4.3. Случайные последовательности

Случайная последовательность _mстационарна в узком смысле, если_n(m₁,x₁, …,m_n,x_n) =_n(m₁–k,x₁, …,m_n–k,x_n) для любогоk. В широком смысле, еслии. ТогдаB(n) =B_n–корреляционнаяпоследовательность,B_–n=B_n^*. Последовательность_mявляется эргодической, если. Критерий Слуцкого (3.7) для эргодической последовательности имеет вид:

. (4.0)

Если случайная последовательность _m– выборка с интерваломслучайного процесса(t), то есть_m=(т), то спектральная плотность интенсивности случайной последовательности определена как

, (4.0)

тогда

. (4.0)

Для чисто действительной последовательности B_–n=B_nи

, (4.0)

. (4.0)

По аналогии с соотношением (4.7) возможно другое определение спектральной интенсивности случайной последовательности через дискретное преобразование Фурье (ДПФ) самой последовательности:

. (4.0)

Докажем эквивалентность определений (4.13) и (4.17):

Заметим, что , то есть корреляционная последовательность однозначно определяется корреляционной функцией случайного процесса(t), эквидистантной выборкой из которого является случайная последовательность_n. Восстановить же корреляционную функциюВ() случайного процесса(t) по известной корреляционной последовательностиВ_nслучайной последовательности_nможно не всегда. Рассмотрим дискретизированную корреляционную функцию

. (4.0)

Воспользовавшись определениями (4.3) и (4.13) и теоремой о свертке, получим:

. (4.0)

Таким образом, спектральная плотность мощности выборочной последовательности представляет собой сумму сдвинутых копий спектральной плотности мощности непрерывного процесса. Если спектральная плотность мощности непрерывного процесса – финитная функция, удовлетворяющая условию Найквиста

G(|| >/) = 0, (4.0)

то копии не перекрываются, и по известной спектральной интенсивности выборки можно восстановить спектральную интенсивность непрерывного процесса, например, с помощью ФНЧ.

5. Воздействие случайного процесса на линейную систему

5.1. Спектральные характеристики процесса на выходе линейной системы

Если реакция ₂(t) системы на внешнее воздействие₁(t) описывается линейными операторами, не зависящими от времени,, то можно записать отклик системы₂(t) в виде интеграла Дюамеля

, (5.0)

где h(t) –импульсная характеристика, то есть реакция системы на дельта-им­пульс , причемh(t< 0) = 0, поэтому для воздействия, начавшегося бесконечно давно:

.

Любая физически реализуемая цепь имеет конечное время релаксации (ус­та­новления)_р, причемh(t>_р) = 0. Для стационарного воздействия, начавшегося бесконечно давно, цепь будет находиться в установившемся режиме, при этом:

, (5.0)

то есть выходной процесс ₂(t) также будет стационарным. Найдем его функцию корреляции:

где обозначено =₁–₂ – ,.

Тогда, воспользовавшись соотношениями (4.3)и (4.4),получим

Делая во внутреннем интеграле замену переменных – и восполь­зо­вав­шись теоремой о спектре свёртки, получим:

где –частотнаяхарактеристикасистемы.

С учётом того, что , получим окончательно:

. (5.0)

Равенство (5.3)позволяет выяснить физический смысл спектральной пло­т­ности интенсивности. Пусть процесс₁(t) со спектральной интенсивностьюG₁(i) проходит через узкополосный фильтр с центральной частотой₀и по­лосой пропускания ,такой узкой, что в пределах этой полосы:

G₁(i) = G₁(i₀) = const. ПустьК(₀₀+) = 1,К(<₀) = 0,

К(>₀+) = 0. Тогда для среднего квадрата выходного процесса₂(t) в си­лу соотношений (4.5)и (5.3)имеем:

.

То есть спектральная интенсивность процесса на частоте представляет со­бой энергию (средний квадрат) этого процесса, приходящуюся на единичную по­­лосу частот вблизи. Соотношение (5.3)совместно с теоремой Винера – Хин­­­чина (4.4) позволяет найти функцию автокорреляции выходного процесса₂(t):

. (5.0)