Лосев-КлячинМиклюков МА в КИ

ОПРЕДЕЛЕНИЕ 4.3. Функция f(x), определенная в D \ {x0}, называется интегрируемой в несобственном смысле, ес-

D\∆i

не зависящий от выбора {∆i}. Если данный предел конечен, то несобственный интеграл называется сходящимся, в противном случае — расходящимся.

§5. Теорема о среднем

ТЕОРЕМА 5.1. Пусть D — ограниченная замкнутая область в Rn, измеримая по Жордану, f(x) — непрерывная функция в D. Тогда существует ξ D такая, что

f(x) dx = f(ξ)v(D),

D

где v(D) – объем множества D.

Доказательство. Так как функция f(x) непрерывна на ограниченном замкнутом множестве, то она достигает своей точ-

ной нижней и точной верхней грани, т.е. найдутся точки x , x D :

Тогда выполнены следующие неравенства

mv(D) ≤ f(x) dx ≤ Mv(D)

Соединим точки x и x ломанной, лежащей в D. Тогда по теореме о промежуточных значениях, функция f(x) принимает на этой ломанной все значения между m и M. В частности, существует точка, принадлежащая ломанной, такая что

D D

§6. Криволинейные интегралы

6.1.Криволинейный интеграл I рода

Пусть на плоскости R2 задана кривая γ, т.е. образ непрерывной, взаимно однозначной вектор-функции:

r(t) = (x(t), y(t)), t [a, b].

Пусть A = r(a), B = r(b). Предположим, что кривая γ спрямляема. Рассмотрим разбиение кривой γ точками: A = p0, p1, . . . , pn = B, такими что pi принадлежит дуге pi−1pi+1, i = 1, n − 1. Через ε i обозначим длину дуги pi−1pi, i = 1, n.

Пусть на кривой γ задана функция f = f(M), где M γ. Выберем на каждой дуге pi−1pi точку Ai и составим сумму

n

f(Ai)ε i.

i=1

ОПРЕДЕЛЕНИЕ 6.1. Если существует величина

где µn = max ε i, а предел не зависит от разбиения и от выбо-

1≤i≤n

ра точек {Ai}, то функция f(M) называется интегрируемой по кривой γ, а значение предела называется криволинейным

интегралом I-го рода и обозначается через

f(M) ds.

γ

ЗАМЕЧАНИЕ. Подчеркиваем, что в приведенном определении, не играет никакой роли направление, которое может быть указано на γ.

Пусть M γ. Тогда точке M соответствует единственное

7

число s, равное длине дуги AM, т.е. (x(s), y(s)) = M. Рассмотрим интегральную сумму:

Таким образом, интегральная сумма в определении криволинейного интеграла совпадает с интегральной суммой функции f(x(s), y(s)) по отрезку [0, |γ|], где |γ| – длина γ. Следовательно, существование одного из интегралов влечет существование другого и, в силу данного равенства, получаем

|γ|

f(M) ds = f(x(s), y(s)) ds.

Пусть функции ϕ(t), ψ(t) непрерывно дифференцируемы и (ϕ(t), ψ(t)) взаимно однозначное отображение, т.е. каждому значению t [a, b] соответствует единственная точка M γ и обратно, для любой точки M γ существует единственное t [a, b] такое, что M = (ϕ(t), ψ(t)). Из условия на функции ϕ(t), ψ(t) следует, что γ является спрямляемой.

Пусть s(t) — длина дуги AM(t), M(t) = (ϕ(t), ψ(t)). Тогда

s (t) = ϕ 2(t) + ψ 2(t),

если возрастание параметра t соответствует возрастанию параметра s (см. пункт "Вычисление длины дуги в декартовых координатах" параграфа "Кривые и дуги" главы "Приложения определенного интеграла"). Тогда

|γ|

f(M) ds = f(x(s), y(s)) ds =

526 Глава 20. Теория интегрирования в Rn

=f(ϕ(t), ψ(t)) ϕ 2(t) + ψ 2(t) dt.

a

ПРИМЕР 1. Если γ = (x, y), где x [a, b] и y = y(x), то

ПРИМЕР 2. Вычислить интеграл: xy ds, где γ — четверть

γ0

=ab2 a x a4 − (a2 − b2)x2 dx = z = a4 − (a2 − b2)x2 =

0

Заметим, что данную кривую можно параметризовать и другими способами, возможно более рациональными для вычисления указанного интеграла. Попробуйте сделать это.

6.2.Криволинейный интеграл II рода

Пусть дана кривая γ на плоскости. Будем говорить, что γ ориентирована, если определено начало кривой и конец. Пусть A — начало γ, B — конец. В обозначениях предыдущего пункта составим интегральные суммы:

n

f(Ai)∆xi, ∆xi = xi − xi−1,

i=1

n

f(Ai)∆yi, ∆yi = yi − yi−1,

i=1

где (xi, yi) — координаты точки Pi.

ОПРЕДЕЛЕНИЕ 6.2. Если существуют величины

и не зависят от выбора разбиения кривой γ, то значения таких пределов называют криволинейными интегралами II-го рода