Лосев-КлячинМиклюков МА в КИ

где θ [x0, x0 + ∆x] – некоторая точка, или, в развернутом виде,

1 n ∂2f

f(x0 + ∆x) − f(x0) = 2 i,j=1 ∂xi ∂xj (x0) dxidxj+

Напомним терминологию и некоторые факты из алгебры.

ОПРЕДЕЛЕНИЕ 19.1. Функция упорядоченной пары (x, y) точек n-мерного пространства вида

n

A(x, y) = A(x1, . . . , xn; y1, . . . , yn) = aijxiyj,

i,j=1

где aij – заданные числа, называется билинейной формой от x и y.

Величина A(x) = A(x, x) называется квадратичной формой, соответствующей билинейной форме A(x, y).

Обозначим через Qf (dx) квадратичную форму

n ∂2f

Qf (dx) = i,j=1 ∂xi ∂xj (x0) dxidxj.

Квадратичная форма Qf (dx) называется положительно

(Qf (dx) ≥ 0) и отрицательно определенной (полуопределен-

4Сильвестр Джемс Джозеф (3.9.1814-15.3.1897). Род. в Лондоне (Англия). Член Лондонского королевского общества (1841), иностранный член Петербургской АН (1872). Важнейшие работы относятся к алгебре, теории чисел, теории вероятностей, механике, математической физике.

определены, по крайней мере, при достаточно малых t. По теореме о дифференцировании сложной функции эти функции трижды непрерывно дифференцируемы по t. Мы имеем

Так как x0 – критическая точка, то

а

d2g21 (0) = Qf (∆ x) > 0. dt

Аналогичным образом, находим

Таким образом, функция g1(t) имеет при t = 0 локальный минимум, а g2(t) – локальный максимум. Отсюда заключаем,

что в любой окрестности точки x0 найдутся точки x0 + t∆ x и x0 + t∆ x такие, что

f(x0 + t1∆ x) = g1(t1) > g1(0) = f(x0)

и

f(x0 + t2∆ x) = g2(t2) < g2(0) = f(x0).

Тем самым, x0 не является точкой локального экстремума и теорема доказана.

УПРАЖНЕНИЕ 1. В каком месте рассуждений использована непрерывность производных третьего порядка?

УПРАЖНЕНИЕ 2. Проанализируйте доказательство теоремы. Нельзя ли доказать утверждение при более слабых предположениях относительно функции f?

Отметим специальный случай доказанной выше теоремы для функций двух переменных.

СЛЕДСТВИЕ. Пусть z = f(x, y) – трижды непрерывно дифференцируемая функция, определенная на открытом множестве D R2. Пусть (x0, y0) D – ее критическая точка. Если в этой точке

то z = f(x, y) имеет в ней локальный экстремум, а именно, локальный минимум при fxx > 0 и локальный максимум при fxx < 0. Если

в точке (x0, y0), то в этой точке экстремума нет.

Доказательство. Рассмотрим квадратичную форму

Qf (∆x, ∆y) = fxx∆x2 + 2fxy∆x ∆y + fyy∆y2.

Нетрудно видеть, что условие (2) влечет положительную определенность Qf (∆x, ∆y) при fxx > 0 и ее отрицательную определенность при fxx < 0. При выполнении (3) эта квадратичная форма является неопределенной.

Необходимое утверждение следует тогда непосредственно из теоремы.

§20. Линии уровня функции двух переменных и их свойства

Пусть z = f(x, y) – функция двух переменных, непрерыв-

ная на открытом множестве D R2. Для произвольного вещественного числа t полагаем

Et = {(x, y) D : f(x, y) = t}.

Множество Et называется множеством t-уровня5 функции f.

ПРИМЕР 1. Найдем множества t-уровня функции z = x2 + y2. Имеем

Et = {(x, y) R2 : x2 + y2 = t}.

Если t < 0, то E = . Если t = 0, то E состоит из единствен-

t t √

ной точки (0, 0). Если t > 0, то Et – окружность радиуса t.

5линией уровня

ПРИМЕР 2. Опишем множества t-уровня функции z = x2− y2. Имеем

Et = {(x, y) R2 : x2 − y2 = t}.

При t = 0 множество Et есть пара скрещивающихся прямых y = ±x.

√

При t < 0 имеем y2 = x2 − t, или y = ± x2 − t – пара гипербол.

ПРИМЕР 3. Рассмотрим функцию h(x, y), равную 1 при x2 + y2 ≤ 1 и обращающуюся в 0 при x2 + y2 ≥ 2. В точках кругового кольца 1 < x2 + y2 < 2 предполагается, что 0 < h(x, y) < 1. При этом можно добиться того, чтобы h была

сколь угодно гладкой во всей плоскости R2, например, дважды непрерывно дифференцируемой. (Подумайте, как можно построить такую функцию?)

При t < 0 и t > 1 множества Et = . При t = 0 множество уровня

Et = {(x, y) R2 : x2 + y2 ≥ 2}

√

есть внешность круга радиуса 2, при любых 0 < t < 1

множества t-уровня могут быть (но не обязательно) окруж-

√

ностями радиуса t, при t = 1 — единичный круг.

Вывод. Множество уровня Et может состоять из нескольких связных частей (компонент связности). Компоненты связности множества Et могут состоять из одной единственной точки, а также иметь внутренние точки или быть связными дугами и кривыми.

ТЕОРЕМА 20.1. Пусть D – открытое множество в

R2 и пусть z = f(x, y) – функция, непрерывная в D. Тогда всякое множество t-уровня этой функции является замкнутым.

Доказательство. Если Et = , то Et замкнуто по определению. Поэтому пусть Et = и пусть дана последовательность

точек (xn, yn) Et, (xn, yn) → (x , y ). Требуется доказать, что (x , y ) Et, т.е. что f(x , y ) = t.

Действительно, это следует из непрерывности f в D, по-

скольку равенство f(xn, yn) = t влечет в данном случае, что f(x , y ) = t.

Пусть E R2 – множество и a = (x , y ) – его точка сгущения. Будем говорить, что прямая L, проходящая через точку a , является касательной к множеству E, если для любой последовательности точек

an = (xn, yn) E , an = a , an → a ,

последовательность прямых Ln, проходящих через

an = (xn, yn) и a = (x , y ), стремится к прямой L. Последнее означает, что угол между Ln и L стремится к нулю при

n → ∞.

РИСУНОК множества типа восьмерки, имеющего касательную в центре симметрии:

где k – единичный вектор, ортогональный L.

6Ранее мы уже определяли пределы числовой последовательности и последовательности точек, пределы функции, пределы сумм Римана и Дарбу при неограни-

ченном измельчении разбиений. Все это, как и предел последовательности прямых, может быть описано в рамках единой общей конструкции — предела функции по фильтру. Мы не будем рассматривать здесь этот очень общий подход. Желающие

могут посмотреть его в книгах Н. Бурбаки, Общая топология. Основные структуры, 1968 (глава I, §7) или В.А. Зорича, Математический анализ, 2001 (глава III, §2).

ТЕОРЕМА 20.2. Пусть Et – множество t-уровня функции z = f(x, y) и (x0, y0) Et – некоторая точка. Предположим, что f имеет в окрестности точки (x0, y0) частные производные, непрерывные в (x0, y0). Тогда, если

f(x0, y0) = 0, то

i)точка (x0, y0) не может быть ни компонентой связности Et, ни внутренней точкой Et;

ii)множество Et имеет в (x0, y0) касательную и притом

перпендикулярную вектору f(x0, y0).

Доказательство. Утверждение i) очевидно. Если (x0, y0) – компонента связности множества Et, то f имеет в (x0, y0) локальный экстремум и потому f(x0, y0) = 0.

Если же (x0, y0) – внутренняя точка Et, то в некоторой ее окрестности f ≡ const, а потому f(x0, y0) = 0. В обоих случаях имеем противоречие.

Докажем утверждение ii). Поскольку f имеет частные производные в окрестности (x0, y0), непрерывные в (x0, y0), то она имеет в этой точке полный дифференциал и ее приращение в окрестности этой точки представимо в виде

= o( (x − x0)2 + (y − y0)2).

Положим

a0 = (x0, y0) , a = (x, y).

В этих обозначениях предыдущее соотношение можно пере-

при a → a0. Тем самым, из (1) следует, что множество Et имеет в точке a0 = (x0, y0) касательную и притом ортогональную вектору f(x0, y0). Теорема доказана.