7.2. Уравнение Смолуховского

Тот факт, что для задания марковской случайной функции достаточно двух детерминированных функций, позволил значительно развить теорию марковских случайных процессов и получить ряд фундаментальных результатов, например связи между вероятностями перехода для трех каких-либо последовательных моментов времени t₁<t₂<t₃. Для моментаt₃условие согласования (3.2)и определение (7.2) марковского процесса позволяют записать соотноше­ние:

.

Если известно, что (t₁) = x₁, то это соотношение принимает вид:

.

Но по определению марковского процесса v(t₃,x₃|t₁,x₁,t₂,x₂) =v(t₃,x₃|t₂,x₂), сле­довательно:

. (7.0)

Соотношение (7.6)называется уравнением Смолуховского. Отметим две его особенности. Оно записано для марковского случайного процесса, поэтому все вероятности переходов описываются одной и той же функциейvи отличаются только разными аргументами. Кроме того, интегрирование в (7.6)поx₂должно автоматически исключать зависимость от промежуточного значенияt₂аналогично условию согласования (3.1).Для дискретного множества допустимых значенийxуравнение Смолуховского (7.6)можно записать в виде:

. (7.0)

Для случайной последовательности можно заменить аргумент t_nна "номер" испытания nи переписать уравнение (7.7)в виде:

.

Для стационарного марковского процесса уравнение (7.6)принимает вид:

.

7.3.Марковский процесс с дискретными состояниями

Уравнение Смолуховского вида (7.6)или (7.7)является весьма общим для широкого класса марковских процессов, но для решения конкретных задач применяется редко. Рассмотрим, к примеру, простую цепь Маркова, то есть систему с конечным числом дискретных состояний. Пусть в момент времениt₀задано рас­пределение вероятностиp(t₀,x_k) =P{(t₀) =x_k}. Как будет меняться это распределение во времени? Например, для двухуровневой системы –лазера – заданы заселенности уровней после импульса накачки, а нас интересует динамика заселенности.

Перепишем уравнение Смолуховского (7.7)для трех последовательных моментов времениt₀<t<t+

(7.0)

и предположим, что при достаточно малых вероятность перехода имеет вид

, (7.0)

что близко к пуассоновскому предположению (2.6).Символ Кроннекера в соотношении (7.9)отражает тот факт, что при   0 конечное состояние с достоверностью совпадает с начальным:

. (7.0)

Из соотношения (7.9)следует, что вероятность перехода за времяdtиз состоянияjв состояниеkjопределяется выражением:

.

Из условия нормировки очевидно, что при любом 

,

а значит, с учетом соотношения (7.9)

, (7.0)

так как по смыслу вероятности A_{j k}(t) > 0приjk.

Подставляя соотношение (7.9)в правую часть уравнения (7.8)и переходя к пределу при  0,получим:

,

. (7.0)

Совместно с начальным условием (7.10)система уравнений вида (7.12) определяет динамику вероятностей переходов. Выбрав моментыt₀<t₀+<tи устремляя к нулю, можно аналогично получить:

.

Если же нас интересует не динамика вероятностей переходов, а динамика вероятностей состояний p(t,x_k), то по формуле полной вероятности (1.4),положив в нейB(t) =x_k,A_i(t₀) =x_i, получим

. (7.0)

Домножив равенство (7.12)на начальное распределение вероятностей и просуммировав поi,получим с учетом соотношения (7.13)уравнение

, (7.0)

определяющее при начальном условии p(t₀,x_i) динамику распределения вероятностей.

Для стационарного марковского процесса вероятность перехода должна иметь вид p(t,x_k|t₀,x_i) =p(x_k|t–t₀,x_i) =p(x_k|,x_i). В этом случае уравнение (7.12)можно переписать в виде:

.

Вернемся теперь к двухуровневому лазеру. Пусть вероятность перехода за время dtиз уровня 1на уровень 2составляетA₁₂dt=dt, соответственно вероятность перехода из уровня 2 на уровень 1за времяdtсоставляетA₂₁dt=dt. Тогда в силу соотношения (7.11)получаемA₁₁= –,A₂₂= –и можем написать систему двух уравнений вида (7.14):

dp(t, 1)/dt = –p(t, 1) + p(t, 2), dp(t, 2)/dt = p(t, 1) – p(t, 2).

Поскольку в силу нормировки p(t, 1) + p(t, 2) = 1, можно свести эту систему к одному уравнению

dp(t, 1)/dt = –p(t, 1) + ,

где обозначено =+.

Пусть в начальный момент времени при t= 0 уровень 2полностью заселен, а уровень 1 –пустой, то естьp(0, 1) = 0, p(0, 2) = 1. Тогда решение уравнения имеет вид:

p(t, 1) = [1 – exp(–t)]/, p(t, 2) = / + exp(–t)/.

При tполучаем стационарные распределения вероятностейp(1) = /,

p(2) = /. Для лазерной системы можно найти коэффициентыи ,вос­поль­зо­вавшись стационарным распределением Больцманаp(2)/p(1) = exp(–E/kT), где E = E₂ – E₁. Тогда для заселенности уровней получаем формулы:

.

Полная энергия системы, содержащей Nэлектронов, при этом равна

E(t) = N[E₂p(t, 2) + E₁p(t, 1)] = NEp(t, 2) + NE₁.

Тогда излучаемая лазером мощность составит:

. (7.0)