Лосев-КлячинМиклюков МА в КИ

При изменении параметра t на [0, 1] точка x = (x1, . . . , xn)

перемещается вдоль отрезка ab. Рассмотрим сложную функцию

Φ(t) = f((1 − t)a1 + tb1, . . . , (1 − t)an + tbn).

Ясно, что

Φ(0) = f(a) и Φ(1) = f(b).

Функция Φ непрерывна, поскольку является композицией непрерывных функций. На концах отрезка [0, 1] она принимает значения разных знаков. По теореме об обращении в нуль непрерывных функций одной переменной найдется точка τ (0, 1), в которой Φ(τ) = 0. Тем самым, в точке

(˜x1, . . . , x˜n) = ((1 − τ)a1 + τb1, . . . , (1 − τ)an + τbn) D

функция f обращается в нуль. Теорема доказана.

§8. Частные производные

Пусть z = f(x, y) – функция двух переменных, определен-

ная на открытом множестве D R2, и пусть (x0, y0) D – некоторая точка. Так как D есть открытое множество, то все точки (x, y) из достаточно малой окрестности точки (x0, y0) принадлежат D и определено частное приращение

∆xz = ∆xf(x0, y0) = f(x0 + ∆x, y0) − f(x0, y0)

функции f в точке (x0, y0) по переменной x. Если существует предел

то этот предел называется частной производной функции f по переменной x в точке (x0, y0) и обозначается

∂f

∂x(x0, y0).

Аналогичным образом определяется частная производная

∂f

∂y (x0, y0) ,

а также частные производные функций трех и более переменных.

252 Глава 12. Функции нескольких переменных

Предположим, что частная производная ∂f∂x определена в каждой точке открытого множества D. Тем самым, в D опре-

ЗАМЕЧАНИЕ. Существование частных производных в точке, вообще говоря, не гарантирует даже непрерывности функции в данной точке. К примеру, функция

однако является разрывной в этой точке.

§9. Полный дифференциал

Пусть z = f(x, y) – функция, определенная на открытом

множестве D R2, и пусть (x0, y0) D – некоторая точка. Обозначим ∆x = x − x0, ∆y = y − y0.

ОПРЕДЕЛЕНИЕ 9.1. Говорят, что f имеет полный дифференциал в точке (x0, y0), если найдутся постоянные A и B такие, что ее приращение в окрестности этой точки предста-

вимо в виде

∆f(x0, y0) = f(x, y)−f(x0, y0) = A ∆x+B ∆y+o( ∆x2 + ∆y2)

при (∆x, ∆y) → 0.

Величина

df(x0, y0) ≡ A ∆x + B ∆y

называется в этом случае полным дифференциалом.

По определению, дифференциалы независимых переменных определяются формулами dx = ∆x и dy = ∆y.

Если функция f имеет полный дифференциал в точке (x0, y0), то она называется дифференцируемой в этой точке.

ТЕОРЕМА 9.1. Если функция f имеет полный дифференциал в точке (x0, y0), то она непрерывна в этой точке.

Доказательство очевидно, поскольку из существования полного дифференциала следует, что

∆f(x0, y0) → 0 при (∆x, ∆y) → 0.

ТЕОРЕМА 9.2. Если функция f имеет полный дифференциал в точке (x0, y0) D, то она имеет и частные производные в этой точке, причем

Доказательство. Действительно, из существования полного дифференциала следует, что

и, аналогично,

УПРАЖНЕНИЕ 1. Дать определение дифференциала функции n переменных.

УПРАЖНЕНИЕ 2. Доказать приведенные выше теоремы для дифференцируемых функций n переменных.

§10. Условия существования полного дифференциала

Пусть z = f(x, y) – функция, определенная на открытом множестве D R2, и пусть (x0, y0) D – некоторая точка.

ТЕОРЕМА 10.1. Если функция f имеет частные производные ∂f∂x и ∂f∂y в каждой точке из некоторой окрест-

ности точки (x0, y0) и частные производные непрерывны в (x0, y0), то f имеет в (x0, y0) полный дифференциал.

Доказательство. Представим приращение функции в виде

ной y (первая переменная фиксирована) и, пользуясь формулой Лагранжа, имеем

∂f

f(x0, y0 + ∆y) − f(x0, y0) = ∂y (x0, η) ∆y ,

где η – некоторое число, заключенное между y0 и y0 + ∆y. Отсюда, учитывая непрерывность частной производной

∂f∂y (x, y) в точке (x0, y0), получаем

∂f

f(x0, y0 + ∆y) − f(x0, y0) = ∂y (x0, y0) ∆y+

∂f

= ∂y (x0, y0) ∆y + o(∆y) (∆y → 0).

Аналогично находим

∂f

f(x0 + ∆x, y0 + ∆y) − f(x0, y0 + ∆y) = ∂x(x0, y0) ∆x+

+o( ∆x2 + ∆y2) (∆x, ∆y → 0) ,

что и требуется доказать.

ОПРЕДЕЛЕНИЕ 10.1. Функцию f будем называть непрерывно дифференцируемой в области D, если в каждой точке области функция имеет непрерывные частные производные.

Пусть D Rn - область, n ≥ 2. Нам потребуется понятие кусочно-гладкой функции. Именно, будем говорить, что функция f : D → R1 является кусочно-гладкой, если f непрерывна в D и область D может быть разбита на подобласти D1, ..., Dl так, чтобы функция f была непрерывно дифференцируема в каждой из Di, 1 ≤ i ≤ l, а для достаточ-

но малых окрестностей Ua каждой из точек a D ∩ lj=1∂Dj выполнялось

где точная верхняя грань берется по множеству

{x Ua \ D ∩ lj=1∂Dj}.

Вектор-функция f = (f1, ..., fm) : D → Rm называется кусочногладкой, если кусочно-гладкой является каждая из функций fi, i = 1, ..., m.

Определение кусочно-гладкой вектор-функции в случае n = 1 вводится очевидным образом.

УПРАЖНЕНИЕ 1. Сформулировать и доказать аналогичную теорему для функций n переменных.

УПРАЖНЕНИЕ 2. Какие из ранее доказанных результатов используются в процессе доказательства данной теоремы?

§11. Равенство смешанных производных. Конечноразностная аппроксимация частных производных второго порядка

ТЕОРЕМА 11.1. Предположим, что функция f(x, y)

определена на открытом множестве D R2 и обладает там следующими свойствами:

Доказательство. Рассмотрим выражение

1

∆hkf = h k [f(x0 + h, y0 + k)−

−f(x0 + h, y0) − f(x0, y0 + k) + f(x0, y0)] ,

где h, k = 0 и прямоугольник с вершинами в точках

(x0, y0) , (x0 + h, y0) , (x0, y0 + k) , (x0 + h, y0 + k)

содержится целиком в D.

Введем вспомогательную функцию

1

ϕ(x) = k [f(x, y0 + k) − f(x, y0)] .

Данная функция имеет производную, а потому непрерывна. Мы имеем

По формуле конечных приращений Лагранжа найдется точка ξ, лежащая между x0, x0 + h и такая, что

ϕ(x0 + h) − ϕ(x0) = ϕ (ξ) , h

Рассматривая данную функцию как функцию второй переменной и пользуясь еще раз формулой Лагранжа, приходим к равенству

∂2f

∆hkf = ∂y ∂x(ξ, η) ,

где η – некоторая точка между y0 и y0 + k.

Аналогичным образом, вводя вспомогательную функцию

1

ψ(y) = h [f(x0 + h, y) − f(x0, y)] ,

приходим к формуле

∂2f

∆hkf = ∂x ∂y(ξ1, η1) ,

где ξ1 содержится между x0 и x0 + h, а η1 – между y0 и y0 + k. Полагая h, k → 0 и учитывая, что смешанные производные

что и требовалось доказать.

258 Глава 12. Функции нескольких переменных

ЗАМЕЧАНИЕ. В процессе доказательства мы установили, что в условиях теоремы величина

ную ∂x ∂y (x0, y0) можно приближенно считать равной указанной величине, т.е.

УПРАЖНЕНИЕ 1. Сформулировать и доказать аналогичную теорему о равенстве смешанных производных

для функций n переменных.

УПРАЖНЕНИЕ 2. Проверить формулы (1) и (2). В каких предположениях о функции f и ее производных мы можем доказать эти формулы ?

§12. Частные производные сложной функции

Пусть z = f(x, y) – функция, определенная в окрестности

точки (x0, y0), а функции x = x(t), y = y(t) – в окрестности точки t0, (x0, y0) = (x(t0), y(t0)), причем определена сложная

функция z = f(x(t), y(t)) ≡ Φ(t).

ЗАДАЧА. Как вычислить производную сложной функции ddtΦ ? При каких условиях эта производная существует?

Придадим переменной t в точке t0 приращение ∆t. Тогда функции x(t) и y(t) получат приращения

∆x = x(t0 + ∆t) − x(t0) и ∆y = y(t0 + ∆t) − y(t0).

Заметим, что

∆Φ = Φ(t0 + ∆t) − Φ(t0) = f(x(t0 + ∆t), y(t0 + ∆t))−

−f(x(t0), y(t0)) = f(x(t0+∆t), y(t0+∆t))−f(x(t0+∆t), y(t0))+ +f(x(t0 + ∆t), y(t0)) − f(x(t0), y(t0)).

Если функция x(t) имеет производную в t0, то она непрерывна в t0 и

∆x = x(t0 + ∆t) − x(t0) → 0

при ∆t → 0. Поэтому слагаемое II можно записать в виде

В данных рассуждениях мы использовали существование частной производной ∂f∂x(x0, y0).

С первым из слагаемых так поступать нельзя, поскольку приращение получают обе переменные x и y. Поэтому предположим, что f имеет полный дифференциал в точке (x0, y0). Тогда

f(x(t0 + ∆t), y(t0 + ∆t)) − f(x(t0 + ∆t), y(t0)) =

=f(x0 + ∆x, y0 + ∆y) − f(x0 + ∆x, y0) =

=f(x0 + ∆x, y0 + ∆y) −f(x0, y0) + f(x0, y0) −f(x0 + ∆x, y0) =

+o( ∆x2 + ∆y2).

Отсюда,

Анализируя накладываемые требования и вспоминая условия, при которых f(x, y) имеет в точке (x0, y0) полный дифференциал, приходим к утверждению.

ТЕОРЕМА 12.1. Если f(x, y) имеет в точке (x0, y0) непрерывные частные производные, а функции x = x(t) и y = y(t) имеют производные при t = t0, то существует производная сложной функции Φ(t) = f(x(t), y(t)) при t0, вычисляемая по формуле

Почти в точности так же, как и предыдущая теорема, доказывается следующее утверждение.