Лосев-КлячинМиклюков МА в КИ

В случае n = 2 интеграл по прямоугольнику называется

двойным интегралом и обозначается

f(x1, x2) dx1 dx2.

A

Вобщем случае интеграл называется n-кратным.

ТЕОРЕМА 1.1. Ограниченная функция y = f(x) интегрируема по A тогда и только тогда, когда для любого ε > 0 существует разбиение P параллелепипеда A такое,

что

S(f, P ) − S(f, P ) < ε .

Доказательство. Предположим вначале, что для произвольного ε > 0 найдется разбиение P такое, что

S(f, P ) − S(f, P ) < ε .

Тогда

0 ≤ inf S(f, P ) − sup S(f, P ) ≤ S(f, P ) − S(f, P ) < ε .

Всилу произвольности ε получаем, что f интегрируема. Далее предположим, что f(x) интегрируема по A. Тогда,

Рассмотрим разбиение P, которое является измельчением

разбиений P и P . Тогда пользуясь леммой 1.2, получаем

f(x)dx − ε < S(f, P ) ≤ S(f, P ) ≤ S(f, P ) ≤ S(f, P ) <

A

<f(x) dx + ε .

A

Таким образом

S(f, P ) − S(f, P ) < 2ε .

Теорема доказана.

ПРИМЕР 3. Пусть f(x) = c ≡ const, x A. Тогда

S(f, P ) = cv(T ) = cv(A).

T

Таким образом, f(x) интегрируема и ее интеграл

c dx = cv(A).

A

ПРИМЕР 4. Рассмотрим функцию f(x1, x2), такую что

Покажем, что данная функция неинтегрируема в прямоугольнике A. Пусть A = [a1, b1] × [a2, b2], P — произвольное разбиение. Очевидно, что T разбиения P существует точка

(x1, x2) T такая, что x1, x2 Q, и существует точка (x1, x2) T такая, что или x1 или x2 — иррационально. Следовательно,

S(f, P ) = v(T )mT (f) = 0,

T

Таким образом,

inf S(f, P ) = v(A) = 0 = sup S(f, P ).

1.2.Условие интегрируемости

ОПРЕДЕЛЕНИЕ 1.6. Пусть F — ограниченное множество в Rn. Говорят, что система параллелепипедов {U1, U2, . . . , Uk} покрывает множество F, если

?k

Ui F.

i=1

ЗАМЕЧАНИЕ. Отметим, что в данном определении параллелепипеды U1, U2, . . . , Uk не обязательно имеют ребра, параллельные осям координат.

ОПРЕДЕЛЕНИЕ 1.7. Будем говорить, что множество F имеет нулевой объем и писать v(F ) = 0, если ε > 0 существует его покрытие параллелепипедами U1, U2, . . . , Uk :

k

v(Ui) < ε .

i=1

ПРИМЕР 5. Рассмотрим отрезок в R2. Он имеет нулевой объем, т.к. его можно покрыть прямоугольником сколь угодно малой ширины.

ЗАМЕЧАНИЕ. В предыдущем определении вместо произвольных параллелепипедов Ui можно брать параллелепипеды у которых ребра параллельны осям координат. Кроме того, можно брать как открытые так и замкнутые параллелепипеды.

ЛЕММА 1.3. Пусть A — замкнутое множество, U Rn — открытое. Тогда множество A \ U замкнутое.

Доказательство. Пусть дана последовательность x1, x2, . . . , xk, . . . точек из A \ U, сходящаяся к некоторой точке x0. Покажем, что x0 A \ U. Так как множество A — замкнуто, и последовательность {xk} A, xk → x0 при k → ∞, то точка x0 A. Следовательно, достаточно показать, что x0 U.

Предположим противное, т.е. x0 U. Тогда в силу открытости множества U, найдется ε -окрестность Bε (x0) точ-

ки x0, такая что Bε (x0) U. Так как {xk} A \ U, то {xk} не лежат в Bε (x0). Получаем противоречие со сходимостью xk → x0.

ТЕОРЕМА 1.2. Пусть A Rn — замкнутый параллелепипед, f(x) — ограниченная функция на A, B — множество точек разрыва функции f(x). Тогда если v(B) = 0, то функция f(x) интегрируема по параллелепипеду A.

Доказательство. Достаточно показать, что ε > 0 существует разбиение P параллелепипеда A такое, что

S(f, P ) − S(f, P ) < ε .

Зафиксируем произвольно ε > 0. Так как v(B) = 0, то существует система открытых параллелепипедов U1, U2, . . . , Uk, таких, что

ТЕОРЕМА 2.1. Пусть A, B Rn открытые множества, измеримые по Жордану. Тогда множества A B и A ∩ B открытые и измеримые по Жордану.

Доказательство. Самостоятельно доказать, что A B и A∩B открытые.

Для доказательства измеримости достаточно показать, что граница объединения лежит в объединении границ, и граница пересечения лежит в объединении границ, т.е.

∂(A B) ∂A ∂B, ∂(A ∩ B) ∂A ∂B.

Покажем первое вложение. Пусть x0 ∂(A B). Тогда x0

— точка сгущения множества A B и x0 A B. Поэтому точка x0 является точкой сгущения либо множества A, либо B. Предположим, что x0 — точка сгущения множества A и в то же время x0 A. Тогда x0 ∂A.

Второе вложение доказывается аналогично.

2.2.Интеграл по произвольному множеству

Пусть A Rn — ограниченное, открытое, измеримое по

Жордану множество. Пусть на множестве A задана функция f(x). Рассмотрим параллелепипед C, с ребрами, параллель-

ными осям координат, такой что C A, и функцию

ОПРЕДЕЛЕНИЕ 2.2. Функция f(x) называется интегрируемой по Риману на множестве A, если функция f (x) ин-

тегрируема по параллелепипеду C. По определению полагаем

f(x) dx = f (x) dx.

AC

ТЕОРЕМА 2.2. В приведенном выше определении интегрируемость функции f(x) по множеству A и ее интеграл не зависят от выбора параллелепипеда C.

Доказательство. Пусть функция f(x) определена и интегрируема на ограниченном, открытом, измеримом по Жордану множестве A. Рассмотрим параллелепипеды B и C такие, что A B, A C. Достаточно рассмотреть случай, когда парал-

лелепипед B C. Покажем, что интегралы от функции

2.3.Свойства интеграла по множеству

ТЕОРЕМА 2.4. Пусть функции f(x) и g(x) — интегрируемы по параллелепипеду C, а α – произвольное вещественное число. Тогда функции f(x) ± g(x) и αf(x) – интегрируемы, причем справедливы равенства

Доказательство. 1) Рассмотрим произвольное разбиение параллелепипеда C. Тогда для α ≥ 0 выполнено

Аналогично

S(αf, P ) = αS(f, P ).

Точно так же, для α < 0 выполнено

и

S(αf, P ) = αS(f, P ).

Таким образом, из интегрируемости функции f(x) получаем интегрируемость αf(x). Взяв точную нижнюю грань по всем разбиениям P в равенстве (3), получаем

Равенство при α < 0 доказывается аналогично.

2) Покажем интегрируемость функции f(x) + g(x). Так как функции f(x) и g(x) интегрируемы, то существуют P и P , такие что

Пусть T — параллелепипед разбиения P . Тогда

S(f + g, P ) − S(f + g, P ) =