Лосев-КлячинМиклюков МА в КИ

Доказательство. Мы докажем лишь часть теоремы, показав, что в случае, когда одно из чисел p, q или p + q — целое, интеграл (2) сводится к интегралу от рациональной функции. Оставшаяся часть теоремы очень сложна и требует привлечения методов алгебры, которые нам пока недоступны.

Итак, пусть p — целое. Поскольку q — рационально, то оно представимо в виде несократимой дроби α/β, где α и β — целые. Сделаем подстановку

J= β uα (a + buβ)p uβ−1 du,

имы получили интеграл от рациональной функции.

Пусть q – целое. Здесь имеем p = α/β, где α и β – целые. Возможна подстановка

и мы приходим к интегралу от рациональной функции

также приходим к интегралу от рациональной функции

172 Глава 8. Неопределенный интеграл

Мы имеем

и, далее,

1 = u3(A−B −C)+u2(A+B −D)+u(A−B +C)+A+B +D.

Решая систему

A − B − C = 0 A + B − D = 0

A − B + C = 0 A + B + D = 1,

§11. Метод Остроградского выделения рациональной части интеграла

Пусть P (x)/Q(x) – правильная несократимая дробь и пусть ее знаменатель Q(x) разложен на простые сомножители, т.е.

Тогда интеграл от этой дроби представим в виде суммы интегралов от простых дробей. Именно,

Здесь R(x) – многочлен степени более низкой, чем знаменатель, и λ – постоянная. Таким образом, на основании (2) и

(3) мы можем записать

Объединяя теперь однотипные слагаемые, выводим следу-

Так как рациональная часть интеграла P1(x)/Q1(x) получена от сложения выделенных рациональных частей, то она является правильной дробью со знаменателем

Q1(x) = (x − a)k−1 . . . (x2 + px + q)m−1 . . . .

5Остроградский Михаил Васильевич (24.9.1801-1.1.1862). Род. в с. Пашенная (ныне Полтавская обл., Украина). Один из основателей петербургской математической школы. Член Петербургской АН (1830), Парижской АН (1856) и др. Автор ряда исследований в области математики и механики, дифференциального и интегрального исчисления, высшей алгебры, геометрии, теории чисел, математической физики и др.

Дробь P2(x)/Q2(x), стоящая под знаком интеграла, получена от сложения дробей вида 1/(x − a)... и 1/(x2 + px + q)..., а потому

Q2(x) = (x − a) . . . (x2 + px + q) . . . .

С другой стороны, дифференцируя равенство (4), можно записать

Мы видим, что многочлены Q1(x) и Q2(x) легко вычисляются, если известно разложение (1) многочлена Q(x).

Перейдем к методу нахождения числителя в формуле (6). Пусть n, n1, n2 — степени многочленов Q, Q1, Q2 соответственно. Ясно, что n = n1 + n2. Степени многочленов

P , P1, P2 не будут превышать n − 1, n1 − 1, n2 − 1. Подставим в качестве P1 и P2 многочлены степени n1 −1 и n2 −1

с буквенными коэффициентами. Имеем

P1 = a1xn1−1 + a2xn1−2 + · · · + an1−1x + an1 ,

P2 = b1xn2−1 + b2xn2−2 + · · · + bn2−1x + bn2 .

Всего неизвестных ak и bk ровно n1 + n2 = n. Выполним в

(6) дифференцирование

Далее заметим, что H является целым многочленом. Дей-

ствительно, если выражение (x − a)k, k ≥ 1, входит множителем в Q1, то (x − a)k−1 входит в Q1, а (x − a) — в Q2. Аналогично с множителем (x2 + px + q)m при m ≥ 1.

Таким образом, можно считать, что H — целый многочлен степени n2 −1. Подставляя (8) в (7), приходим к соотношению

или, отбрасывая знаменатель,

Приравнивая коэффициенты этих многочленов, получим n линейных уравнений для определения ak и bk. Так как существование соотношения (6) доказано, то система (9) должна быть разрешимой.

ПРИМЕР 1. Выделить рациональную часть интеграла

4x4 + 4x3 + 16x2 + 12x + 8 dx. (x + 1)2(x2 + 1)2

Мы имеем

Q2 = (x + 1)(x2 + 1) = Q1 = x3 + x2 + x + 1.

dx2 + ex + f

+x3 + x2 + x + 1

и, далее,

4x4 + 4x3 + 16x2 + 12x + 8 = (2ax + b)(x3 + x2 + x + 1)−

−(ax2 + bx + c)(3x2 + 2x + 1) + (dx2 + ex + f)(x3 + x2 + x + 1).

Приравняем коэффициенты при одинаковых степенях. Находим

+3 arctg x + C.

Глава 9

Определенный интеграл

§1. Понятие определенного интеграла

Пусть f – функция, определенная на [a, b]. Произвольный упорядоченный набор точек

a = x0 ≤ x1 ≤ · · · ≤ xn = b

назовем разбиением Tn отрезка [a, b] на отрезки [x0, x1],

[x1, x2], . . . , [xn−1, xn]1 или просто разбиением Tn. Наибольшую из длин ∆xi = xi+1 − xi отрезков [xi, xi+1] назовем мелкостью разбиения Tn и обозначим через µ(Tn). Другими словами,

µ(Tn) = max ∆xi.

0≤i≤n−1

Если на каждом из отрезков [xi, xi+1] разбиения Tn выбрано по точке xi ≤ ξi ≤ xi+1, то полученный объект будем называть разбиением с отмеченными точками отрезка [a, b] и

обозначать T˙n. Величина

n−1

S(T˙n) = f(ξk)∆xk

k=0

называется интегральной суммой Римана2, соответствующей разбиению с отмеченными точками T˙n.

ОПРЕДЕЛЕНИЕ 1.1. Если существует конечный предел

не зависящий от выбора последовательности разбиений {T˙n} с мелкостью µ(Tn) → 0, то этот предел называется опреде-

1всего n отрезков

2Риман Георг Фридрих Бернхард (17.9.1826-30.7.1866). Род. в Нижней Саксонии (Германия). Автор ряда значительных исследований в области теории функций комплексного переменного, математической физике, топологии, геометрии и др.

Пусть задана непрерывная и неотрицательная функция f(x).

Тогда

n

S(T˙n) = f(ξi)∆xi =

i=1

=f(ξ1)(x1 − x0) + f(ξ2)(x2 − x1) + · · · + f(ξn)(xn − xn−1)

–площадь ступенчатой фигуры. При измельчении разбиения ступенчатая фигура все лучше и лучше аппроксимирует кри-

волинейную трапецию так, что lim S(T˙n) — площадь кри-

µ(Tn)→0

волинейной трапеции4.

Если f отрицательна, то величина интеграла

b

f(x) dx

a

совпадает с площадью криволинейной трапеции, взятой со знаком минус. В общем случае, если f меняет знак, то этот интеграл равен сумме взятых с соответствующими знаками площадей криволинейных трапеций.

§3. Физический смысл определенного интеграла

Предположим, что тело движется прямолинейно и его ускорение, как функция времени t, подсчитывается по формуле a = a(t). Определим скорость тела v = v(t) в момент времени t > 0, зная, что v(0) = v0. Устроим разбиение Tn отрезка [0, t]. На каждом из отрезков [ti, ti+1] можно приближенно принять ускорение постоянным и равным a(ξi). Тогда за промежуток времени от t = ti до t = ti+1 скорость v получит приращение, приближенно равное

a(ξi)(ti+1 − ti) = a(ξi)∆ti,

а за все время от 0 до t имеем

n−1

v(t) − v(0) ≈ a(ξi) ∆ti,

i=0

т.е. v(t) − v(0) ≈ S(T˙n). Переходя к пределу, находим

4Точное определение понятия площади фигуры будет приведено ниже (Глава 11. Приложения определенного интеграла).

0

Здесь τ – ”немая” переменная, т.е. переменная, которую можно записать любым другим символом или буквой за исключением v, a, t – уже используемых.

Аналогично, по известной мгновенной скорости v(t) мы всегда можем определить путь, пройденный телом за промежуток времени [0, t], по формуле

0

Формулы (1) и (2) имеют важные применения в технических конструкциях. Рассмотрим следующий известный пример.

ПРИМЕР 1. Представим себе полностью закрытый, без окон, объект, движущийся по прямой. Находящийся внутри объекта наблюдатель должен определить пройденное расстояние с помощью измерений и вычислений, выполненных внутри объекта без каких-либо контактов с внешним миром.

Если объект движется с постоянной скоростью, то наблюдатель не замечает движения и не имеет возможности обнаружить движение никакими механическими опытами. Это есть классический принцип относительности Галилея.5

В то же время каждый из нас, хотя бы раз ездивший в трамвае, знает, что уcкорение можно определять, не глядя в окно. К примеру, пружина с жестко закрепленным одним из концов, расположенная внутри объекта по ходу направления движения, при ускорениях сжимается либо растягивается. Таким образом, наблюдатель, находящийся внутри объекта, может определять ускорение a(t) в момент времени t посредством измерений длины пружины.

Допустим, что в начальный момент времени объект находился в состоянии покоя, т.е. v(0) = 0. Зная ускорение a(t), по формулам (1), (2) можно вычислять скорость v(t) и путь S(t), пройденный за время t, т.е. наблюдатель может определять свое положение в любой момент времени.

5Равномерное движение не может быть обнаружено никакими опытами внутри

объекта, связанными с электромагнитными явлениями, например, распространением света. Это — принцип относительности Эйнштейна.

Галилей Галилео (15.2.1564–8.1.1642) – физик, механик, астроном и математик. Род. в Пизе (Италия). Один из основателей точного естествознания.

Эйнштейн Альберт (14.3.1879–18.4.1955) – физик и математик. Род. в Ульме (Германия). Создатель спец. теории относительности, общей теории относительности, квантовой концепции света, автор работ по теории броуновского движения и др.