Лосев-КлячинМиклюков МА в КИ

сумму влияния не оказывают. Доказательство проведем в несколько этапов.

I-й этап. Рассмотрим множество всех неотрицательных членов an ряда (1) таких, что an ≥ 1. Так как ряд сходится, то общий член an → 0 и членов an ≥ 1 будет, разве лишь, конечное число. Поэтому мы можем расположить их в порядке невозрастания:

p1 ≥ p2 ≥ . . . ≥ pk1 ≥ 1.

Рассмотрим множество всех положительных членов ряда (1) таких, что 1 > an ≥ 12 . Их также конечное число и мы смо-

жем расположить их следом за первым набором в порядке невозрастания:

1 p1 ≥ p2 ≥ . . . ≥ pk1 > pk1+1 ≥ pk1+2 ≥ . . . ≥ pk2 ≥ 2.

Рассмотрим множество всех положительных членов ряда (1) таких, что 12 > an ≥ 13 . Мы располагаем их следом за вторым набором в порядке невозрастания:

1 p1 ≥ . . . ≥ pk1 > pk1+1 ≥ . . . ≥ pk2 ≥ pk2+1 ≥ . . . ≥ pk3 ≥ 3.

Продолжая этот процесс неограниченно мы расположим все положительные члены ряда (1) в порядке невозрастающей последовательности:

Аналогичную процедуру осуществляем с абсолютными величинами отрицательных членов ряда (1) и располагаем их в виде невозрастающей последовательности:

5Отметим, что на данном этапе мы использовали лишь факт, что an → 0. Ничем более мы не пользовались. Отметим еще, что даже не всякую последовательность положительных чисел {an} можно расположить в виде монотонно невозрастающей последовательности. К примеру, пусть дана последовательность

32 , 12 , 43 , 13 , 54 , 14 , 65 , 15 , . . .

Попытаемся расположить ее в порядке невозрастания. Получаем набор чисел

который последовательностью не является. Таким образом, на данном этапе условие an → 0 существенно.

Покажем, что оба этих ряда расходятся.

Предположим сначала, что оба ряда сходятся. Обозначим через P и Q их суммы. Тогда ряд (1) сходится абсолютно, поскольку при любом s = 1, 2, . . . мы имеем

|a1| + |a2| + . . . + |as| ≤ P + Q.

Итак, предположим, что один из рядов, например, (5) – сходится, а другой, например, (6) – расходится. Тогда с ростом n частичные суммы Sn ряда (1) вбирают в себя все большее и большее число членов рядов (5) и (6), причем последние со знаком минус. При этом с ростом n члены ряда (6) дают сколь угодно большую отрицательную сумму, тогда как члены ряда (5) могут дать лишь ограниченную компенсацию. Тем самым, Sn → −∞ при n → ∞ и ряд (1) расходится, что невозможно.

Итак, мы доказали, что каждый из рядов (5) и (6) расходится.

На данном этапе мы уже использовали неабсолютную сходимость ряда (1).

III-й этап. Приступим к построению ряда, имеющего суммой число L. Мы будем предполагать, что L = ±∞.

Будем складывать члены последовательности (3) один за другим по следующему правилу: Если p1 > L, то остановимся. Если p1 < L, то будем прибавлять к нему по порядку члены p2, p3 и т.д. до тех пор пока при некотором n1 не будет выполнено

Такой номер n1 существует, поскольку ряд (5) имеет своей

n=1

нет, то будем продолжать вычитание до тех пор пока для некоторого m1 не будет выполнено

Такой номер m1 существует обязательно, поскольку сумма ряда (6) равна +∞.

Будем прибавлять к числу n1 pn− m1 qm числа pn, начиная

n=1 m=1

Будем вычитать из числа pn − qm + pn один за

n=1 m=1 n=n1+1

Продолжая этот процесс неограниченно, мы придем к ряду

p1+. . . pn1 −q1−. . .−qm1 +pn1+1+. . .+pn2 −qm1+1−. . .−qm2 +. . .

(11) Подчеркнем, что при построении ряда (11) мы употребим все до одного члена последовательностей (3) и (4).

IV-й этап. Покажем, что ряд (11) имеет своей суммой число L. Обозначим через Tk частичные суммы ряда (11). Проследим за поведением Tk с ростом k.

324 Глава 13. Числовые ряды

Заметим, что из (7), (8), (9) и (10) следует, что

|Tn1 − L| < pn1 , |Tn1+m1 − L| < qm1 , |Tn2+m1 − L| < pn2 ,

|Tn2+m2 − L| < qm2 , . . . .

Так как pn, qm → 0 при n, m → ∞, то такие суммы стремятся к L. Таким образом, нами доказана сходимость к L некоторой, специально выбранной, подпоследовательности последовательности частичных сумм.

Далее, возьмем произвольную частичную сумму Tn ряда (11), где n > n1 + m1. Всегда можно найти номер k(n) такой, что либо nk + mk ≤ n ≤ mk + nk+1 и, в силу конструции этого ряда, будет справедливо неравенство

Tnk+mk ≤ Tn ≤ Tnk+1+mk ,

либо nk+1 + mk ≤ n ≤ nk+1 + mk+1, и будет справедливо неравенство

Tnk+1+mk ≤ Tn ≤ Tnk+1+mk+1 .

Тем самым, вообще Tn → L при n → ∞.

Теорема доказана в случае, когда L конечное число. Случаи L = ±∞ рассмотреть самостоятельно.

ЗАМЕЧАНИЕ. Из доказательства видно, что могут быть построены и такие перестановки неабсолютно сходящегося ряда, которые не будут иметь суммы.

УПРАЖНЕНИЕ 1. Используя метод доказательства теоремы Римана, предложить несколько различных схем построения "финансовых пирамид".

§12. Перестановки абсолютно сходящихся рядов

ТЕОРЕМА 12.1. Предположим, что ряд

∞

n=1

сходится.

Для того чтобы всякая перестановка ряда (1) была сходящейся, необходимо и достаточно, чтобы ряд (1) сходился абсолютно.

Доказательство. Необходимость. Предположим, что всякая перестановка ряда (1) сходится, но сам ряд сходится неабсолютно. Тогда по теореме Римана найдется перестановка ряда (1), имеющая суммой +∞, что невозможно.

Достаточность. Пусть ряд (1) сходится абсолютно и пусть

bn – произвольная его перестановка. Если S = |an|, то

n=1 n=1

для любого N ≥ 1 выполнено

N

|bn| ≤ S.

n=1

На основании условия сходимости положительных рядов за-

∞

ключаем, что ряд bn сходится абсолютно и, следовательно,

n=1

сходится. Теорема доказана.

ТЕОРЕМА 12.2. Если ряд (1) сходится абсолютно, то всякая его перестановка имеет сумму, равную сумме ряда

(1).

Так как ряд (1) сходится абсолютно, то на основании критерия Коши для всякого ε > 0 найдется номер N(ε) такой, что при любых p ≥ q ≥ N(ε) выполнено

p

n=q

Выберем теперь натуральное число r = r(N(ε)) так, чтобы все числа a1, a2, . . . , aN(ε) содержались в наборе b1, b2, . . . , br. (Ясно, что r ≥ N(ε).)

Пусть теперь k > r – произвольно. Тогда числа a1, a2, . . . , aN(ε) в разности

k k

Ak − Bk = an − bn

n=1 n=1

328 Глава 13. Числовые ряды

ОПРЕДЕЛЕНИЕ 13.7. Пусть {amn} – двойная последова-

ОПРЕДЕЛЕНИЕ 13.8. Если при любом m ряд amn схо-

=1

дится к bm и ряд bm сходится к некоторому A, то повтор-

m=1

ный ряд называют сходящимся, и записывают в виде

∞ ∞

(amn) = A.

n=1

∞ ∞

amn также сходится, и его сумма равна сумме

m=1 n=1

двойного ряда.

Доказательство. Доказательство вполне аналогично доказанному ранее утверждению о двойных и повторных пределах. Приведите его самостоятельно.

ТЕОРЕМА 13.5. Если двойной ряд сходится абсолютно, то сходится и любой ряд (однократный, повторный, двойной), полученный перестановкой членов данного ряда. При этом сумма любого такого ряда совпадает с суммой исходного ряда.

Попробуйте доказать данное утверждение самостоятельно.

§14. Ряды векторов

Рассмотрим пространство Rn, т.е. пространство, состоящее из векторов x с n вещественными координатами (x1, . . . , xn).

Векторное пространство Rn нормируется, например с помощью нормы

||x|| = max{|x1|, . . . , |xn|}.

Можно рассматривать и любую другую норму. В частности,

часто используется следующая норма

||x|| = x21 + . . . + x2n.

Заметим, что для обозначения нормы элемента x Rn часто используется запись |x|. Напомним следующее определение.

ОПРЕДЕЛЕНИЕ 14.1. Пусть {xk}∞k=1 = {(xk1, . . . , xkn)} –

произвольная последовательность точек в Rn. Будем гово-

рить, что xk → x = (x1, . . . , xn) Rn при k → ∞ и писать lim xk = x, если ε > 0 номер N(ε) такой, что k > N(ε)

k→∞

выполнено ||xk − x|| < ε.

Последнее эквивалентно тому, что для любого m = 1, . . . , n выполнено

lim xkm = xm.

k→∞

ОПРЕДЕЛЕНИЕ 14.2. Рядом в Rn называется символ

∞

xk,

k=1

где xk = (xk1, · · · , xkn) Rn. Его суммой S называется предел последовательности Sl его частичных сумм:

l

S = lim Sl = lim xk.

l→∞ l→∞

k=1

Как и ранее, говорят что ряд сходится, если он имеет конечную сумму, и расходится в противном случае. Здесь под словами конечная сумма подразумевается вектор из Rn. Из определения сразу следует (проверьте!), что ряд из векторов сходится тогда и только тогда, когда для всех m = 1, · · · , n сходятся числовые ряды

∞

xkm.

k=1

УПРАЖНЕНИЕ 1. Введите понятие абсолютной сходимости ряда векторов и сформулируйте основные утверждения, аналогичные утверждениям из теории числовых рядов.

УПРАЖНЕНИЕ 2. Сформулируйте понятие матричного ряда, и дайте определение его сходимости.

§15. Бесконечные произведения

ОПРЕДЕЛЕНИЕ 15.1. Если p1, p2, . . . , pn, . . . есть некоторая последовательность положительных чисел, то символ

3∞

n=1

называется бесконечным произведением. Величины

называются частичными произведениями. Конечный или бесконечный предел

P = lim Pn

n→∞

частичных произведений называется значением произведения (1). Если бесконечное произведение имеет конечное значение P и притом отличное от нуля, то само бесконечное произведение называется сходящимся, в противном случае – расходящимся. Произведение

3∞

pn

n=m+1

называется остатком произведения (1) после m-го члена.

Прологарифмируем равенство (2). Мы имеем

и вопрос о сходимости произведения (1) сводится к существованию отличного от +∞ и −∞ предела частичных сумм (3). Таким образом, изучение бесконечного произведения полностью сводится к изучению ряда

∞

ln pn.

n=1

УПРАЖНЕНИЕ 1. Проверьте справедливость следующих утверждений.