Файловый архив студентов. Файловый архив студентов.
1264 вуза, 4635 предмета.
/ Регистрация
FAQ Обратная связь Вопросы и предложения
Добавил:
Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Волгоградский государственный университет
Предмет:
[НЕСОРТИРОВАННОЕ]
Файл:

Лосев-КлячинМиклюков МА в КИ

.pdf
Скачиваний:
874
Добавлен:
27.05.2015
Размер:
3.66 Mб
Скачать
☆
из слагаемых стремится к 0). Лемма доказана.

§4. Пространство быстро убывающих функций

481

Оператор A : S1 → S2 называется непрерывным, если для произвольной последовательности {ϕm}∞m=1 → ϕ в топологии пространства S1 выполнено

Aϕm → Aϕ в топологии пространства S2.

ЛЕММА 4.1. Если оператор A : S → S линеен и для любой пары (l, k) найдется система пар (l1, k1), . . ., (ln, kn) такая, что для всех ϕ S выполнено

 

 

 

 

 

 

 

n

 

 

 

 

 

sup(1

+ x

l)

(Aϕ)(k)

| ≤

c

 

j

sup(1 +

x

lj )

ϕ(kj)(x) ,

x

| |

|

 

 

l,k

=1

x

|

|

|

| (3)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

где cl,k – постоянная, не зависящая от ϕ, то A непрерывен.

Доказательство. Пусть ϕm → ϕ в топологии S. Требуется доказать, что для любой пары (l, k) выполнено

sup(1

+ x

l)

(Aϕ

 

)(k)

−

(Aϕ)(k)

| →

0

при

m

→ ∞

.

x

| |

|

 

m

 

 

 

 

 

Так как оператор A линеен, то

(Aϕm)(k) − (Aϕ)(k) = (Aϕm − Aϕ)(k) = (A(ϕm − ϕ))(k)

и, пользуясь условием (3), получаем

sup(1 + |x|l) (Aϕm)(k) − (Aϕ)(k) = sup(1 + |x|l) (A(ϕm − ϕ))(k) ≤

x x

 

 

 

n

 

 

 

 

 

 

 

≤

c

 

j

sup(1 + x

lj )

ϕ(k)

−

ϕ(k)

.

 

l,k

=1

x

| |

|

m

|

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Принимая во внимание, что ϕm → ϕ в топологии S, заклю-

чаем, что правая часть стремится к 0 при m → ∞ (каждое

482

Глава 19. Преобразование Фурье

4.3.Преобразование Фурье как оператор

ТЕОРЕМА 4.1. Преобразование Фурье

 

 

 

+∞

 

1

 

ϕ(x) e−iξxdx

ϕ(ξ) =

√

 

2π

6

 

 

−∞

 

является линейным непрерывным оператором, отобра-

жающим S на S и притом взаимно однозначно.

6

 

 

6

 

Обозначение: F : ϕ S → ϕ S.

Доказательство проведем в четыре этапа. 1) Проверим,

что

6

 

 

 

 

6

 

 

 

 

ема.

 

 

 

 

 

0 выполняется

Это ясно, поскольку для любого l

≥

 

 

1

6

 

 

 

 

 

(|x|l + |x|l+2) |ϕ(x)| ≤

 

 

 

|x|l|ϕ(x)| =

 

 

 

 

 

 

1 + |x|2

 

 

 

≤

1

 

 

sup(x |x|l + |x|l+2) |ϕ(x)| <

 

 

 

 

 

 

 

 

1 + |x|2

 

 

 

<

1

 

 

 

+ |x|l + |x|l+2) |ϕ(x)| =

const

 

 

sup(1x

 

.

 

1 + |x|2

1 + |x|2

что F есть отображение S в S или, другими словами, из условия ϕ S следует, что ϕ S. С этой целью заметим сначала, по теореме 3.2 функция ϕ(x) бесконечно дифференциру-

Правая часть данного соотношения интегрируема по (−∞, +∞) и мы вправе воспользоваться теоремой 3.2.

Далее заметим, что операция умножения на xl (l ≥ 0) и операция дифференцирования не выводят функцию из пространства S. Это означает, что при любых (l, k) из условия

ϕ S следует, что функция xl ϕ(x) (k) принадлежит пространству S.

Нам достаточно считать здесь, что k, l ≥ 0 – целые. (Проверить!) По лемме Римана ее преобразование Фурье стремится к 0 при ξ → ∞. Пользуясь последовательно доказанными в

предыдущем разделе теоремами, находим

−

 

 

 

 

 

 

(ξ)=(iξ)k

<

=

 

 

 

 

 

 

 

 

 

(iξ)k

 

 

 

 

(xlϕ(x))(k)

xlϕ(x) (ξ)=

(

 

i)l

ϕ(l)(ξ) =

 

 

 

= −il+kξkϕ(l)(ξ)

 

 

 

 

6

6

 

(4)

и правая часть также

стремится к 0 при ξ

→ ∞

, т.е. ϕ

 

S.

 

6

 

 

 

 

§4. Пространство быстро убывающих функций

483

2) Покажем теперь, что преобразование Фурье 6 : S

F →

S отображает пространство S на все пространство S. Это означает, что каждая из функций χ S является образом некоторой функции ϕ S.

Сказанное ясно, поскольку если χ S, то она бесконечно гладкая и интегрируема на (−∞, +∞), а потому ее можно рассматривать как преобразование Фурье от функции χ6(−ξ).

3) Покажем, что отображение 6 : S S взаимно одно-

F →

значно. Предположим противное, т.е. найдутся ϕ1 = ϕ2 S такие, что

ϕ>1(ξ) = ϕ>2(ξ).

Легко видеть, что отображение 6 : S S линейно, а потому

F →

0 = ϕ>2(ξ) − ϕ>1(ξ) = (ϕ2 − ϕ1)(ξ).

Вычисляя интеграл Фурье от обеих частей равенства, находим

0 = ϕ2(x) − ϕ1(x), т.е. ϕ2(x) = ϕ1(x).

Противоречие.

4) Нам осталось показать, что отображение 6 : S S

F →

непрерывно. Воспользуемся леммой 4.1. Нам нужно доказать, что

 

 

 

 

 

 

 

 

 

6

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

n

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

l)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

j

 

 

 

 

 

 

lj )

ϕ(kj)(x) .

 

sup(1 +

ξ

ϕ(k)

(ξ)

| ≤

c

 

 

 

 

sup(1 +

|

x

(5)

ξ

 

|

|

 

|

 

 

 

 

 

l,k

x

 

 

 

|

 

 

|

 

 

 

|

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

=1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Согласно соотношению (4)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

ξlϕ(k)(ξ) =

−

(xkϕ(x))(l) (ξ),

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

ik+l

 

 

 

 

то есть,

 

 

 

 

 

 

 

6

 

 

≤

 

√2π

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

| |

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

ξ

l

 

ϕ(k)(ξ)

 

 

1

 

 

 

+∞ xkϕ(x)

 

(l) e−iξxdx

=

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

6

 

 

 

 

 

 

 

 

 

−∞

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

+

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

√2π

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

| | 1 + x

 

 

 

≤

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

∞

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

iξx

 

 

 

 

=

 

 

1

 

 

−∞

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

e−

|

 

|

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

xkϕ(x) (l) (1 + x 2)

 

 

 

2 dx

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

|

 

|

 

 

 

 

 

1

 

 

 

+∞

 

 

 

 

 

 

 

(l)

 

 

2

 

 

 

 

e−

iξx

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

k

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

≤ √2π

 

 

 

x ϕ(x) (1 + |x| )

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1 + x 2 dx ≤

 

−∞

484 Глава 19. Преобразование Фурье

≤

x

 

 

 

 

 

 

 

 

| |

 

 

√2π

 

 

1 + x 2 ≤

 

 

 

 

 

 

 

(l) (1 + x

2)

 

1

 

+∞

 

|

|

 

 

 

 

sup

 

 

−∞

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

n

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

(

Проверить !

)

≤

c

 

j

 

 

 

 

 

lj ) ϕ(kj)(x)

 

 

 

 

sup(1 + x

.

 

 

 

l,k

=1

x

 

|

|

 

|

 

 

|

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Теорема доказана полностью.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

§5. Обратный оператор Фурье

Так как оператор Фурье 6 : S S взаимно однозначен,

F →

то существует обратный оператор F : S → S. Мы с ним уже знакомы. Это –

 

+∞

 

1

 

f(ξ) eiξxdξ.

(1)

f(x) = √2π

−∞

Для произвольных двух функций ϕ, ψ S введем их ”скалярное произведение” (терминология будет оправдана после интерпретации функций класса S как векторов в некотором бесконечномерном пространстве)

+∞

 

ϕ, ψ =

ϕ(x) ψ(x) dx.

(2)

−∞

 

 

 

ТЕОРЕМА 5.1. Справедливы соотношения (аналоги ра-

 

венства Парсеваля)

 

 

ϕ, 6 =

 

 

 

 

 

 

 

 

ϕ, ψ

=

,

 

 

.

(3)

 

 

 

 

ϕ, ψ

ψ

ϕ, ψ

 

 

Доказательство проведем только для

6финитных функ-

 

ций. Мы имеем

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

+∞

 

 

 

+∞

 

+∞

 

 

 

ϕ, ψ˜ =

ϕ(x)ψ(x) dx =

 

dx

 

 

ψ(ξ)eiξxdξ.

 

 

ϕ(x)

√

 

 

 

2π

 

 

−∞

 

 

 

 

−∞

 

 

 

 

−∞

 

 

 

Так как функции финитны, то оба интеграла являются собственными и мы вправе их переставить. Таким образом,

 

 

 

+∞

+∞

+∞

1

 

 

 

ϕ(x)eiξxdx =

 

 

ϕ, ψ =

√

 

ψ(ξ) dξ

ψ(ξ)ϕ(ξ) dξ =

2π

−∞

−∞

−∞

§5. Обратный оператор Фурье

 

 

 

 

 

 

485

 

 

 

 

 

 

 

 

= ψ, ϕ = ϕ, ψ .

 

 

 

 

 

 

 

 

Второе равенство доказывается аналогично.

 

 

 

 

 

ТЕОРЕМА 5.2. Имеет место формула обращения

(4)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

6

 

 

для всякой

ϕ S,

 

 

 

 

 

ϕ = ϕ = ϕ

 

 

 

 

 

и для любых 6

 

 

S

выполнено

 

 

 

 

 

 

 

 

 

ϕ, ψ

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

ϕ , ψ = −ϕ, ψ ,

 

 

(5)

 

 

 

 

 

ϕ

x

 

 

i

xϕ x

i ξϕ ξ

.

(6)

 

 

 

 

 

(

 

 

) = − (

( )) =

(

6)( )

 

Доказательство. Равенство (4) проверить самостоятельно.

Равенство (5) следует из формулы интегрирования по ча-

стям, поскольку

+∞ϕ (x) ψ(x) dx = ϕ(x) ψ(x) +∞

 

 

ϕ , ψ

 

=

−

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

−∞

 

 

 

 

 

 

−∞

 

+∞

−ϕ(x) ψ (x) dx = −ϕ, ψ .

−∞

Для доказательства (6) воспользуемся формулой обращения. Имеем

ϕ =

ϕ

=

√

1

+∞ϕ(ξ)eiξxdξ

=

 

 

 

 

2π

 

6

x

 

 

 

6

+∞

−∞

 

 

 

 

1

 

ϕ(ξ)(iξ)eiξxdξ = iξϕ(ξ).

 

=

√

 

 

2π

 

 

 

 

 

−∞

6

 

 

 

6

 

Аналогично,

6 −

ϕ= ϕ = i(xϕ(x)).

Сопоставляя найденные равенства, приходим к (6).

 

486

Глава 19. Преобразование Фурье

 

ТЕОРЕМА 5.3. Для любой ϕ S выполнено

 

 

a) e−iµxϕ(x) = eiµxϕ(x) = ϕ(µ + ξ) µ R;

 

 

 

 

 

−

 

 

 

 

 

 

6

 

 

 

 

 

 

b) ϕ( t) = ϕ(t);

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

c) ϕ(−t) = ϕ(t);

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

t

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

d) ϕ(at) =

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

| |

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

a6ϕ(a) (a = 0);

 

 

 

 

 

1

ϕ6(

t

 

 

 

 

 

 

= 0).

 

 

 

e) ϕ(at) =

 

 

 

) (a

 

 

 

|a|

a

 

 

 

Доказательство. Докажем равенство a). Имеем

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

+∞

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

e−iµxϕ(x) =

√

 

 

 

e−iµxϕ(x)e−iξxdx =

 

 

2π

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

−∞

 

 

 

1

 

+∞

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

6

 

 

−∞

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

=

√

 

 

 

e−i(µ+ξ)xϕ(x) dx = ϕ(µ + ξ) = ϕ(µ + ξ).

 

 

2π

 

Аналогично,

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

+∞

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

eiµxϕ(x) =

√

 

eiµxϕ(x)eiξxdx =

 

 

 

 

 

 

2π

 

 

 

 

 

 

 

 

6

 

 

 

 

 

 

 

 

 

−∞

6

 

 

 

 

 

 

 

 

+∞

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

ei(µ+ξ)xϕ(x) dx = ϕ(µ + ξ) = ϕ(µ + ξ).

 

 

=

√

 

 

 

 

2π

 

 

 

 

 

 

 

 

−∞

 

 

 

 

 

 

6

 

 

 

6

 

 

 

Остальные формулы проверить самостоятельно.

§6. Свертка и ее преобразование Фурье

Пусть ϕ и K – функции пространства S. Операция

 

+∞

1

 

 

K P ϕ = √2π

K(x − t) ϕ(t) dt =

−∞

§6. Свертка и ее преобразование Фурье

487

 

 

 

+∞

 

1

 

 

 

=

√

 

ϕ(x − t)K(t) dt = ϕ P K

 

2π

 

−∞

называется сверткой функций K и ϕ.

Тот факт, что K(x − t) ϕ(t) и ϕ(x − t) K(t) суть функции класса S проверьте самостоятельно.

ТЕОРЕМА 6.1. Справедливы равенства

7 "

K ϕ = K ϕ = K P ϕ.

6 6

Доказательство проведем для случая финитных K и ϕ. Мы имеем

 

 

 

 

 

 

 

+∞

 

+∞

 

+∞

 

Kϕ =

1

 

 

 

 

eixsds

K(u)e−sudu ϕ(v)e−svdv =

(2π)3/2

 

6 6

 

 

 

 

+

−∞

+

−∞

+

−∞

 

"

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

∞

 

∞

∞

 

=

1

 

 

 

eixsds

 

K(u) du

ϕ(v)e−i(u+v)sdv =

(2π)3/2

 

 

 

 

 

 

−∞

 

−∞

 

−∞

 

 

 

 

 

замена переменных:

 

u + v = ξ

 

 

 

 

v ξ

u

 

 

 

 

dv== dξ−

 

 

 

 

 

 

+∞

+∞

+∞

 

=

1

 

eixsds

K(u)du

ϕ(ξ − u)e−ξs dξ.

(2π)3/2

 

 

 

 

 

−∞

−∞

−∞

 

 

Так как K и ϕ финитны, то последние два интеграла можно поменять местами. Таким образом,

 

 

 

 

 

 

 

+∞

 

 

 

+∞

 

+∞

Kϕ =

 

1

eixsds

 

e−iξsdξ

K(u)ϕ(ξ − u) du =

 

(2π)3/2

 

6 6

 

+

 

−∞

+

−∞

+

 

"

 

 

 

 

 

 

−∞

 

1

 

 

∞

1

 

∞

 

1

 

∞

 

 

 

e−iξsdξ

 

 

√

 

 

eixsds

√

 

 

√

 

K(u)ϕ(ξ − u) du.

 

2π

 

2π

 

2π

 

 

 

−∞

 

 

 

−∞

 

 

 

 

−∞

Однако, f6= f и, полагая

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

+∞

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

K(u)ϕ(ξ − u) du,

 

 

 

 

 

 

 

 

f =

 

 

−∞

488 Глава 19. Преобразование Фурье

находим

"

 

1

 

 

6

 

1

 

+∞

 

 

 

 

 

 

 

−∞

 

 

 

 

6

6

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

K(ξ − u)ϕ(u) du = K P ϕ.

Kϕ = √2πf = √2π

Далее получаем

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

+∞

 

Kϕ = K(−t)ϕ(−t) =

√

 

 

K(−t)ϕ(−t)e−iξtdt =

2π

7

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

−∞

6

6

 

(замена переменных:

 

− t = u, dt = −du )

 

 

 

1

 

 

+∞

 

 

 

 

 

 

 

"

 

 

 

 

−∞

6

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

6

 

 

 

 

6

6

 

= √

 

K(u) ϕ(u)eiξu du = Kϕ = K P ϕ.

 

2π

Теорема доказана.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

§7. Пространство S обобщенных функций

7.1.Понятие обобщенной функции

Если каждой из функций ϕ S по некоторому правилу F ставится в соответствие комплексное число (F, ϕ), зависящее от ϕ линейно и непрерывно (в топологии пространства

S), то говорят, что на пространстве S определен линейный функционал F , или определена обобщенная функция F над

S.

Напоминания: a) функционал F линеен (над полем комплексных чисел), если для любых комплексных чисел α, β выполнено

(F, α ϕ + β ψ) = α (F, ϕ) + β (F, ψ) ;

b) функционал F непрерывен, если для всякой последовательности {ϕm} → ϕ в топологии S выполнено

(F, ϕm) → (F, ϕ) при m → ∞.

Совокупность всех указанных функционалов (обобщенных функций) обозначается символом S .

§7. Пространство S обобщенных функций

489

ЛЕММА 7.1. Пусть F – линейный функционал на пространстве S. Предположим, что существуют постоян-

ная C и конечный набор пар чисел (l1, k1), . . ., (lm, km), для которых при любой ϕ S выполнено

m

|(F, ϕ)| ≤ C

sup(1 + |x|lj ) |ϕ(kj)(x)|.

(1)

x

j=1

Тогда функционал F непрерывен в топологии S.

Доказательство. Так как F есть линейный функционал,

то

(F, ϕn) − (F, ϕ) = (F, ϕn − ϕ).

Пользуясь условием (1) отсюда находим

m

|(F, ϕn) − (F, ϕ)| ≤ C sup(1 + |x|lj ) |(ϕn − ϕ)(kj)(x)| =

x

j=1

m

= C sup(1 + |x|lj ) |ϕ(kj)(x) − ϕ(kj)(x)|.

x

j=1

Если ϕn → ϕ в топологии пространства S, то правая часть стремится к 0, а потому

(F, ϕn) − (F, ϕ) → 0 при

n → ∞.

Лемма доказана.

 

7.2.Кусочно непрерывные функции как обобщенные

Пусть F (x) – кусочно непрерывная на (−∞, +∞) комплекснозначная функция, для которой при некотором l ≥ 0 выполнено

|F (x)| ≤ C (1 + |x|l),

(2)

где C – постоянная, не зависящая от x.

Если ϕ S, то функция F (x)ϕ(x) убывает при |x| → ∞, причем для любого m ≥ 0 имеем

|F (x)ϕ(x)| ≤ C (1 + |x|l) |ϕ(x)| =

= C (1 + x

l)(1 + x

m)

|ϕ(x)|

≤

1 + |x|m

| |

| |

 

490

 

 

 

 

 

Глава 19. Преобразование Фурье

 

 

 

C (1 + x

l+m)

|ϕ(x)|

 

 

 

 

≤

1 + |x|m ≤

 

 

 

1

| |

 

 

 

≤

C1

 

sup(1 + |x|l+m) |ϕ(x)| =

C2(m)

 

 

 

 

.

1 + x

m

1 + x

m

 

| |

 

x

 

 

 

| |

 

 

Отсюда следует, что произведение F (x)ϕ(x) интегрируемо по (−∞, +∞) для любой ϕ S, и мы можем определить на S функционал

+∞

 

(F, ϕ) = F (x)ϕ(x) dx.

(3)

−∞

Очевидна линейность функционала (3). Проверим его непре-

рывность. Воспользуемся леммой 7.1. Имеем

| ≤

|

 

|

 

 

 

 

 

 

 

 

≤

|

 

| |

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

(F, ϕ) =

+∞F (x)ϕ(x) dx

 

+∞ F (x) ϕ(x) dx

 

 

 

−∞

 

 

 

 

 

 

 

−∞

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

+

∞

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

(в силу

(2)) ≤ C

(1 + |x|l)(1 + |x|2) |ϕ(x)| dx =

 

 

 

 

 

 

 

−∞

 

 

 

 

 

 

 

 

 

+∞

 

 

 

ϕ x)

 

 

 

 

+∞

 

 

ϕ(x)

= C

(1 + |x|l)

|

( |

dx ≤ C1

 

(1 + |x|l+2)

| |

dx ≤

1

+ |x|2

1 + |x|2

−∞

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

−∞

 

 

 

 

 

 

 

 

+∞

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

≤ C1

 

 

dx

 

sup(1x

+ |x|l+2) |ϕ(x)| =

 

 

 

 

 

 

 

1 + |x|2

 

 

 

−∞

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

=

π C

 

sup(1 +

x

l+2) ϕ(x) ,

 

 

 

 

 

 

 

 

1

x

 

|

|

|

|

 

что и требуется.

Таким образом, функционал (3) определяет обобщенную функцию над S. Данную функцию будем обозначать той же буквой F .

Задача. Могут ли две различные кусочно гладкие функции F1(x) и F2(x), удовлетворяющие предположению (2), определять один и тот же функционал над S. (Ответ: могут, если, например, они отличаются значениями в конечном числе точек.)

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]
Помощь Обратная связь Вопросы и предложения Пользовательское соглашение Политика конфиденциальности