Лосев-КлячинМиклюков МА в КИ

§7. Теорема Дарбу

ТЕОРЕМА 7.1 (Дарбу4). Если функция f имеет конечную производную в каждой точке отрезка [a, b], то ее

производная f принимает в качестве значения на (a, b) любое число между f (a) и f (b).

Доказательство. Предположим сначала, что f (a) > 0, f (b) < 0.

Докажем существование точки ξ (a, b) такой, что f (ξ) = 0. Из существования и конечности производной f следует непрерывность на отрезке [a, b] функции f. Далее, по теореме Вейерштрасса, f принимает в некоторой точке ξ [a, b] свое наибольшее значение.

Точка ξ = a, поскольку из f (a) > 0 следует, что f(x) > f(a) вблизи a.

Точка ξ = b, поскольку неравенство f (b) < 0 влечет, что f(x) > f(b) вблизи точки b.

Таким образом, a < ξ < b и, по теореме Ферма, f (ξ) = 0.

Переходим к общему случаю. Фиксируем произвольно чис-

ло C между f (a) и f (b). Пусть для определенности f (a) > C > f (b). Рассмотрим функцию

ϕ(x) = f(x) − Cx.

Она дифференцируема на [a, b], и ее производная

и, по доказанному,

ξ (a, b) : ϕ (ξ) = f (ξ) − C = 0.

Тем самым, f (ξ) = C.

4Дарбу Жан Гастон (13.8.1842-23.2.1917). Род. в Ниме (Франция). Член Парижской АН (1884), чл.-кор. Петербургской АН (1895). Основные труды посвящены дифференциальной геометрии и дифференциальным уравнениям.

УПРАЖНЕНИЕ 2. Найти формулировку правила Лопиталя для случая, в котором f и g обращаются в нуль во внутренней точке интервала (a, b).

ПРИМЕР 1. Найдем

lim tgx − x . x→0 x − sin x

Решение проведем в несколько шагов. Рассмотрим полуинтервал [−π4 , 0). На этом промежутке (x−sin x) = 1−cos x = 0, и мы вправе воспользоваться предыдущей теоремой. Тогда имеем

Аналогично, рассматривая полуинтервал (0, π4 ], находим

На основании теоремы о связи односторонних пределов с двусторонним получаем

lim tgx − x = 2. x→0 x − sin x

ПРИМЕР 2. Найдем

lim sin x − x.

x→0 x3

Пользуясь трижды правилом Лопиталя, получаем

ТЕОРЕМА 8.2. Пусть f и g – функции, определенные на [c, +∞) и обладающие следующими свойствами:

2)для всякого x [c, +∞) существуют конечные производные f (x) и g (x), причем g (x) = 0;

3)существует (конечный либо нет) предел

lim f (x) = K.

x→+∞ g (x)

Тогда существует предел

lim f(x) = K.

x→+∞ g(x)

Доказательство. Не умаляя общности, можем считать, что c > 0. Рассмотрим функции

полученные заменой t = x1 . Тогда, очевидно,

lim f1(t) = lim g1(t) = 0

t→0 t→0

и, кроме того,

Пользуясь предыдущей теоремой, получаем

8.2.Раскрытие неопределенностей вида ∞∞

ТЕОРЕМА 8.3. Пусть f и g – функции, определенные на полуинтервале [a, b) и обладающие там следующими

2)для всякого x [a, b) существуют конечные производные f (x) и g (x), причем g (x) = 0;

3)существует (конечный либо нет) предел

Доказательство. Случай |K| < ∞. Так как f(x), g(x) → +∞,

то при всех x, достаточно близких к точке b, выполнено f(x) > 0 и g(x) > 0. Поэтому, не умаляя общности, можем считать, что f(x) > 0 и g(x) > 0 всюду на [a, b).

Зафиксируем произвольно ε > 0. В силу третьего условия теоремы, найдется δ > 0 такое, что при всех x (b − δ, b)

Для всякого промежутка [b − δ, x], где b > x > b − δ, на основании второй теоремы "о среднем" (формула Коши), имеем

где

1 − f(b − δ) f(x)

α(x) = .

1 − g(b − δ) g(x)

|x − b| < min{δ1, δ}.

Тем самым, теорема полностью доказана для |K| < ∞. Случай K = +∞. Поскольку

то при x, достаточно близких к точке b, выполнено f (x) > 0. Тем самым,

lim g (x) = 0,

x→b−0 f (x)

128 Глава 5. Основные теоремы дифференциального исчисления

откуда по доказанному выше вытекает, что

lim g(x) = 0

x→b−0 f(x)

и

lim f(x) = +∞.

x→b−0 g(x)

УПРАЖНЕНИЕ 3. Для случая бесконечного промежутка сформулировать и доказать соответствующее утверждение самостоятельно.

8.3.Раскрытие неопределенностей других видов

Неопределенности вида 0 · ∞, ∞ − ∞, 1∞, 00, ∞0 раскрываются после подходящего преобразования выражения к ранее изученному случаю.

1) 0 · ∞ = 01 = ∞1 .

∞0

ПРИМЕР 3. Найдем

3) Неопределенности вида 1∞, 00, ∞0 раскрываются после предварительного логарифмирования.

ПРИМЕР 5. Найдем

Потенцируя, получаем z = e−13 .

§9. Приближенное вычисление корней уравнений

9.1.Метод итераций

Пусть F – дифференцируемая на (−∞, +∞) функция, удо-

Изучим предварительно свойства итерационной последова-

Доказательство. Пользуясь формулой конечных приращений Лагранжа, мы имеем

xn+1 − xn = F (ξn) (xn − xn−1)

и, в силу (1),

|xn+1 − xn| ≤ q |xn − xn−1| .

Далее, в силу аналогичных соображений, при n ≥ 2 находим

|xn − xn−1| ≤ q |xn−1 − xn−2| ,

и

|xn+1 − xn| ≤ q2 |xn−1 − xn−2| .

Сделав n шагов, приходим к (4).

Доказательство. Заметим сначала, что

xn+k−xn = (xn+k−xn+k−1)+(xn+k−1−xn+k−2)+. . .+(xn+1−xn).

Учитывая (4), получаем

|xn+k − xn| ≤ |xn+k − xn+k−1| + |xn+k−1 − xn+k−2| + . . . +

+|xn+1−xn| ≤ qn+k−1|x1−x0|+qn+k−2|x1−x0|+. . .+qn|x1−x0| = = qn|x1 − x0| qk−1 + qk−2 + . . . + q + 1 .

и из предыдущего соотношения следует (5).