8.5.Уравнение Лиувилля

Пусть, по-прежнему, x(t) – решение нелинейного уравнения(8.14),при произвольном случайном процессе(t), не обязательно белом шуме. Выберем функцию [x(t)] = [x(t) – s], где s = const. Тогда

.

Но в силу свойств дельта-функции b(x)(x) = b(s)(x)  b_s(x), a(x)(x) = a_s(x), поэтомуполучаемуравнениеЛиувилля:

. (8.0)

Усредним это уравнение. Так как s = const, a_sиb_s– не случайные, то есть

.

Учитывая, что

,

усредненное уравнение Лиувилля (8.21)примет вид:

. (8.0)

Если (t) – белый шум, то с учётом соотношения (8.15) получаем:

.

Подставив этот коррелятор в уравнение (8.22)и заменивsнаx, получим уравнение ФПК (8.20). Пусть теперь(t) – не белый шум, а случайный телеграфный

сигнал (t) =(–1)^{n(t, 0)}, где n(t, 0) –число переходов через 0 на интервале от 0 доt. Заметим, что²(t) =²– не случайная величина!

Будем считать, что число переходов на не перекрывающихся интервалах времени – независимые случайные величины и найдем автокорреляцию процесса:

.

Если вероятность перехода за интервал dtравнаdtнезависимо отt,то число переходов nза интервал времени=t₂–t₁распределено по пуассоновскому закону (2.7): P(n) = e^–ⁿ/n!, где  = n = . Тогда для автокорреляционной функции процесса(t) получаем:

,

то есть процесс будет стационарным. Его спектральная интенсивность:

.

Величина имеет смысл средней частоты переходов. Если²и, но²/(2) =C=const, тоG() =C/=const– белый шум.

Выберем теперь три момента времени t₁t₂t₃и рассмотрим среднееf(t₃)(t₂)(t₁),где f –произвольный запаздывающий функционал от .Величина(t₂)(t₁) зависит от числа переходов nна интервале (t₂,t₁), аf(t₃) зависит от переходов приt<t₃,то есть они независимы. Тогда

f(t₃)(t₂)(t₁)=f(t₃)(t₂)(t₁).

Введём функцию . Тогда,

,

.

Поскольку , то окончательно получаем:

. (8.0)

Заметим, что если уравнение Лиувилля (8.22)справедливо для любых случайных процессов, то уравнение (8.23) –только для пуассоновского случайного процесса. Обозначим=v_s. Посколькуx(t) запаздывает относительно(t), то и[x,s] запаздывает, значит для пуассоновского телеграфного процесса уравнение(8.23), взяв f = , можно записать в виде:

.

Делая вновь замену переменных s=x, получим совместно с уравнением (8.22) новуюсистему уравнений:

(8.0)

То есть, если для дельта-коррелированного случайного процесса (t) (белый шум) мы имели одно уравнение первого порядка по времени (8.20),то для случайного телеграфного процесса – уже систему (8.24)из двух уравнений первого порядка, или одно уравнение второго порядка по времени. Зато модель пуассоновского телеграфного сигнала гораздо более физична, так как для этого процесса мощность²(t) конечна, и, кроме того, |(t)| .

Рассмотрим стационарное решение уравнений (8.24),то есть.

(a – bv)' = 0, a – bv = const = 0, v = a/b,

2a/b = (a²/b – ²b)' = –[(²b² – a²)/b]'  u',

. (8.0)

Знак модуля в числителе получен из условия нормировки при b(x) < 0. Если

   и , так что²/= 2C=const, то, переходя к пределу в уравнении (8.25),получаем стационарное решение уравнения ФПК вида (7.24)

.

Если вновь рассмотреть RC-контур с уравнением

, (8.0)

где a(x) =x,b(x) = 1, то при дельта-коррелированном входном шуме(t) справедливо уравнение ФПК (7.20) и его стационарное решение (гауссов процесс):

.

Если (t) – СТС, то_ст~ (1 –²x²/²)^{(/ – 1)}, –/x/. В частном случае при0 получаем_ст(x²–²/²). Если=, получается равномерное распределение_ст=/(2). Наконец, приполучается ограниченное гауссово распределение.

Найдём x² = m₂ в стационарном режиме. Домножим уравнение (8.26) на 2х: d(x²)/dt + 2x² = 2x. После усреднения получаем . Из уравнения (8.23)при f = x следует:

.

В стационарном режиме , тогда

.

Если случайная сила меняет параметры контура, то его уравнение можно записать в виде , гдеa=x,b= –x. При дельта-кор­ре­ли­ро­ван­ном воздействии, выбравF=xⁿи используя обобщённое уравнение для средних (8.17), получим из уравнения(8.18)для моментов

.

Таким образом, если дисперсия воздействия Cпревосходит пороговое значение C_п = /n,тоn-й моментm_nнеограниченно возрастает, контурпараметрическивозбуждён. При сколь угодно слабом дельта-коррелированном воздействии всегда найдётся достаточно высокий момент, который будет неограниченно возрастать, что, конечно, физически бессмысленно.Причина заключается в бесконечно большой мощности белого шума и конечной вероятности сколь угодно больших выбросов при сколь угодно малой его спектральной интенсивности. Более адекватной является модель случайного телеграфного сигнала.

Рассмотрим, наконец, методы решения дифференциальных стохастических уравнений высокого порядка путём сведения их к системе уравнений первого порядка. Пусть

.

Обозначим . Тогда уравнение принимает вид:

.

Усредним его:

,

откуда непосредственно получаем дифференциальное уравнение для моментов

,

которое решается стандартным образом.