) двухполюсниках, нет тепловых шумов, поэтому в реактивный двухполюсникZ₃() не включен генератор шумового напряжения.

Для того чтобы найти вид функции u(,T),рассмотрим высокодобротный последовательныйRLC-контур, который описывается уравнением

,

где q –заряд на конденсаторе. Будем считать, чтоkT>>ħи выполняется принцип равнораспределения (эргодическая гипотеза) –на каждую степень сво­боды системы приходится энергияkT/2.Это значит, что

. (10.0)

Но в силу соотношений (4.5)и (10.2),получаем:

.

Здесь мы учли, что контур высокодобротный, то есть ,Z() =R+iL–i/(C).Аналогично легко получить

.

Подставляя эти выражения в соотношение (10.5),получаем с учётом того, что резонансная частота контура₀может быть выбрана произвольной:

,

или

G_e() = kTR()/ = kTRe[Z()]/ – (10.0)

теорема Найквиста. Сравнивая её с соотношением (10.4),видим, что

u(, T) = kT/.

Для физических частот f=/(2) > 0 можно записать теорему Найквиста (10.6) с учетом формулы (4.6) в виде:

G_e(f) = 4kTR(f) = 4kTRe[Z(f)].

Воспользовавшись соотношением (10.2),можно записать теорему Найквиста для спектральной плотности интенсивности шумового тока:

G_i() = kTRe[Y()]/ (10.0)

где Y() = 1/Z()–полная проводимость двухполюсника. Если рассмотреть соп­ротивлениеR, шунтированное емкостьюC,что всегда имеет место на практике, то

.

Тогда

.