8.3. Усреднение точного решения стохастического дифференциального уравнения

Рассмотрим линейное уравнение первого порядка вида (8.1):

.

Для этого уравнения известно его точное решение. Если х(0) =х₀, то

. (8.0)

Если x₀=const,a(t)– детерминированная функция, то усреднение решения (8.7)не вызывает затруднения. Пусть(t) – случайная дельта-коррелированная сила с нулевым средним значением,(t₁)(t₂)=C(t₁–t₂). Тогда импульс этой силы

является стационарной случайной функцией с независимыми приращениями.

Усредняя решение (8.7)по статистическому ансамблю, получим:

. (8.0)

Для частного случая a(t) ==constполучаем

x(t) = x₀exp(–t).

Такого рода уравнение описывает, в частности, процессы в RL-контуре, при этомx(t) =i(t) – ток в контуре,=R/L,(t) =u(t)/L– случайная ЭДС, например теплово

й или дробовый шум. Это уравнение применимо и к броуновскому движению, если x(t) – скорость, =/m, (t) =f(t)/m– случайная сила и так далее.

Для дисперсии случайного процесса x(t) получим с учётом уравнения(8.8):

То есть получим выражение вида (8.4),гдеB() =Cx²exp(2b())/x₀². Таким образом,x(t) – случайный процесс с независимыми приращениями и, следовательно, распределён по нормальному закону вида (8.4):

. (8.0)

Распределение (8.9),естественно, описывает марковский процесс, сле­до­ва­тельно, для него применимо уравнение ФПК (7.20),Но если функцияa(t) и начальное условиеx₀– не детерминированы, то процесс, даже при дельта-кор­ре­лированном воздействии, будет уже не марковским и уравнение ФПК к нему уже неприменимы.

Рассмотрим транзисторный LC-генератор с трансформаторной связью и мягким возбуждением (цепь смещения не показана). Уравнение баланса дляLRС-контура имеют вид:

, или .

Их следует дополнить характеристикой транзистора i_k(i_Б). Известно, что в чисто линейных системах устойчивые гармонические колебания невозможны, поэтому в передаточной характеристике транзистора следует учесть нелинейный член и шумовой ток коллектора: . Кроме того,. Окон­чательно получаем:

.

Это уравнение можно переписать в виде

, (8.0)

где обозначено .

Будем решать уравнение (8.10)методом медленно меняющейся амплитуды и гармонического баланса, то есть, считая ток в высокодобротномRLC-контуре узкополосным процессом, положимi(t) = I(t)cos(t), причём |I'| <<|I|. Это предположение похоже на соотношение (5.7),если взять(t) = ₀+(t)/t, причём (t)  ₀. Удобно также принятьi_n(t) = (t)sin(t). Тогда, учитывая только члены первого порядка по I,получим:

где мы опустили третью гармонику, считая контур высокодобротным (гармонический баланс). Подставляя вычисленные значения производных в уравнение (8.10), получим:

.

Выделяя синусные и косинусные составляющие, получим:

Из первого уравнения в стационарном случае (I' = 0) следует, что=₀.Вообще говоря, в переходном процессе это не так, мы должны записать

 = ₀– 2aI'/Iи подставить это значение во второе уравнение, но положив

 = ₀,мы делаем лишь ошибку второго порядка малости, так как I >> I'.Второе уравнение теперь принимает вид:

2I' – 2aI + 2bI³ = ₀(t). (8.0)

Найдем общее решение однородного уравнения (8.11), полагая его правую часть равной нулю и домножая его наI:

2II' – 2aI² + 2bI⁴ = 0, ,

.

. (8.0)

В стационарном режиме, то есть при tиз уравнения (8.11)получаем, посколькуI'() = 0,

.

Если обозначить I₀=I(0), то для константыСв уравнении(8.12)получаем:

.

Таким образом, уравнение (8.12)принимает вид:

,

откуда окончательно получаем

.

Для мощности генерируемых колебаний получаем:

. (8.0)

Решение неоднородного уравнения (8.11)можно найти с помощью вариации константы в решении однородного уравнения (8.12),которое имеет соб­­ственный смысл, оно описывает режим установления амплитуды колебаний, или переходный процесс, когдаI'(t) >>₀(t) и правой частью в урав­нении (8.11)можно пренебречь. В установившемся режиме можно положитьI'(t) = 0 и рассматривать уравнение (8.11) как воздействие узкополосного случайного процесса(t) на линейную цепь (см. п. 6.3).

Если известно распределение начальной амплитуды I₀или мощностиN₀,то можно найти и распределение мощностиN(t) как детерминированной функции вида (8.13)от случайной переменнойN₀. С учётом формулы (2.1),получаем:

,

где обозначено ,₀(N) – распределение начальной мощности.