Лосев-КлячинМиклюков МА в КИ

ТЕОРЕМА 12.2. Предположим, что функция f(x, y, z) имеет в точке (x0, y0, z0) непрерывные частные производные, а функции x = x(u, v), y = y(u, v), z = z(u, v) – непрерывные частные производные в точке (u0, v0), где

x0 = x(u0, v0) , y0 = y(u0, v0) , z0 = z(u0, v0).

Если сложная функция Φ(u, v) = f(x(u, v), y(u, v), z(u, v)) определена в окрестности точки (u0, v0), то она имеет в этой точке частные производные, причем

УПРАЖНЕНИЕ 1. В каком месте доказательства используется предположение о непрерывности частных производных в точке ?

УПРАЖНЕНИЕ 2. Сформулировать и доказать приведенные выше теоремы для функций n переменных.

УПРАЖНЕНИЕ 3. Попробуйте привести более "сжатое" доказательство теоремы 12.1.

§13. Полный дифференциал сложной функции. Инвариантность формы первого дифференциала

Предположим, что задана дифференцируемая функция

u = f(x1, x2, . . . , xn) , где xi = xi(t1, t2, . . . , tk) −

также дифференцируемые функции k переменных. Ее полный дифференциал подсчитывается по формуле

Заметим, однако, что, пользуясь правилом вычисления частной производной сложной функции, имеем

Вывод. Дифференциал сложной функции всегда можно вычислять по формуле (2) независимо от того являются ли xj функциями переменных t1, t2, . . . , tk либо независимыми переменными.

Данное свойство описывает инвариантность формы первого дифференциала функции нескольких переменных.

§14. Дифференциалы высшего порядка

Предположим, что на открытом множестве D Rn за-

дана некоторая функция f(x) = f(x1, x2, . . . , xn), имеющая непрерывные частные производные. Тогда, как нам известно,

существует полный дифференциал

n ∂f

df = i=1 ∂xi (x1, x2, . . . , xn) dxi.

Данная величина (если зафиксировать dxi = ∆xi) является функцией переменной x = (x1, x2, . . . , xn) D и мы можем

ставить вопрос о ее дифференциале. Так, если функции ∂f

∂xi

имеют непрерывные частные производные или, что то же самое, функция f имеет на D непрерывные вторые производ-

т.е. однородная функция нулевой степени представляется в виде функции отношений всех аргументов к одному из них.

Пусть теперь f(x, y, z) однородна степени s. Тогда функция f(x, y, z)/xs является однородной степени 0, а потому

Тем самым, приходим к общему виду однородной функции

Предположим, что однородная степени s функция f(x, y, z) имеет непрерывные частные производные по каждой из переменных. Продифференцируем обе части равенства (1) по переменной t. Мы имеем

fx(tx, ty, tz)x + fy(tx, ty, tz)y + fz(tx, ty, tz)z = sts−1f(x, y, z).

В частности, при t = 1 приходим к формуле Эйлера fx(x, y, z) x + fy(x, y, z) y + fz(x, y, z) z = s f(x, y, z).

Можно показать, что всякая функция, имеющая непрерывные частные производные и удовлетворяющая формуле Эйлера, является однородной функцией степени s (Г.М. Фихтенгольц, Курс дифференциального и интегрального исчисления, раздел 188).

УПРАЖНЕНИЕ 1. Указать области определения однородных функций. Могут ли эти области быть произвольными?

УПРАЖНЕНИЕ 2. Привести примеры недифференцируемых однородных функций степени s > 1.

§16. Производная по направлению и градиент

Пусть z = f(x, y) – функция, определенная на открытом множестве D R2. Пусть (x0, y0) D – некоторая точка и пусть e = (cos α, sin α) – единичный вектор, задающий направление в точке (x0, y0). Уравнение прямой, проходящей через точку (x0, y0) в направлении e имеют вид

x(t) = x0 + t cos α , y(t) = y0 + t sin α.

Сужение функции f на эту прямую есть функция переменной t, описываемая равенством z = f(x(t), y(t)) или, что то же самое,

z = f(x0 + t cos α , y0 + t sin α).

Данная функция определена, по крайней мере, для достаточно малых t, поэтому можно ставить вопрос о ее производной при t = 0. Эта производная называется производной по направлению e функции двух переменных f в точке (x0, y0) и обозначается

∂f

∂e (x0, y0).

Как следует из правила дифференцирования сложной функции, если f имеет в D непрерывные частные производные, то для производной по направлению e справедлива следующая формула

Градиентом функции f в точке (x0, y0) называется вектор

Если воспользоваться этим символом, то формула (1) переписывается в следующем виде

Из определения производной по направлению следует, что она описывает скорость роста функции в точке (x0, y0) в направлении вектора e. Выясним геометрический смысл градиента.

Предположим, что точка (x0, y0) D не является критической, т.е. выполнено f(x0, y0) = 0. Соотношение (2) влечет, что

∂f

∂e (x0, y0) = | f(x0, y0)| · |e| · cos θ = | f(x0, y0)| cos θ ,

где θ – угол между векторами e и f(x0, y0). Поэтому минимальное и максимальное значения производной ∂f∂e (x0, y0) достигаются, соответственно, при θ = 0 и θ = π, т.е. при

Вывод. Градиент функции в некритической точке (x0, y0)

– это вектор, направление которого указывает направление наибольшего подъема функции в этой точке, а длина равна абсолютной величине производной по этому направлению.

Аналогичным образом определяются производная по направлению и градиент функции большего числа переменных.

Пусть z = f(x1, x2, . . . , xn) и a = (a1, a2, . . . , an). Тогда, по определению,

ПРИМЕР 1. Найдем направление наибольшего подъема функции

z = x2 − y2

2

вточке (1, 1) и производную в этом направлении. Для градиента функции в точке (1, 1) имеем

Находим направление наибольшего подъема

и, далее, производную в этом направлении

§17. Формула Тейлора для функций нескольких переменных

ТЕОРЕМА 17.1. Пусть y = f(x) = f(x1, . . . , xn) –

функция, определенная в области D Rn и имеющая там непрерывные частные производные вплоть до порядка (N +1) включительно. Пусть точки x0 = (x01, . . . , x0n)

и x0 + ∆x = (x01 + ∆x1, . . . , x0n + ∆xn) и соединяющий их отрезок [x0, x0 + ∆x] принадлежат D. Тогда существует

точка θ [x0, x0 + ∆x] такая, что

∆f(x0) = N d(k)f(x0) + d(N+1)f(θ). k!

k=1

Доказательство. Введем новую переменную t [0, 1], и пусть

x1 = x01 + t ∆x1

x = x0 + t ∆x = . . . . . .

xn = x0n + t ∆xn.

При изменении параметра t в пределах отрезка [0, 1] точка x = x0 + t ∆x движется вдоль отрезка [x0, x0 + ∆x].

Рассмотрим сложную функцию y = F (t) = f(x0 + t ∆x), где t [0, 1]. Данная функция имеет непрерывные производные вплоть до порядка N + 1 включительно и, на основании формулы Тейлора для одномерного случая, имеем

F (1) − F (0) = N F (k)(0) + F (N+1)(ξ) , k! (N + 1)!

k=1

где ξ [0, 1].

Пользуясь формулой для вычисления частных производ-

§18. Необходимые условия локального экстремума функции нескольких переменных

Пусть y = f(x) = f(x1, x2, . . . , xn) – функция, определенная на открытом множестве D Rn. Пусть

x0 = (x01, x02, . . . , x0n) – точка в D.

ОПРЕДЕЛЕНИЕ 18.1. Говорят, что y = f(x) имеет в точке x0 локальный минимум, если

f(x0) ≤ f(x)

для всех x из некоторой окрестности x0. Если для всех x = x0 из данной окрестности выполнено

f(x0) < f(x),

то, говорят, что в точке x0 функция y = f(x) имеет строгий локальный минимум.

Функция y = f(x) имеет в точке x0 локальный максимум, если для всех x из некоторой окрестности x0 выполнено

f(x0) ≥ f(x).

Если для всех x = x0 из данной окрестности выполнено f(x0) > f(x),

то, говорят, что в точке x0 функция y = f(x) имеет строгий локальный максимум.

Функция f имеет в x0 локальный экстремум, если она имеет в этой точке либо локальный минимум, либо локальный максимум.

ТЕОРЕМА 18.1. Пусть y = f(x1, x2, . . . , xn) – функция n переменных, определенная в области D Rn и име-

ющая там частные производные первого порядка. Если x0 D является точкой локального экстремума функции f, то

Доказательство. Рассмотрим функцию одной переменной

F (x1) = f(x1 , x02, . . . , x0n).

Данная функция имеет при x1 = x01 локальный экстремум и по соответствующей теореме для одномерного случая можем записать

Рассуждая так при любом фиксированном i = 2, . . . , n, убеждаемся в справедливости системы равенств (1). Теорема доказана.

Как и в случае одной переменной, условия (1) не являются достаточными для существования в точке локального экстремума. Точки области D, в которых имеют место соотношения (1), называются критическими или точками, подозрительными на экстремум.

ПРИМЕР 1. Функция z = y2 − x2 не имеет в точке (0, 0) ни локального максимума ни локального минимума, однако zx(0, 0) = zy(0, 0) = 0. Точка (0, 0) является седловой точкой

графика.

§19. Достаточные условия локального экстремума функции нескольких переменных

Пусть y = f(x) – трижды непрерывно-дифференцируемая функция n переменных, определенная на открытом множестве D Rn и пусть x0 – критическая точка функции f. На основании формулы Тейлора, имеем

∆f(x0) = d2f(x0) + d3f(θ) , 2! 3!