Лосев-КлячинМиклюков МА в КИ

ПРИМЕР 2. Легко показать, что

+∞

V.p. sin xdx = 0.

−∞

УПРАЖНЕНИЕ 1. Покажите, что если f(x) определена всюду на прямой R, интегрируема на любом отрезке, принадлежащем этой прямой, и является нечетной, то она интегрируема по Коши и главное значение интеграла от нее равно нулю.

Глава 16

Ряды Фурье

§1. Ортонормированные системы функций

Пусть F = F[a, b] — множество всех кусочно-непрерывных на [a, b] функций.

УПРАЖНЕНИЕ 1. Докажите, что множество всех кусочнонепрерывных на [a, b] функций является линейным пространством.

Для всех f(x), g(x) F [a, b] определим величину

b

f, g = f(x)g(x)dx,

a

которую будем называть скалярным произведением функций f(x) и g(x) на [a, b].

УПРАЖНЕНИЕ 2. Докажите, что введенная выше величина действительно является скалярным произведением (т.е. для нее выполнены все аксиомы скалярного произведения).

Далее, для произвольной функции f(x) F[a, b] определим ее норму следующим образом

a

УПРАЖНЕНИЕ 3. Докажите, что введенная выше величина действительно является нормой (т.е. для нее выполнены все аксиомы нормы).

ОПРЕДЕЛЕНИЕ 1.1. Функции f(x) и g(x) F[a, b] называются ортогональными, если f, g = 0. Функция f(x) F[a, b] называется нормированной, если ее ||f|| = 1.

386 Глава 16. Ряды Фурье

ОПРЕДЕЛЕНИЕ 2.1. Функция rk(x) называется функцией Радемахера1. Ясно, что

Функция rk(x) имеет период 21k , постоянна на всяком полу-

интервале [2km+1 , m2k+1+1 ), где m Z и принимает на этих интервалах попеременно значения +1 и −1.

В точках вида 2km+1 , являющихся для нее точками разрыва, функция rk(x) непрерывна справа.

УПРАЖНЕНИЕ 1. Докажите, что для всех целых m и k ≥ 0 выполнено

m+1 2k

m

2k

ОПРЕДЕЛЕНИЕ 2.2. Системой функций Уолша2 {ωn(x)}∞n=0 называется множество функций, получаемых в результате всевозможных перемножений между собой функций Радемахера.

При этом договоримся лишь о следующей нумерации функций Уолша (нумерация Пэли3).

Положим ω0(x) = 1. Чтобы определить ωn(x) при n ≥ 1 представим натуральное число n в двоичной записи, т.е. в виде

1Радемахер Ганс Адольф (3.04.1892–7.02.1969). Род. в Гамбурге (Германия). Научная деятельность протекала в Бреслау, Германия (ныне Вроцлав, Польша), с 1936 года работал в США (Пенсильванский университет, Филадельфия). Основные работы относятся к теории функций действительного переменного и теории ортогональных рядов.

2Уолш Джозеф Леонард (21.9.1895–6.12.1973) – американский математик. Род. в Вашингтоне (США). Работал в основном в Гарвардском и Чикагском университетах. Основные труды относятся к теории функций и топологии.

3Пэли Раймонд Эдвард Алан Христофер (8.1.1907–7.4.1933). Род. в Борнмуте (Англия). Работал

вКембридже и Массачусетсском технологическом институте. Основные труды относятся к теории рядов и интегралов Фурье, ортогональным и гармоническим функциям.

ТЕОРЕМА 2.1. Для функции ωn(x), где 2k ≤ n < 2k+1 (k ≥ 0) и всякого полуинтервала [2mk , m2+1k ), m =

0, 1, ..., 2k − 1 выполнено

Доказательство. Представим ωn(x) в виде произведения (4). Тогда в силу (3) функция ωn−2k (x) постоянна на полуинтервале [2mk , m2+1k ) и принимает на нем значения +1 или −1. (Проверьте!)

Отсюда, учитывая (2), получаем

ТЕОРЕМА 2.2. Система функций Уолша является ортонормированной на [0, 1), т.е.

1, при n = mωn(x), ωm(x) = 0, при n = m.

Доказательство. Так как при всяком i = 0, 1, 2, ... выполнено ri2(x) = 1, то достаточно проверить ортогональность системы. Сделайте это самостоятельно.

§3. Понятие ряда Фурье по ортонормированной системе функций

Пусть {ωn}∞n=0– ортогональная на [a, b] система функций и

называются коэффициентами Фурье4 функции f(x) в системе

{ωn}∞n=0.

ОПРЕДЕЛЕНИЕ 3.2. Ряд

∞

n=0

где коэффициенты подсчитываются по формуле (1), называется рядом Фурье для функции f(x) в системе {ωn}∞n=0.

Тот факт, что ряд (2) порождается функцией f(x) в системе {ωn}∞n=0 обозначается следующим образом:

∞

f(x) αnωn(x).

n=0

ОПРЕДЕЛЕНИЕ 3.3. Ряд Фурье, порождаемый функцией f(x) в системе 1, cos x, sin x, cos 2x, sin 2x, ..., ортогональной на отрезке [0, 2π], называется тригонометрическим рядом Фурье, порожденным функцией f(x) и обозначается

ЗАМЕЧАНИЕ. Если ряд Фурье порожден функцией f(x), то его сумма может как совпадать с f(x), так и не совпадать. Существуют примеры непрерывных f(x), ряд Фурье которых расходится на множестве всех рациональных точек. В дальнейшем будут указаны условия, обеспечивающие совпадение f(x) c суммой порождаемого ею ряда Фурье.

4Фурье Жан Батист Жозеф (21.3.1768 – 16.5.1830) – французский математик. Его основной труд "Аналитическая теория теплоты" содержал выведенное им уравнение теплопроводности и метод разделения переменных (метод Фурье). Ключом в методе Фурье является разложение функции в тригонометрический ряд. Исследованием возможности такого разложения занимались впоследствии многие крупные математики. Это, в частности, привело к созданию теории функций действительного переменного, теории множеств, а также способствовало развитию понятия функции.

ОПРЕДЕЛЕНИЕ 3.4. Многочлен вида

a20 + n (ak cos kx + bk sin kx),

k=1

где ak и bk – произвольные коэффициенты (не обязательно коэффициенты Фурье некоторой функции) называется тригонометрическим многочленом. Ряд

a20 + ∞ (ak cos kx + bk sin kx)

k=1

называется тригонометрическим рядом.

§4. Свойство минимальности отрезков ряда Фурье. Неравенство Бесселя. Сходимость "в среднем". Равенство Парсеваля

ТЕОРЕМА 4.1. Пусть {ωn}∞n=0 ортонормированная на отрезке [a, b] система функций. Пусть

n

есть частичная сумма ряда Фурье для функции f(x), и пусть

Причем равенство имеет место в том и только том случае, когда

βm = αm, m = 0, 1, . . . n.

Доказательство. Мы имеем:

Нужное заключение полностью следует из этого равенства.

ЗАМЕЧАНИЕ (неравенство Бесселя). Из равенства (5) вытекает, что