Лосев-КлячинМиклюков МА в КИ

Глава 8

Неопределенный интеграл

§1. Понятие неопределенного интеграла

Основная задача дифференциального исчисления состоит в нахождении производной или дифференциала данной функции. Интегральное исчисление решает обратную задачу: по заданной производной или дифференциалу неизвестной функции требуется определить эту функцию.

Пусть f — функция, определенная на a, b , где a, b R. Говорят, что функция F является первообразной по отношению к f, если F (x) = f(x) для всех x из промежутка a, b .

ПРИМЕР 1. Функции F1(x) = ln x и F2(x) = ln 3x−1 являются первообразными по отношению к функции f(x) = 1/x

на (0, +∞). А функции F1(x) = ln |x| и F2(x) = ln 3|x|−1 являются первообразными по отношению к функции

f(x) = 1/x на (−∞, 0).

Операция нахождения первообразной по данной функции называется интегрированием. Операция интегрирования в отличие от операции дифференцирования многозначна. В самом деле, если

F (x) = f(x),

то

(F (x) + C) = F (x) = f(x).

Оказывается этим исчерпывается множество всех первообразных для функции f(x). Иными словами, справедлива следующая теорема.

ТЕОРЕМА 1.1. Пусть F1, F2 – первообразные по отношению к функции f на a, b . Тогда существует постоянная C такая, что F1(x) − F2(x) = C для всех x a, b .

Доказательство. Так как F1 и F2 являются первообразными по отношению к одной и той же функции, то

нее, если производная функции равна нулю всюду на a, b , то функция тождественно постоянна на данном промежутке. Следовательно, существует постоянная C, для которой

F1(x) − F2(x) = C при всех x из a, b .

ЗАМЕЧАНИЕ. В условиях теоремы важно, что область определения состоит из одного, а не из нескольких связных промежутков. Функции y = ln |x| и y = ln |x| + sgnx имеют производную 1/x на множестве R \ {0} = (−∞; 0) (0; +∞). Однако, их разность равна sgn x, что, очевидно, не есть постоянная.

ОПРЕДЕЛЕНИЕ 1.1. Совокупность всех первообразных F по отношению к f на a, b называется неопределенным интегралом от f на a, b и обозначается

f(x) dx = F (x) + C.

Операция нахождения неопределенного интеграла, также как и первообразной, называется интегрированием.

ТЕОРЕМА 1.2. Справедливы соотношения:

a.d f(x) dx = f(x) dx;

b.dF (x) = F (x) + C;

c. (f(x) ± g(x)) dx = f(x) dx ± g(x) dx;

d. (c f(x)) dx = c f(x) dx, c = const.

Доказательство. Первые два свойства означают, что симво-

лы d и взаимно уничтожаются. Эти утверждения — непосредственные следствия определений дифференциала и интеграла. Докажем свойство c. Пусть F — первообразная по отношению к f, G — первообразная по отношению к g наa, b . Тогда функция F ± G является первообразной по отношению к f ±g, что следует из свойств производных суммы и разности.

Докажем свойство d. Пусть F — первообразная по отношению к f. Тогда функция c F является первообразной по отношению к c f, поскольку (c F ) = c F = c f.

§2. Замена переменной в неопределенном интеграле

ТЕОРЕМА 2.1. Если y = ϕ(x) — дифференцируема и

определена сложная функция f(ϕ(x)), то

f(ϕ(x)) ϕ (x) dx = f(y) dy.

При этом, если существует один из этих интегралов, то существует и другой.

Доказательство. Пусть F — произвольная первообразная по отношению к f. Требуется проверить равенство

f(ϕ(x)) ϕ (x)dx = F (ϕ(x)) + C.

По правилу дифференцирования сложной функции имеем

(F (ϕ(x)) + C) = F (ϕ(x)) ϕ (x) = f(ϕ(x)) ϕ (x),

что и требуется.

ПРИМЕР 1. Вычислим

xdx x2 + a.

Сделаем подстановку

y = x2 + a = ϕ(x) dy = 2x dx = ϕ (x).

= 12 ln |y| + C = 12 ln |x2 + a| + C .

ПРИМЕР 2. (1650)(Здесь и ниже в скобках приводится нумерация заданий в книге Б.П. Демидовича "Сборник задач и упражнений по математическому анализу"). Находим интеграл

Доказательство. Так как функции u и v дифференцируемы, то по правилу дифференцирования произведения имеет место равенство

d(uv) = vdu + udv,

и, поэтому,

udv = d(uv) − vdu.

Интеграл от каждого слагаемого правой части существует,

= x sin x + cos x + C.

sin2 x dx = −12 sin x cos x + x2 + C.

Отсюда приходим к формуле

cos2 x dx = x2 + 12 sin x cos x + C.

ПРИМЕР 4. Обнаружить неточности в следующей цепи рассуждений: интегрируя по частям в интеграле

откуда 0 = 1.

Решение. Неопределенный интеграл представляет собой некоторое множество функций, а именно, множество перво-

образных. Таким образом, равенство (2) является равенством двух множеств функций и останется верным, если констан-

ту 1 заменить на любую другую константу, например, на π. Итак, в приведенном в данном примере рассуждении были неверно взаимно уничтожены множества.

§4. Простые дроби и их интегрирование

Простыми дробями называются выражения следующих четырех типов

Здесь m = 2, 3, . . . , A, M, N, a, p, q R, и квадратный трехчлен x2+px+q не имеет вещественных корней, т.е. p2−4q < 0.

Рассмотрим каждый из типов в отдельности.

где P (x) — многочлен и R1(x) = ϕ(x)/ψ(x) — правильная дробь. Таким образом, интегрирование произвольной рациональной функции сводится к интегрированию простых дробей.

ТЕОРЕМА 5.1. Каждая правильная дробь может быть единственным образом представлена в виде суммы простых дробей.

Мы не будем доказывать теорему 5.1; ее доказательство опирается на основную теорему алгебры, согласно которой

всякий многочлен степени n имеет ровно n корней, вообще говоря комплексных. В частности, каждый многочлен с действительными коэффициентами может быть записан в виде произведения линейных и квадратичных многочленов (также с вещественными коэффициентами).

Данная теорема говорит о возможности разложения, однако для многочленов степени n ≥ 5 общих правил для нахождения таких разложений не существует. Существуют явные формулы для нахождения корней уравнений 3 и 4 степени (формулы Кардано1). Вместе с тем доказано, что уравнение 5-ой степени (и выше), вообще говоря, в явном виде не разрешимо (Абель2).

Если принять теорему 5.1, то из нее и результатов предыдущего пункта вытекает следующее утверждение.

ТЕОРЕМА 5.2. Неопределенный интеграл от любой рациональной функции выражается в конечном виде — с помощью рациональной же функции, логарифма и арктангенса.

Таким образом, первый и самый трудный шаг в разложении правильной дроби на простейшие дроби состоит в разложении ее знаменателя ψ(x) на множители, каждый из которых является либо степенью функции x − a, либо степенью квадратичной функции x2 + px + q, не имеющей действительных корней. Иными словами, мы должны найти разложение

ψ(x) = (x − a1)ν1 (x − a2)ν2 . . . (x − ak)νk (x2 + p1x + q1)µ1 ·

·(x2 + p2x + q2)µ2 . . . (x2 + plx + ql)µl ,

где ν1 +· · ·+νk +2µ1 +· · ·+2µl – степень многочлена ψ(x). Если такое разложение найдено, то имеется алгоритм для пред-

1Кардано Иеронимус (24.9.1501-21.9.1576) – математик, философ и врач. Род. в Павии (Италия). Профессор математики в Милане и Болонье.

2Абель Нильс Хенрик (5.8.1802-6.4.1829). Род. близ Ставангера (Норвегия). Один из создателей теории эллиптических и гиперэллиптических функций. Основатель общей теории интегралов алгебраических функций.

ставления правильной дроби

ϕ(x) ψ(x)

в виде суммы простейших (так называемый "метод неопределенных коэффициентов"). В основе данного метода лежит следующее утверждение.

ТЕОРЕМА 5.3. Пусть ϕ(x) – правильная рациональная

ψ(x)

дробь, ϕ(x) и ψ(x) – многочлены с действительными коэффициентами. Если

ψ(x) = (x − a1)ν1 (x − a2)ν2 . . . (x − ak)νk (x2 + p1x + q1)µ1 ·

·(x2 + p2x + q2)µ2 . . . (x2 + plx + ql)µl ,

где ai – попарно различные действительные корни много-

+ . . .+(x2 + plx + ql)µl +(x2 + plx + ql)µl−1 +. . .+(x2 + plx + ql).

Данное утверждение мы доказывать не будем (доказательство можно найти, например, в книге Л.Д.Кудрявцева "Курс математического анализа", т.1, 1988, стр.531), но проиллюстрируем применение метода на примерах.

Отметим два полезных разложения

x4 − 1 = (x2 − 1)(x2 + 1) = (x − 1)(x + 1)(x2 + 1)

и √ √ x4 + 1 = (x2 + 1 − x 2)(x2 + 1 + x 2).