Лосев-КлячинМиклюков МА в КИ

В качестве отмеченных точек выберем точки ξi = (xi+xi+1)/2, т.е. середины отрезков [xi, xi+i]. Тогда справедливо

Здесь Rn – остаточный член и для практических применений формулы (1) важно знать его оценки.

Покажем, что если f имеет на [a, b] непрерывную произ-

Оценим сначала интеграл

h

f(x) dx,

−h

считая, что f дважды непрерывно дифференцируема на отрезке [−h, h].

Пусть F – первообразная по отношению к f. Тогда

h

f(x) dx = F (h) − F (−h).

−h

Так как F трижды непрерывно дифференцируема на [−h, h] (что следует из того, что f – дважды непрерывно дифференцируема, и теоремы о дифференцируемости интеграла по переменному верхнему пределу), то, пользуясь формулой Тейлора с остаточным членом в форме Лагранжа, получаем

F (x) = F (0) + F (0)x + 12F (0)x2 + 16F (ξx)x3,

где ξx – некоторая точка между точками 0 и x. Заметим, что

F (0) = f(0), F (0) = f (0), F (ξx) = f (ξx).

214 Глава 10. Свойства интегрируемых функций

называемую формулой трапеций.

10.3.Формула парабол (формула Симпсона)

Пусть f – непрерывная на [−h, h] функция. Заменим при-

ближенно f квадратичной параболой y = a x2 + b x + c так, чтобы y(−h) = f(−h), y(0) = f(0) и y(h) = f(h).

Заменяя теперь интеграл от f эквивалентным интегралом от квадратного трехчлена y = ax2 + bx + c, получаем

h

f(x)dx ≈ h3 [f(−h) + 4f(0) + f(h)].

−h

В случае, если f непрерывна на [a, b], данное соотношение влечет

Разобьем [a, b] на n равных частей точками

a = x0 < x2 < · · · < x2n = b и обозначим через x2i+1 середину [x2i, x2i+2]. Тогда

и, применяя к каждому из интегралов в сумме приближенную формулу (3), находим

Это есть известная формула Симпсона.

через каждую точку квадрата (кривые Пеано).

Схематический рисунок кривой Пеано

УПРАЖНЕНИЕ 1. Сравнить приведенный рисунок со знаменитой картиной Малевича.2

УПРАЖНЕНИЕ 2. Выяснить, не могла ли являться картина Малевича "Черный квадрат" попыткой изобразить кривую Пеано?

1.1.Уравнения касательной и нормали к кривой

Пусть задана дифференцируемая кривая (или дуга) γ посредством вектор-функции

r(t) = (ϕ(t), ψ(t)),

определенной на промежутке a, b . Фиксируем некоторое значение параметра t0 a, b . Придадим t0 приращение ∆t так, чтобы параметр t0 + ∆t a, b . Тогда вектор-функция получит приращение

r(t0 + ∆t) − r(t0) = (ϕ(t0 + ∆t) − ϕ(t0), ψ(t0 + ∆t) − ψ(t0)).

Предельный вектор

lim r(t0 + ∆t) − r(t0) = r (t0) = (ϕ (t0), ψ (t0))

∆t→0 ∆t

называется производной вектор-функции r(t) в точке t0.

2Малевич Казимир Северинович (1878–1935 гг.) – художник. Учился в Училище живописи, ваяния и зодчества (1904–1905 гг.). Участник выставок художественных группировок "Бубновый валет", "Ослиный хвост" и др. В 1919-1922 гг. преподавал в Народной художественной школе "нового революционного образца" в Витебске. В 1923-1927 гг. – директор Ленинградского гос. института художественной культуры. Один из основателей абстрактного искусства, отошёл от отражения реальных вещей и явлений, отказался от конкретной сюжетной содержательности произведений, трактовал предметную форму как комбинации контрастных по цвету геометрических элементов ("Чёрный квадрат", 1913 г.; "Полёт аэроплана", 1915 г.; "Красный квадрат", 1917 г.) Автор книг: "Искусство, церковь, фабрика", "Супрематизм", "От кубизма к супрематизму".

220 Глава 11. Приложения определенного интеграла

ЛЕММА 1.1. Предположим, что кривая (или дуга) γ задана посредством пары непрерывных функций x = ϕ(t), y = ψ(t), t [a, b].

Если кривая (или дуга) γ является простой, то мелкость µ(P ) → 0 тогда и только тогда, когда мелкость

µ(T ) → 0.

Доказательство. Утверждение о том, что µ(T ) → 0 влечет µ(P ) → 0, следует из теоремы Кантора о равномерной непрерывности для ϕ и ψ.

Для доказательства обратного утверждения предположим противное. В таком случае найдется последовательность пар

(ϕ(t ), ψ(t )) = p , (ϕ(t ), ψ(t )) = p .

Тем самым, мы нашли два различных значения параметра t = t , переходящих в одну и ту же точку p = p на γ,

причем в случае замкнутости кривой γ найденная точка не может совпадать с концевой точкой A = B. Это противоречит предположению, что γ – простая кривая (дуга).

УПРАЖНЕНИЕ 3. Показать, что лемма 1.1 будет неверна, если мелкость определить формулой

µ˜(P ) = max |pi − pi+1|.

0≤i≤n−1