Лосев-КлячинМиклюков МА в КИ

Описываемая ситуация не является плодом фантазий. К примеру, она встречается в случае атомных подводных лодок, остающихся в погруженном состоянии весьма длительное время, в случае ракет и т.п. Основная идея принципа инерциальной навигации состоит в том, что по измеряемому ускорению, путем его интегрирования, находятся скорость и положение объекта. Интегрирование производится с помощью специального прибора, называемого — интегратор.

§4. Пример неинтегрируемой по Риману функции

Рассмотрим функцию Дирихле

Докажем, что при любых a < b интеграл

b

D(x) dx

a

не существует. Пусть Tn – произвольное разбиение [a, b]. Так как точки ξi выбираются произвольно, то сначала выберем их рациональными, а потом иррациональными. В первом случае интегральные суммы имеют вид

во втором —

Ясно, что даже сколь угодно измельчая отрезок [a, b], мы не

можем добиться того, чтобы S(T˙n) и S(T˙n) стремились к одному и тому же пределу. Таким образом, функция Дирихле не интегрируема по Риману.

УПРАЖНЕНИЕ 1. Как "устроен" график функции Дирихле y = D(x)? Является ли данная функция кусочно-непре- рывной?

§5. Ограниченность интегрируемых по Риману функций

ТЕОРЕМА 5.1. Если f интегрируема по Риману на [a, b], то она ограничена на этом отрезке.

f(x) dx

a

называется несобственным (обозначение то же, что и у интеграла Римана).

Аналогично поступаем и в случае, когда необходимо найти интеграл по бесконечному промежутку, например по [a, +∞). Здесь полагаем

+∞ b

Определение несобственного интеграла для случаев, когда f неограничена в окрестности внутренней точки отрезка, либо когда требуется вычислить интеграл по (a, b), или по (−∞, +∞), будут введены позже в теории несобственного интеграла.

§7. Суммы Дарбу, их геометрический смысл. Верхний и нижний интегралы Дарбу

Пусть f – ограниченная на [a, b] функция, Tn – разбиение отрезка [a, b]. Положим

mi = inf{f(x) : x [xi, xi+1]}, Mi = sup{f(x) : x [xi, xi+1]}.

mk (xk+1 − xk) = mk (x − xk) + mk (xk+1 − x ) ≤

≤ mk (x − xk) + mk (xk+1 − x ),

приходим к неравенству

s(T ) ≤ ki=0−1 mi (xi+1 − xi) + mk (x − xk) +

Для верхней суммы Дарбу доказательство аналогично.

ЛЕММА 7.3. Для произвольных разбиений T и T отрезка [a, b] выполнено

s(T ) ≤ S(T ).

Доказательство. Рассмотрим разбиение T , полученное объединением точек деления T и T . Ясно, что разбиение T следует и за T , и за T . Из леммы 7.2 следует, что

С другой стороны, на основании леммы 7.1 всегда выполнено s(T ) ≤ S(T ). Поэтому мы получаем

s(T ) ≤ s(T ) ≤ S(T ) ≤ S(T ).

ОПРЕДЕЛЕНИЕ 7.2. Величины

b b

называются, соответственно, нижним и верхним интегралами Дарбу.

Из леммы 7.3 вытекает, что для всякой ограниченной функции множество всех ее верхних сумм Дарбу {S(T )} ограничено снизу, а множество всех нижних сумм {s(T )} — сверху. Таким образом, верхний и нижний интегралы Дарбу определены, по крайней мере, для ограниченных функций. С другой стороны, ясно, что если функция неограничена на отрезке, то по крайней мере один из ее интегралов Дарбу — верхний или

ЛЕММА 8.1. Пусть f – ограниченная на [a, b] функция, T – разбиение отрезка [a, b], T – разбиение [a, b], следующее за разбиением T и полученное из T добавлением m новых внутренних точек деления. Тогда

где Ω – колебание f на [a, b] и µ(T ) – мелкость разбиения T .

Доказательство. Докажем лишь (1), поскольку доказательство (2) аналогично. Ограничимся случаем, когда T получается из T добавлением одной точки деления x . (Общий случай, применяя метод математической индукции, рассмотрите самостоятельно!). Предположим, что x [xk, xk+1]. Тогда

mk (xk+1 − xk) ≤ mk (x − xk) + mk (xk+1 − x ), (3)

где величины mk, mk ≥ mk, mk ≥ mk были определены в предыдущем разделе.

В силу (3), имеем

s(T ) − s(T ) = mk (x − xk) + mk (xk+1 − x ) − mk(xk+1 − xk) =

= (mk − mk) (x − xk) + (mk − mk) (xk+1 − x ).

Однако, как легко видеть,

0 ≤ mk − mk ≤ Ω, 0 ≤ mk − mk ≤ Ω,

188 Глава 9. Определенный интеграл

а потому

s(T )−s(T ) ≤ Ω (x −xk)+Ω (xk+1−x ) = Ω (xk+1−xk) ≤ Ω µ(T ).

ТЕОРЕМА 8.1 (Дарбу). Пусть f – ограниченная на [a, b] функция. Тогда существуют пределы верхней и нижней сумм Дарбу при µ(T ) → 0, причем

b b

Доказательство. Докажем первое из утверждений. Так как

Предположим, что разбиение Tε содержит m ≥ 1 точек деления. Положим

δ(ε) = 2mεΩ, Ω = osc{f; [a, b]}.

(Мы вправе считать, что Ω > 0, поскольку из равенства Ω = 0 следует, что f ≡ const и утверждение очевидно).

Пользуясь теперь (5) и (6), получаем

0≤ I − s(T ) = I − s(T ) + s(T ) − s(T ) ≤ 2ε + m Ω µ(T ) <

<2ε + Ω m δ(ε) = 2ε + 2ε ΩΩ mm = ε.

Переходя в двойном неравенстве к точной верхней и точной

нижней граням по всем ξi [xi, xi+1], i = 0, . . . , n − 1, получаем

где mi и Mi – соответственно точные нижняя и верхняя грани f на [xi, xi+1].

Таким образом, ε > 0 δ(ε) > 0 такое, что Tn с

Следовательно,

s(Tn) → I и S(Tn) → I.

По теореме Дарбу получаем нужное.

ЗАМЕЧАНИЕ. Отметим, что из неравенств (1) следует утверждение:если функция f интегрируема по Риману, то ε > 0

δ(ε) > 0 такое, что для всех разбиений T с µ(T ) < δ(ε) выполнено |S(T ) − s(T )| < ε.

СЛЕДСТВИЕ. Для того, чтобы функция f была интегрируемой по Риману на [a, b], необходимо и достаточно, чтобы для всякого ε > 0 существовало разбиение T отрезка [a, b] такое, что S(T ) − s(T ) < ε.

Доказательство. Достаточность. В силу определений верхнего и нижнего интегралов Дарбу, для произвольного разбиения T справедливо

0 ≤ I − I ≤ S(T ) − s(T ).

Тем самым, по предположению,

0 ≤ I − I ≤ ε.

Отсюда вытекает, что I = I, и по критерию интегрируемости заключаем, что функция f интегрируема.

Необходимость. Смотри замечание.

§10. Классы интегрируемых функций

10.1.Интегрируемость непрерывных функций

ТЕОРЕМА 10.1. Всякая непрерывная на отрезке функция интегрируема по Риману.