3. Случайные функции

3.1.Понятие случайной функции. Задание случайной функции

Понятие случайной функции –базовое для статистической радиофизики –является обобщением понятия случайной величины и функции случайной ве­ли­чи­ны.Случайнойфункцией(t) параметраtназывается функция, значение которой_i=(t_i) при любом значении параметраt=t_i– случайная величина. Па­ра­метрtчасто имеет смысл времени, тогда случайная функция называетсяслу­чайнымпроцессом. Случайная функция координат называетсяслучайнымполем.

Представление о случайных процессах можно почерпнуть из различных областей физики. Осциллограммы дробового тока электронной лампы, тра­ек­то­рия броуновской частицы, пульсации температуры воздуха и т. д. –все это слу­чайные процессы. В первой главе понятие случайной величины связывалось с ре­зу­ль­та­том случайного эксперимента, то есть с результатом, который не вос­про­из­водится при воспроизведении условий эксперимента. Примером такого эк­с­пе­ри­мента является наблюдение за броуновской частицей. Измеряя ее координатух,мы получим некоторую кривуюx⁽¹⁾(t). Повторив опыт, то есть, вернув частицу в исходное состояние, мы получим уже совершенно другую траекторию x⁽²⁾(t), и т. д. Можно сказать, что координата броуновской частицыx(t) – случайная функция времени, а записьx⁽ⁱ⁾(t) значений наблюдаемой величины, фактически принятых в i-м эксперименте, изображает одну изреализацийслучайной величины.

Наблюдение над системой не обязательно проводить через последо­ва­те­ль­ные интервалы времени. Можно представить множество идентичных экзем­п­ляров рассматриваемой системы, поставленных в одинаковые условия, тогда при одинаковых способах регистрации какой-либо из характеристик систем по­лу­ча­е­мые реализации будут различными. Например, наблюдая при одинаковых условиях движение большого числа Nброуновских частиц, мы будем иметьNразличных кривыхx⁽ⁱ⁾(t), которые являются реализациями случайного процесса(t), описывающего движение броуновской частицы. Совокупность всех воз­мож­ных реализацийx⁽ⁱ⁾(t) называетсястатистическимансамблемилиансамблемреализаций, а совокупность систем, в которых реализуется этот статис­тический ансамбль, –ансамблемсистем.

В силу нашего определения, функция случайной величины является слу­чай­ной функцией (если не рассматривать функции вида ⁰), но понятие случай­ной функции шире, чем функции случайной величины. В частном случае, если параметр tпринимает счетное множество дискретных значений, случайная фун­к­ция(t) называетсяслучайнойпоследовательностью. Аналогично и значения случайной функции(t) могут быть как непрерывными, так и дискретными.

Если аргумент tслучайной функции(t) принимает конечное число значенийt₁,t₂, …,t_n, то случайная последовательность эквивалентна совокупностиnслучайных величин₁=(t₁), …,_n=(t_n), которая задается своимn-мерным совместным распределением вероятностей_n(x₁, …,x_n). Если же множество значений бесконечно (счетно, а тем более, непрерывно), то мы уже выходим за рамки классической теории вероятностей и должны специально определить, как понимать задание случайной функции. Если случайная функция(t) задана как статистический ансамбль своих реализаций, можно получить исчерпыва­ю­щую ее характеристику, задав распределение вероятностей этих реализаций. Нап­ример, для счетного набора реализацийx⁽ⁱ⁾(t) можно ввести вероятностьP_iдляi-й ре­а­лизации и определитьсреднеепостатистическомуансамблю:

.

Однако чаще оказывается удобнее другой эквивалентный подход, основанный на том, что значение случайной функции (t) в произвольный момент вре­мени –случайная величина, которую можно задать одномерным распределением₁(t,x)dx=P{x(t)x+dx} и определить среднее по статистическому ансамблю:

.

Это распределение ничего не говорит о том, как связаны значения (t) в различные моменты времени. Если произвольно задатьnмоментовt₁,t₂, …,t_n,то можно ввестиn-мерное распределение

_n(t₁,x₁, …,t_n,x_n)dx₁…dx_n=P{x₁(t₁)x₁+dx₁, …,x_n(t_n)x_n+dx_n}.

Для конечной случайной последовательности такое описание будет исчерпывающим, а в общем случае говорят, что случайная функция (t) задана, если ее конечномерное распределение_n(t₁,x₁, …,t_n,x_n) известно для любого числаnпроизвольно выбранных значенийt₁,t₂, …,t_nаргумента.

Очевидно, что распределение _n(t₁,x₁, …,t_n,x_n) должно быть симметричным относительно перестановки любых пар переменных (t_i,x_i) и (t_j,x_j). Кроме того, должно выполняться условие согласования вида (1.12):

. (3.0)

Условие (3.1)не тривиально, так как интегрирование по переменнойx_iдолжно автоматически уничтожать и переменную t_i.