1.3.Случайные величины. Распределение вероятностей

Рассмотрим случайную величину –результат случайного эксперимента. В зависимости от вида эксперимента может быть как дискретной, так и непрерывной величиной. Случайной величинеможно сопоставить множество случайных событийA_i, заключающихся в том, что=x_iдля дискретной и

x_i<<x_i+1для непрерывной случайной величины. Закон, по которому каждому возможному значениюx_iдискретной случайной величины или интервалуxзначений непрерывной случайной величиныставится в соответствие вероятность того, что случайная величина приметэтозначение или будет находиться в этом интервале, называетсязакономраспределениявероятностислучайной величины. Аналитическим выражением закона распределения являетсяфункцияраспределения.Интегральнаяфункцияраспределениявероятностей

F(x) = P{  x}. Её оче­вид­ные свойстваF(–) = 0,F() = 1,F(x₁x₂)F(x₂).

Если интегральная функция распределения случайной величины непрерывна и дифференцируема, то случайная величина называетсянепрерывной, а производная(x) =dF(x)/dx=P{x<x+dx}/dx0 называетсяплотностьювероятностей. Естественно, чтоP{x<x+dx} =(x)dx,

, . Для дискретной случайной величины, если

p_i=P{=x_i}, то .

Для любой функции f() случайной величины определяется среднее значение или . Особую роль в статистической радиофизике играют моменты случайной величины. Моментn-го порядка равен среднему значению величины ⁿ: или . Момент первого порядка называетсясреднимзначением, илиматематическиможиданиемслучайной величины: или .

Определены также центральныемоментыслучайной величины: или . Центральный мо­мент второго порядка называетсядисперсией:

.

Нетрудно показать, что

Рассмотрим несколько примеров распределения случайных величин. Пусть в серии из Nслучайных экспериментов при неизменном комплексе условий каждый из экспериментов может иметь только два исхода:либо про­ис­хо­дит событиеАс вероятностьюР{А} =p, либо не происходит событие Ас вероятностьюР{А} = 1 –Р{А} = 1 –p=q. Если результаты экспериментов независимы, то вероятностьР_N(n) того, что в серии из Nиспытаний событиеAпроизойдёт ровноn, раз даётсябиномиальнымзаконом распределения:

Р_N(n) =С_Nⁿpⁿq^{N – n}, (1.0 = в новых лекциях 1.9)

где С_Nⁿ– биномиальный коэффициент. Нетрудно найти моменты этого рас­пре­де­ле­ния :

m₁=n=Np,m₂=n²=Np[1 +p(N– 1)],_n²=M₂(n) =Npq.

Пусть теперь число испытаний Nувеличивается, а вероятность pсобытияAуменьшается так, что среднее число событий n=Npостаётся постоянным, то есть .Тогда из формулы (1.6)получаем:

(1.0в новых лекциях 1.10)

распределениеПуассона. Это распределение описывается единственным параметромn, при этомm₁= <n> =n,m₂= <n²> = (n)²+n,M₂=_n²=n.

В формуле (1.6)возможен и другой предельный переход. ПустьN, ноp=const, причёмp0,p1.Тогда

–

распределение Муавра–Лапласа, где. При большихNможно пренебречь дискретностьюnи перейти к непрерывной случайной величине с распределением:

– (1.0)

нормальноераспределение, илираспределениеГаусса. Для этого распределения <> =x,D() =².

1.4. Закон больших чисел. Аксиома измерений

Пусть случайная величина  имеет конечную дисперсию². Тогда для произвольного числааполучаем:

Положив а=,получаем, что для любого > 0

P{|–|}²/²(1.0)

– неравенствоЧебышева.

Рассмотрим теперь случайную величину _N– среднее арифметическое изNслучайных попарно независимых величин, имеющих равномерно ограниченную дисперсию, то естьD(_i)С. Пользуясь определением дисперсии и свойством вероятностей, получим, что

.

В силу неравенства Чебышева (1.9),с учётом того, чтоP{A} = 1 –P{A}, получим1  P{|_N–_N|}1 –C/(N²). Значит,

– (1.0)

теоремаЧебышева, илизаконбольшихчисел. Если

,то говорят, что последовательность_Nсходится по вероятности кa. Эта сходимость обозначается как.

Вернёмся теперь к частотному определению вероятности. В серии из Nиспытаний появлению событияAвi-м испытании поставим в соответствие

_i= 1,а непоявлению событияAвi-м испытании –_i= 0. Тогда ,_i = 1  P{A} + 0P{A} =P{A} =p, . В силу теоремы Чебышева (1.10),получаем:

– (1.0)

теоремаБернулли.

Утверждение (1.11)показывает, что аксиома измерения (1.1) согласуется с математической теорией вероятностей, то есть частотное определение вероятностей является корректным способом установления соответствия между чисто математическим объектом –вероятностьюp,для которой вводятся теоремы и утверждения, – и экспериментально наблюдаемыми относительными частотами появления события. Установив такое соответствие и обосновав его корректность, можно ставить вопрос об экспериментальной проверке выводов теории вероятностей.

Теорему Бернулли (1.11)часто записывают в другой форме: ,

то есть среднее арифметическое сходится по вероятности к математическому ожиданию. Существует и более сильное, чем теорема Бернулли, утверждение

– теорема Бореля. Если для случайных величин_n , то говорят, что последовательность случайных величин_n сходится кaпочти наверняка. Если же , то говорят, что последовательность случайных величин _n сходится кaв среднеквадратичном, или. Заметим, что, в силу неравенства Чебышева (1.9),сходимость в среднеквадратичном влечёт сходимость по вероятности, сходимость почти наверняка влечёт сходимость по вероятности.