Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Волгоградский государственный университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

Лосев-КлячинМиклюков МА в КИ

.pdf

Скачиваний:

874

Добавлен:

27.05.2015

Размер:

3.66 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 4647 / 7547 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 > Следующая >>>

§9. Интеграл Эйлера второго рода

461

Во-первых подынтегральная функция f(t, y) – неотрицательная и непрерывная.

Во-вторых интеграл

∞		∞
0	ta−1ya+b−1e−(1+t)ydy = ta−1	0	ya+b−1e−(1+t)ydy =

ta−1

= Γ(a + b)(t + 1)a+b ,

непрерывен по t на множестве t ≥ 0. Заметим, что второе равенство здесь следует из (1).

В-третьих, интеграл

∞		∞
0	ta−1ya+b−1e−(1+t)ydt = e−yya+b−1	0	ta−1e−tydt =

= e−yya+b−1 Γ(a) ya

непрерывен по y на множестве y > 0. Заметим, что второе равенство здесь следует из (2).

Кроме того, один из повторных интегралов сходится и мы его вычислили. Тем самым перестановка порядка интегрирования при a > 1, b > 1 определена и следовательно формула

B(a, b) =

Γ(a)Γ(b)

Γ(a + b)

полностью обоснована для a > 1, b > 1.

Пусть теперь a > 0, b > 0 — произвольны. По доказанному выше,

B(a + 1, b + 1) =	Γ(a + 1)Γ(b + 1)	.	(3)

Γ(a + b + 2)

Но

Γ(a + 1) = aΓ(a), Γ(b + 1) = bΓ(b),

Γ(a + b + 2) = (a + b + 1)(a + b)Γ(a + b).

Кроме того, в силу теоремы 8.2

B(a, b) =	b − 1			B(a, b 1).
	a + b	−	1	−

Отсюда

B(a + 1, b + 1) = a + b + 1B(a + 1, b) =

462

Глава 18. Несобственные интегралы, зависящие от параметра

B(b, a + 1) =

B(a, b).

a + b + 1

a + b + 1 a + b

Таким образом, исходя из (3), получаем

B(a, b)

aΓ(a)bΓ(b)

a + b a + b + 1 (a + b + 1)(a + b)Γ(a + b)

B(a, b) =

Γ(a)Γ(b)

Γ(a + b)

и утверждение доказано для всех a > 0,

b > 0.

	ТЕОРЕМА 9.4 (формула Лежандра1). Для любых
	a > 0 справедливо равенство																						√
														1
														1			) =							π				Γ(2a).
								Γ(a)Γ(a +
								Γ(a)Γ(a +								2							22a−1
Доказательство. Если в интеграле
			1																						1
	B(a, a) = 0					xa−1(1 − x)a−1dx = 0																					1		−	1			− x)2]a−1dx
																									[					(
																									[		4			(		2
сделать подстановку
							1				1																		dt
							1	− x =			1	√t,								−dx =									dt
							2	− x =			2	√t,								−dx =								4√t ,

мы получим
											1
											2			1				1
				B(a, a) = 2 0										1				1					− x)2]a−1dx =
												[			− (
												[		4	− (						2
			0																								1
1			1 [		1				t		dt							1				1			0									dt
	= −						−			]a−1	√			=															(1 − t)a−1 √							=
		2			4				4										2	22a−2
		2			4				4				t						2	22a−2															t
								1
			1					0	1																		1						1
=									t−2 (1 − t)a−1dt =																						B(			, a).
=				22a−1					t−2 (1 − t)a−1dt =																	22a−1					B(		2	, a).

1Лежандр Адриен Мари (18.9.1752 – 10.1.1833). Род. в Париже. Обосновал и развил теорию геодезических измерений. Получил ряд значительных результатов в области математического анализа, теории чисел, вариационном исчислении.

§9. Интеграл Эйлера второго рода

463

Таким образом,

B(1 , a) B(a, a) = 2 .

22a−1

Заменяя здесь в обеих частях равенства функцию B ее выражением через Γ, находим

Γ2(a)

Γ(21 )Γ(a)

Γ(2a)

22a−1Γ(21 + a)

Однако

∞

1 dx

∞

Γ(

) =

√

e−xdx =

√x = τ, dτ =

√

= 2

eτ dτ = √π.

Поэтому

√

Γ(a)Γ(a +

) =

Γ(2a).

22a−1

Глава 19

Преобразование Фурье

Дополнительная литература:

1)Л.Д. Кудрявцев, "Курс математического анализа", Т. 1–3, М.: Высшая школа, 1988.

2)Г. Бремерман, "Распределения, комплексные переменные и преобразования Фурье", М.: Мир, 1968.

3)П. Антосик, Я. Микусинский, Р. Сикорский, "Теория обобщенных функций. Секвенциальный подход", М.: Мир, 1976.

§1. Основные определения

Пусть y = f(x) – периодическая функция с периодом T (т.е. длиной периода, равной T ). Предположим, что f(x) удовлетворяет условию Липшица на периоде.

Раскладывая тогда f(x) в ряд Фурье, имеем

∞

2π

, (1)

f(x) =

(ak cos kω0x + bk sin kω0x) ,

ω0 =

где

T/2

2π

a0 =

f(x) dx,

f(x) cos

k x dx,

−T/2

T/2

bk =

f(x) sin

2π

k x dx.

−T/2

Воспользуемся формулой Эйлера

eiϕ = cos ϕ + i sin ϕ.

§1. Основные определения

465

Тогда

eiϕ + e−iϕ ,

eiϕ − e−iϕ

cos ϕ =

sin ϕ =

ak cos kω0x + bk sin kω0x =

eikω0x + e−ikω0x +

eikω0x + e−ikω0x =

(ak − i bk)eikω0x +

(ak + i bk)e−ikω0x.

Отсюда,

a0 1

∞

f(x) = 2 + 2

(ak + i bk) eikω0x + 2

(ak − i bk) eikω0x =

k=1

∞

e−ikω0x,

= c0 +

ck eikω0x +

k=1

где обозначено

= c0,

(ak − i bk) = ck,

(ak + i bk) = ck.

Замечая теперь, что

ck = |ck| ei arg ck ,

= |ck| e−i arg ck ,

находим

∞

f(x) = c0 +

|ck| eikω0x+i arg ck +

|ck| e−ikω0x−i arg ck

k=1

∞

(2)

= c0 + 2

|ck| cos(kω0x + arg ck),

или по-другому,

+∞

(3)

f(x) =

ck eikω0x,

c−k =

−∞

Замечание.Терминология теории колебаний: f(x) − сигнал ;

466 Глава 19. Преобразование Фурье

a0 = 2c0 =	1		f(x) dx − среднее значение по периоду ;

	T
		T

2ck cos(kω0x + arg ck) − k-гармонические компоненты

с частотой Tk ,

амплитудой 2|ck| =

круговой частотой	kω0 =	2πk	,
		T

				bk
ak2 + bk2 и фазой	arg ck = −arctg
					.
				ak

Разложение сигнала на сумму простых гармонических колебаний называется гармоническим анализом функции f(x). Совокупность чисел ck в этом разложении называются спектром функции f. Таким образом, липшицева периодическая функция имеет дискретный спектр.

Наводящие соображения. Посмотрим, что происходит при неограниченном увеличении периода T функции f. Положим

l =

и αk

= k

2πk

На основании (3) можем записать

+∞

π π

f(x) =

ck eik l x =

eik l x

−∞

+∞

eiαkx.

(4)

Заметим, что

−∞

(ak − i bk) =

ck =

T/2

πk

f(x) cos

x dx −

f(x) sin

x dx =

−T/2

T/2

f(x) cos

2πk

− i sin

2πk

dx =

−T/2

T/2

f(x) e−i

2kπx

dx =

f(x) e−iαkx dx.

−T/2

−l

§1. Основные определения

467

Отсюда,

	l		1	l
ck		=		f(x) e−iαkxdx.	(5)

	π		2π

−l

Предполагая, что T = 2l → +∞, приходим в пределе к рассмотрению произвольной, абсолютно интегрируемой на R функции f(x). Введем вспомогательную функцию

		+∞
c(α) =	1		f(x) e−iαxdx,	(6)
	2π

−∞

значения которой в точках α = αk ”мало отличаются” от ве-

личины ck πl

где

в (5). В данном случае на основании (4) имеем

f(x) ≈ +∞ c(αk) ei αkx πl ,

−∞

αk = k	π		− αk =	π
		, αk+1			.
	l			l

Полученная сумма напоминает интегральную сумму и при измельчении разбиения, происходящем при T → ∞, получа-

ем

+∞

f(x) = c(α) ei αx dα.

(7)

−∞

Данные рассуждения носят название ”правдоподобных”. Именно рассуждения такого типа чаще всего предваряют строгие математические доказательства. С помощью подобных рассуждений была выведена Фурье формула (7) для разложения функции f в ”непрерывную” линейную комбинацию гармоник переменной частоты и фазы.

Дадим точные определения.

ОПРЕДЕЛЕНИЕ 1.1. Функция

+∞

6	1		−∞
f(ξ) =	√			f(x) e−i ξ xdx	(8)
		2π

называется преобразованием Фурье функции y = f(x).

468	Глава 19. Преобразование Фурье

Подчеркнем, что интеграл (8) понимается в смысле главного значения по Коши, т.е.

+∞ A

f	(	x e−iξxdx	=	lim	f x	e−iξxdx.	(9)
	(	)	=	A→+∞	( )		(9)
−∞				−A

При этом, если данный интеграл существует как несобственный от |f(x)|, то он, очевидно, существует и в смысле главного значения.

ОПРЕДЕЛЕНИЕ 1.2. Если f(ξ) – преобразование Фурье

функции y = f(x), определяемое на R, то сопоставляемый
f(x) интеграл				6
			+∞
1				f(ξ) eiξx dξ,	(10)
	√
		2π
			−∞	6

понимаемый в смысле главного значения по Коши, называется интегралом Фурье функции f(x).

ОПРЕДЕЛЕНИЕ 1.3. Понимаемые в смысле главного значения по Коши интегралы

					+∞
1
	√					f(x) cos ξx dx
		2π
и				−∞
					+∞

1
	√					f(x) sin ξx dx
			2π

−∞

называются cos и sin – преобразованиями Фурье для функции f(x).

ПРИМЕР 1. Функция y = f(x), определенная на всей числовой прямой R, называется финитной, если она обращается тождественно в 0 при всех достаточно больших x.

Найдем преобразование Фурье от следующей финитной функ-

ции

h при |x| ≤ a,

f(x) =	0 при \|x\| > a.	(a > 0)

§1. Основные определения

469

По формуле (8) имеем

+∞

f(x)e−iξxdx =

e−iξxdx =

f(ξ) =

√

2π

−∞

−a

e−iξx

eiξa − e−iξa

sin ξa

−iξ |−a

√2π

iξ

√2π

Найдем интеграл Фурье от функции f(x). По формуле (10) запишем

+∞

f(ξ) eiξxdξ =

sin ξa

eiξxdξ =

√

2π

−∞

+∞

sin ξa

(cos ξx + i sin ξx) dξ =

−∞

		+∞
	h		ξa
=			sin
=	π		ξ
		−∞

		+∞
	h		ξa		h		h
cos ξx dξ + i			sin	sin ξx dξ =		I1 + i		I2.
cos ξx dξ + i	π		ξ	sin ξx dξ =	π	I1 + i	π	I2.
		−∞

Вычислим каждый из интегралов. Так как подынтегральное выражение в I2 есть нечетная функция, то I2 = 0. Учитывая четность подынтегрального выражения в I1, имеем

+∞

lim

sin ξa cos ξx

dξ

= 2 0

sin ξa cos ξx

dξ

= A→+∞

−A

= | 2 sin α cos β = sin(α + β) + sin(α − β) | =

+∞

= 0

sin(a + x)ξ

dξ + 0

sin(a − x)ξ

dξ = I3

+ I4.

470							Глава 19. Преобразование Фурье
Далее, полагая (a + x)ξ = t, (a + x) dξ = dt, находим
				t
			+∞	sin t	dt	при	a + x > 0,
			+∞		dt	при	a + x > 0,
			0





I	=
3

			0
			0
				при
			0	при	a + x = 0,
			0		a + x = 0,
				t


			−∞	sin t dt
			−∞			при	a + x < 0
						при	a + x < 0






и						+
						+
						∞
		I3 = sgn (a + x) 0					sin t
								dt.
							t	dt.

Аналогично,

+∞

I4 = sin(a − x) ξ dξ = sgn (a − x)

+∞

sint t dt.

ЗАМЕЧАНИЕ. Справедливо равенство

+∞

sint t dt = π2 ,

которым мы воспользуемся без доказательства. Интеграл в левой части носит название интеграла Дирихле. Проверку справедливости данного равенства можно найти в других учебниках по математическому анализу.

Следовательно,
		π
I3 + I4 =			(sgn (a + x) + sgn (a − x)) =
I3 + I4 =		2	(sgn (a + x) + sgn (a − x)) =
	π			0	при	x > a,
	π						−
=
=
	2				при
	2			0		x < a,
				0		x < a,
						\| \|

				2	при	x < a,




					при	\|x\| = a
				1
				1

<<< < Предыдущая 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 4647 / 7547 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
25.03.2016119.81 Кб72Лекция___Стили_русского_языка__0.doc
#
27.05.2015264.06 Кб19Лекция_Состав_языка_С0.pdf
#
22.11.2019372.99 Кб8Леонардо Да Винчи.docx
#
27.05.2015197.43 Кб29Литература по Атмосфере.pdf
#
11.07.201984.48 Кб5Литература-Философия права.doc
#
27.05.20153.66 Mб874Лосев-КлячинМиклюков МА в КИ.pdf
#
05.05.2019851.46 Кб16ЛР7.doc
#
23.11.20192.89 Mб34лр_2008.doc
#
25.03.2016183.3 Кб47ЛР_№1_HTML.doc
#
25.03.2016291.84 Кб41ЛР_№2 Элементы HTML.doc
#
25.03.2016155.14 Кб39ЛР_№3 Таблицы HTML.doc