Лосев-КлячинМиклюков МА в КИ

ЗАМЕЧАНИЕ. Условие замкнутости отрезков в условиях теоремы – существенно. В этом несложно убедиться рассмотрев последовательность интервалов

(0, 1) (0, 12) . . . (0, n1 ) . . . .

ЗАМЕЧАНИЕ. Предположим, что в результате измерения физической величины a (скорость, давление, плотность и т.п.) получено число a˜. Ясно, что оно рациональное. Говорят, что абсолютная погрешность измерения величины a не превосходит некоторого положительного числа ∆, если |a˜ − a| ≤ ∆, т.е. число a˜ [a − ∆, a + ∆] = J(∆). Как правило, точное числовое значение величины a неизвестно, а известен всего лишь отрезок J(∆), в пределах которого оно находится. Основное допущение, на котором базируются приложения методов математического анализа в естествознании, состоит в том, что величина a может быть измерена со сколь угодно высокой точностью. Другими словами, зададим бесконечно малую последовательность абсолютных погрешностей

{∆n} : ∆1 > ∆2 > . . . > ∆n > . . . > 0.

При измерениях величины a с погрешностью ∆n мы будем получать числа, расположенные в отрезках J(∆n), при этом

J(∆1) J(∆2) . . . J(∆n) . . .

и длины этих отрезков стремятся к нулю. Принцип вложенных отрезков гарантирует, что данная последовательность измерений определяет некоторое вещественное число и притом единственным образом.

§11. Число "e". Натуральные логарифмы

Для произвольного n = 0, 1, 2, . . . . положим

Последовательность {Sn}∞n=0 монотонно возрастает. Кроме того, она ограничена сверху, т.к.

Следовательно, по теореме о пределе монотонной последова-

тельности можем заключить, что существует lim Sn.

n→∞

для любой пары чисел n ≥ m выполнено tn ≥ tm. Кроме того, при n ≥ m выполнено

1 1 1 1 2 m − 1 tn = 1+1+ 2!(1− n)+. . .+ m!(1− n) (1− n) . . . (1− n )+

+ . . . + n1!(1 − n1 ) . . . (1 − n −n 1) ≥ 1 + 1 + 2!1 (1 − n1 ) + . . .

Последовательность {αn(m)} возрастает с ростом n, так как при фиксированном m число членов в сумме αn(m) остается неизменным, равным m + 1 , а каждое из чисел в круглых скобках увеличивается. Итак, все три последовательности {αn(m)}, {tn}, {Sn} монотонно возрастают с ростом n и ограничены сверху. Поэтому они имеют пределы. На основании теоремы о предельном переходе в неравенстве (2) получаем:

или

m 1 ≤ lim tn ≤ e.

k! n→∞

k=0

Переходя к пределу при m → ∞, получаем:

e = lim Sm ≤ lim tn ≤ e,

m→∞ n→∞

т.е. существует lim tn = e.

n→∞

ОПРЕДЕЛЕНИЕ 11.2. Логарифмы по основанию e называются натуральными и обозначаются loge a = ln a. Ясно, что

ln a = logb a, b > 0, b = 1. logb e

ПРИМЕР 1. Найдем предел последовательности

44 Глава 1. Предел последовательности

= |n + 1 = m, n → ∞ m → ∞| =

ПРИМЕР 2. Найдем предел последовательности

§12. Подпоследовательности. Частичные пределы последовательности

ОПРЕДЕЛЕНИЕ 12.1. Пусть

{an}∞n=1 = a1, a2, a3, . . . , an, . . .

– произвольная последовательность. Последовательность an1 , an2 , . . ., ank , . . . , составленная из членов последовательности {an}∞n=1, называется подпоследовательностью последователь-

ности {an}∞n=1, если n1 < n2 < ... < nk < ... . Если предел подпоследовательности {ank }∞k=1 существует, то он называет-

ся частичным пределом последовательности {an}∞n=1.

ПРИМЕР 1. Пусть {an} = 1, 2, . . . , n, . . . – последовательность. Тогда {ank } = 2, 4, 6, . . . , 2k, . . . – подпоследовательность.

ПРИМЕР 2. {sin 2n} = sin 2, sin 4, sin 6, . . . – последовательность, {ank } = sin 4, sin 8, . . . – подпоследовательность.

ПРИМЕР 3. Найдем все частичные пределы последовательности с общим членом an = (−1)n, n = 1, 2, . . . Легко заметить, что только два типа подпоследовательностей являются сходящимися. К первому типу относится подпоследовательность при n = 2k : 1, 1, . . . с пределом равным единице. Ко второму типу относится подпоследовательность при

n = 2k + 1 : −1, −1, . . ., сходящаяся к −1.

Множество всех частичных пределов состоит из двух элементов −1 и 1.

ОПРЕДЕЛЕНИЕ 12.2. Пусть {an}∞n=1 – прoизвольная последовательность. Говорят, что a есть верхний предел {an}∞n=1 и пишут

a = limn→∞an, (или a = lim supn→∞an),

если

i) существует подпоследовательность {ank } → a;

(иначе, ε > 0 N n > N : |an − a| < ε)

ii) ε > 0 N(ε) : n > N(ε) выполнено an < a+ε. Говорят, что a есть нижний предел an и пишут

a = limn→∞an, (или a = lim infn→∞an),

если

i)существует подпоследовательность {ank } → a;

ii)ε > 0 N(ε) : n > N(ε) выполнено an > a−ε.

ПРИМЕР 4. Пусть an = (−1)n. Тогда limn→∞an = 1

иlimn→∞an = −1.

ТЕОРЕМА 12.1. Последовательность {an}∞n=1 имеет пределом число a тогда и только тогда, когда

limn→∞an = limn→∞an = a.

Доказательство. Предположим, что {an} сходится к a. Тогда любой ее частичный предел равен a и, следовательно,

limn→∞an = limn→∞an = a.

Обратно. Предположим, что верхний предел последовательности {an} совпадает с нижним и равен a. Фиксируем произвольно ε > 0. Тогда

При n > N = max{N1(ε), N2(ε)} неравенства (1) и (2) выполняются одновременно. А потому n > N имеем:

−ε < an − a < ε , т.е. |an − a| < ε.

По определению предела последовательности заключаем, что предел существует и равен a.

ТЕОРЕМА 12.2 ( Больцано – Вейерштрасса6). Из всякой ограниченной последовательности можно извлечь сходящуюся подпоследовательность.

Доказательство. Пусть {an}∞n=1 – произвольная ограниченная последовательность. Существуют такие постоянные m, M, что выполнено m ≤ an ≤ M n = 1, 2, . . . Разделим отре-

зок [m, M] пополам точкой S = m+2M . Тогда хотя бы один из отрезков [m, S] или [S, M] содержит бесконечно много членов последовательности {an}. Обозначим его через [m1, M1]. Отрезок [m1, M1] разделим пополам точкой S1. Хотя бы один из отрезков [m1, S1] или [S1, M1] содержит бесконечно много членов последовательности an. Обозначим его [m2, M2]. Продолжая этот процесс неограниченно, построим последовательность вложенных один в другой отрезков

[m, M] [m1, M1] [m2, M2] . . . [mk, Mk] . . . ,

длины которых равны M−m и стремятся к нулю при k → ∞.

2k

При этом каждый из отрезков [mk, Mk] содержит бесконечно много членов последовательности {an}. Выберем подпоследовательность. Пусть an1 – произвольный член последовательности {an}∞n=1, содержащийся в отрезке [m1, M1]. Т.к. отрезок [m2, M2] содержит бесконечно много членов последовательности an, то существует an2 [m2, M2] такой, что n2 > n1 (важно!!!). Продолжая процесс неограниченно, найдем подпоследовательность {ank } такую, что

ank [mk, Mk] (k = 1, 2, . . .).

Покажем, что подпоследовательность {ank } сходится. Последовательности {mk} и {Mk} являются соответственно неубывающей и невозрастающей последовательностями, описанными в теореме о вложенных отрезках. Согласно этой теоре-

ме существуют пределы lim mk = lim Mk = C, т.е. кон-

k→∞ k→∞

цы отрезков сходятся к одной и той же точке. Поскольку mk ≤ ank ≤ Mk, то на основании принципа "сжатой" по-

следовательности заключаем, что существует lim ank = C.

k→∞

6Больцано Бернард (5.10.1781-18.12.1848) – математик, философ и логик. Род. в Праге (Чехия). Работал в Пражском университете. Основные математические труды опубликованы после смерти.

Вейерштрасс Карл Теодор Вильгельм (31.10.1815-19.2.1897). Род. в Остенфельде (Германия). В 1842-1855 гг. – преподаватель математики в католических средних учебных заведениях. С 1856 г. работает в Берлинском университете. Лекции и статьи в основном посвящены математическому анализу, теории аналитических функций, вариационному исчислению, дифференциальной геометрии, линейной алгебре.

УПРАЖНЕНИЕ 1. Привести пример последовательности, множество всех частичных пределов которой совпадает с отрезком [−1, 1].

УПРАЖНЕНИЕ 2. Пусть {an} – произвольная последовательность и A – множество всевозможных ее частичных пределов. Доказать, что

limn→∞an = inf x,

x A

а

limn→∞an = sup x.

x A

§13. Критерий Коши

ОПРЕДЕЛЕНИЕ 13.1. Последовательность {an}∞n=1 назы-

вается последовательностью Коши7 (или фундаментальной), если

ε > 0 N = N(ε) : n, m > N(ε) выполнено |an−am| < ε.

УПРАЖНЕНИЕ 1. Доказать, что последовательность {an}∞n=1 является фундаментальной тогда и только тогда, когда ε > 0 N = N(ε) : n > N(ε) p N выполнено

|an − an+p| < ε.

ТЕОРЕМА 13.1 (критерий Коши). Для того, чтобы последовательность была сходящейся необходимо и достаточно, чтобы она была последовательностью Коши.

Доказательство. Необходимость. Пусть {an} → a при n → ∞. Покажем, что {an} – фундаментальна. Зададим

Достаточность. Пусть {an} – фундаментальная последовательность. Зададим ε > 0. Тогда N(ε) : n , m > N(ε) выполнено |an − am| < ε, т.е.

−ε < am − an < ε n, m > N(").

7Коши Огюстен Луи (21.8.1789-23.5.1857). Род. в Париже (Франция). Член Парижской АН (1816), Петербургской АН (1831). Автор более 800 работ по арифметике и теории чисел, алгебре, математическому анализу, дифференциальным уравнениям теоретической и небесной механике, математической физике и т.д.

Фиксируя m и допустив изменения n, видим, что все an, начиная с некоторого номера, лежат в ε-окрестности точки am. Это означает ограниченность последовательности {an}. Согласно теореме Больцано-Вейерштрасса, существует подпоследовательность {ank }, сходящаяся к некоторому числу a. Покажем, что и вся последовательность {an} сходится к a. Фиксируем произвольное ε > 0. Т.к. {ank } сходится к a, то

т.е. {an} стремится к a.

УПРАЖНЕНИЕ 2. Определить, является ли последовательность {(−1)n + 1}∞n=0 последовательностью Коши.

УПРАЖНЕНИЕ 3. Сформулировать на "языке ε − N", что последовательность {an} не является последовательностью Коши.

Глава 2

Предел функции

§1. Понятие функции

Понятие функции является таким же первоначальным понятием, как точка, прямая, множество и в строгом определении не нуждается. Попробуем пояснить его.

Пусть заданы непустые множества — множество аргументов x X и множество значений функции y Y . Правило или закон f, по которому элементам x X ставится в соответствие один или несколько элементов y Y , называется функцией и обозначается y = f(x) (или f : X → Y ).

Говоря иначе, функция — это тройка, состоящая из двух множеств и правила, а задать функцию означает задать все три элемента этой тройки. Меняя элементы тройки (множества или правило), мы получаем другие функции.

Пусть дана функция f : X → Y и пусть X1 X – некоторое подмножество множества X. Оставив правило без изменения и рассматривая его лишь применительно к точкам x X1, приходим к сужению (или ограничению) функции f на множество X1. Ограничение функции f на множество обозначается f|X1 .

ПРИМЕР 1. Всякую последовательность {an}∞n=0 можно истолковать как функцию, заданную на множестве натуральных чисел

an = f(n), n N.

Пусть K N – некоторое бесконечное подмножество множества N. Тогда сужение функции f|K есть не что иное, как подпоследовательность {ank } последовательности {an}.

Множество D(f) всевозможных значений переменной x X, для которых определено значение y = f(x) Y , называется областью определения функции f : X → Y .

Множество E(f) всевозможных значений переменной y Y , которые принимает функция y = f(x) при измене-

нии x в области определения, называется областью значений функции f.

ПРИМЕР 2. Для функции y = ln(x + 1) имеем

D(f) : ln(x + 1) ≥ 0 x + 1 ≥ 1 x ≥ 0;

E(f) : {y R : y ≥ 0}.

УПРАЖНЕНИЕ 1.

Найти область определения и область значений функции

tg x − | tg x|.

УПРАЖНЕНИЕ 2. Пусть s ≥ 0 – целое число. Обозначим через Q(s) множество всех целых (рациональных, иррациональных) чисел p, для которых существуют целые (рациональные, иррациональные) q такие, что p2 + q2 = s.

Пусть X = Q(2) – множество аргументов, а Y = Q(5) – множество значений функции. В качестве правила f возьмем отношение y = x.

Множества X и Y не пусты, поскольку каждое из них содержат, по крайней мере, число 1. Тройка (X, f, Y ) задает некоторую функцию. Попробуйте найти ее область определения и область значений!

Функция f : X → Y называется однозначной, если каждому x X соответствует ровно одно значение y. Функция, принимающая хотя бы в одной точке более одного значения,

а областью значений всю числовую прямую.

Договоренность!!! Далее, говоря о функции, будем всегда иметь в виду однозначную функцию, если только не оговорено противное.

Если на плоскости задана декартова прямоугольная система координат XOY , то множество точек вида (x, f(x)), где x изменяется в области определения функции y = f(x), называется графиком функции.

Пусть задана функция y = f(x) с множеством аргументов X и множеством значений Y , т.е. f : X → Y . И задана еще одна функция z = g : Y1 → Z с множеством аргументов Y1 и множеством значений Z.

Тогда выражение z = g(f(x)) называется суперпозицией функций f и g (либо композицией функций, либо сложной функцией).