Лосев-КлячинМиклюков МА в КИ

ЗАМЕЧАНИЕ. Подчеркнем, что в каждой точке интервала (−R, R) ряд сходится, на концах этого интервала ряд может как сходиться, так и расходиться, а всюду вне отрезка [−R, R] ряд расходится.

§10. Свойства степенных рядов

ТЕОРЕМА 10.1. Пусть R > 0 – радиус сходимости

степенного ряда

∞

cnxn. (1)

n=0

Тогда на всяком отрезке [−a, a], где 0 < a < R ряд (1) сходится равномерно.

Доказательство. Так как a (−R, R), то в этой точке ряд

(1) сходится абсолютно, т.е. сходится числовой ряд ∞ |cn|an.

n=0

Поскольку для всех x [−a, a] выполнено

|cnxn| ≤ |cn|an = Mn,

то пользуясь признаком Вейерштрасса о равномерной сходимости функциональных рядов, выводим: из сходимости

∞

Mn

n=0

следует равномерная сходимость

∞

cnxn.

n=0

СЛЕДСТВИЕ. Сумма степенного ряда непрерывна на интервале сходимости.

Доказательство. Заметим вначале, что функция называется непрерывной на некотором интервале, если она непрерывна в каждой точке этого интервала. Далее зафиксируем произвольную точку x из интервала сходимости степенного ряда. Тогда найдется такое a из интервала сходимости, что x [−a, a]. Таким образом, утверждение следствия сразу следует из теоремы о непрерывности суммы равномерно сходящегося ряда, составленного из непрерывных функций.

мости R > 0 и f(x) – сумма этого ряда. Тогда для всех x (−R, R) существует производная

n=1

Доказательство. Рассмотрим ряд, полученный формальным дифференцированием ряда (1), т.е. ряд

∞

ncnxn−1. (3)

n=1

Найдем его радиус сходимости R1. Справедливы соотношения

т.е. новый ряд имеет тот же самый радиус сходимости, что и первоначальный ряд. Тогда на основании предыдущей теоремы можно заключить, что ряд (3) сходится равномерно на любом отрезке [−a, a], где 0 < a < R.

Пользуясь теоремой о дифференцировании функциональных рядов, получаем требуемое.

n=0

сти R > 0 и f(x) – сумма этого ряда. Тогда f(x) является бесконечно дифференцируемой на (−R, R) функцией, причем fk(0) = k(k − 1) · ... · 1 · ck.

ТЕОРЕМА 10.3. Если ряд (1) имеет радиус сходимости

R > 0, то a, b : −R < a < b < R выполнено

Доказательство. Пусть α = max{|a|, |b|}. Тогда −R < −α ≤ a < b ≤ α < R и всюду на [−α, α] ряд (1) сходится равномерно, а его сумма непрерывна. Для завершения доказательства достаточно воспользоваться теоремой об интегрировании равномерно сходящихся функциональных рядов.

СЛЕДСТВИЕ. Пусть |x| < R, где R – радиус сходимости степенного ряда (1). Тогда ряд (1) можно почленно интегрировать на сегменте [0, x].

УПРАЖНЕНИЕ 1. Докажите, что полученный в результате почленного интегрирования степенной ряд имеет тот же радиус сходимости, что и исходный ряд.

§11. Аналитические функции вещественного переменного

ОПРЕДЕЛЕНИЕ 11.1. Говорят, что функция f(x), заданная на (a, b), является аналитической, если она является на этом интервале суммой некоторого степенного ряда.

ПРИМЕР 1. Сумма любого степенного ряда является аналитической функцией внутри интервала сходимости. Причем, если

ЗАМЕЧАНИЕ. Ясно, что для того, чтобы записать ряд Тейлора с центром в x0 необходимо и достаточно, чтобы f(x) была бесконечно дифференцируема в x0. А вот будет ли в этом случае сумма ряда Тейлора совпадать с f(x) неясно.

ОПРЕДЕЛЕНИЕ 12.2. Ряд (1) с центром в точке x0 = 0

называется рядом Маклорена.

Из результатов предыдущего пункта следует, что сумма

n=0

Маклорена на интервале сходимости этого ряда. Возникает проблема, какие дополнительные условия следует наложить на бесконечно дифференцируемую в x0 функцию f(x), чтобы для нее было выполнено соотношение (1)?

ТЕОРЕМА 12.1. Пусть y = f(x) – бесконечно дифференцируемая функция в некоторой окрестности Uε(x0) =

(x0 − ε, x0 + ε). Пусть, кроме того, для всех x Uε(x0) и всех k = 0, 1, 2... выполнено

где A – некоторая постоянная, не зависящая от k. Тогда функция f(x) представима в Uε(x0) рядом Тейлора с центром в x0.

Доказательство. Фиксируем произвольно x1 Uε(x0). Для доказательства теоремы нам нужно установить, что ряд

∞ f(k)(x0)(x1 − x0)k

k!

k=0

имеет своей суммой число f(x1). Иначе требуется доказать, что

ЗАМЕЧАНИЕ. Вспомним формулу Тейлора с остаточным членом в форме Лагранжа. Пусть y = f(x) непрерывно дифференцируема n + 1 раз на отрезке [α, β]. Тогда существует ξ (α, β) такая, что

356 Глава 14. Функциональные последовательности и ряды

Далее рассматриваем выражение

По формуле Тейлора, существует ξ (x0, x1) такое, что

f(n+1)(ξ)

Rn = (n + 1)! (x1 − x0)n+1.

Пользуясь условием (2) теоремы, имеем:

Так как x1 – точка из интервала Uε(x0), то величина

q = |x1−x0| < 1. Отсюда

ε

|Rn| ≤ Aqn+1 → 0

при n → ∞. На основании соотношения (4) получаем нужное.

ПРИМЕР 1. Ряд в правой части равенства (1) имеет смысл для любой бесконечно дифференцируемой в x0 функции f(x). Однако не для всякой бесконечно дифференцируемой в x0 функции равенство (1) действительно справедливо.

Построим пример бесконечно дифференцируемой функции, не представимой рядом Тейлора. Рассмотрим функцию

f(x) = e−x12 , при x > 0 0, при x ≤ 0 .

Покажем, что данная функция бесконечно дифференциру-

ема. Очевидно, что при x < 0 выполнено f(n)(x) = 0 для всех натуральных n. Кроме того, для x > 0 имеем:

f (x) = x23 e−x12 , f (x) = −x64 e−x12 + x46 e−x12 ,

f (x) = 24x5 e−x12 − 36x7 e−x12 + x89 e−x12 .

Доказательство. Отметим сначала, что для всех x выполне-

но

(ex)(k) = ex

и ряд Маклорена, построенный для данной функции имеет вид:

Покажем, что при любом x сумма ряда (2) равна ex. Фик-

то существует константа A такая, что для всех k = 0, 1, 2, ...

выполнено

εk ≤ A. k!

Поэтому из (3) следует, что для всех x Uε(0) выполнено

ТЕОРЕМА 13.2. Для всех x R справедливо равенство

Доказательство. Отметим сначала, что для всех x справедливы следующие равенства:

(sin x) = cos x, (sin x) = − sin x,

Более кратко данные равенства можно записать следую-

В результате, ряд Маклорена для функции y = sin x имеет вид

Покажем, что для всех x сумма этого ряда будет равна sin x. Для этого зафиксируем некоторую точку x0 и подберем окрестность Uε(0) такую, чтобы x0 Uε(0). Тогда для всех x Uε(0) имеем:

|(sin x)(k)|εk < εk < A;

k! k!

где A не зависит от k.

Таким образом, всюду на окрестности Uε(0), в том числе и при x = x0 сумма ряда (6) равна sin x.

ТЕОРЕМА 13.3. Для всех x R справедлива формула:

Доказательство. Заметим, что (cos x)(k) = cos(x + kπ2 ), то есть

360 Глава 14. Функциональные последовательности и ряды

Закончите доказательство данной теоремы самостоятельно.

§14. Разложение функции y = arctgx в ряд Маклорена

Доказательство. При |x| < 1, по формуле суммы бесконечной геометрической прогрессии, получаем:

Ряд (2) имеет радиус сходимости R = 1, так как

=lim sup n |(−1)n| = 1.

R n→∞

Таким образом внутри интервала сходимости (−1, 1) мы можем данный ряд интегрировать почленно. Следовательно для всех x0 (−1, 1) имеем

Тем самым формула (1) доказана для всех x (−1, 1). Покажем, что данная формула верна и при x = 1 (после

этого, в силу нечетности функции, будет очевидно, что она верна и при x = −1). Функция y = arctg x определена и непрерывна в точке x = +1. Если мы покажем, что функция