Доказательство. Фиксируем произвольно t0 [c, d]. Нам нужно доказать, что
1
b
− a
b
a
b
lim
[
f(x, t)dx
f(x, t
)dx] =
f (x, t
)dx
t→t0
t − t0
a
0
t
0
или
a
b
lim
f(x, t) − f(x, t0)
dx =
t→t0
t − t0
b
ft(x, t0)dx.
a
В соответствии с теоремой 3.1. предыдущего пункта, нам достаточно установить, что разностное отношение
f(x, t) − f(x, t0)
t − t0
стремится равномерно по x на [a, b] при t → t0 к ft(x, t0). Фиксируя x [a, b] и рассматривая f(x, t) как функцию параметра t на [t0, t], на основании теоремы Лагранжа имеем
Поскольку ft(x, t) равномерно непрерывна на прямоугольнике [a, b] × [c, d], то для любого ε > 0 можно найти δ(ε) > 0 такое, что для всех (x, t1), (x, t2) для которых |t1 − t2| < δ
выполнено
|ft(x, t1) − ft(x, t2)| < ε,
в частности,
|ft(x, ξx) − ft(x, t0)| < ε.
Это означает равномерную сходимость на [a, b] нашего разностного отношения к ft(x, t0) при t → t0. Пользуясь теоремой 3.1 получаем нужное.
ПРИМЕР 1 (Контрпример к формуле Лейбница). Покажем, что в условиях теоремы нельзя отказаться от непрерывности ft(x, t) как функции двух переменных. Рассмотрим функцию
f(x, t) =
t3
exp
{−0,
t2
}
, x > 0
2
x
0, x =
x
432
Глава 17. Интегралы, зависящие от параметра
заданную в квадрате [0, 1] × [0, 1]. Ее производная равна
ft(x, t) =
3xt22 e−tx2
2xt34 e−tx2 , x > 0,
0, x = 0−
непрерывна по каждой переменной в отдельности, однако терпит разрыв в точке (0, 0) по совокупности переменных (проверьте!). Для всех t [0, 1] имеем (проверьте!)
1
Φ(t) = f(x, t)dx = te−t2
0
и, следовательно,
Φ (t) = e−t2 (1 − 2t2)
для всех t [0, 1]. Если t = 0, то (проверьте!)
1
ft(x, t)dx = e−t2 (1 − 2t2).
0
Если же t = 0, то принимая во внимание, что ft(x, 0) = 0. Следовательно
1
Φ (0) = 1, ft(x, 0)dx = 0.
0
§5. Обобщенная формула Лейбница (случай, когда пределы интегрирования зависят от параметра)
ТЕОРЕМА 5.1. Пусть f(x, t) – определена и непрерывна как функция двух переменных в прямоугольнике [a, b] ×
Функция Φ1(t) непрерывна по следствию теоремы о непрерывности интеграла по параметру. Для доказательства непрерывности Φ(t) достаточно установить непрерывность Φ2(t), Φ3(t) в точке t0. Мы имеем:
β(t)
|f(x, t)dx| ≤ M|β(t) − β(t0)|,
β(t0)
где
M = max |f(x, t)|.
[a,b]×[c,d]
Следовательно из непрерывности β(t) в точке t0 следует непрерывность Φ2(t) в этой точке. Аналогично проверяется непрерывность функции Φ3(t), а именно, данное свойство сразу следует из неравенства
α(t)
|f(x, t)dx| ≤ M|α(t) − α(t0)|.
α(t0)
Поскольку Φ1(t), Φ2(t), Φ3(t) непрерывны в t0, то то же самое верно и для Φ(t).
ТЕОРЕМА 5.2. Пусть выполнены условия теоремы 5.1 и, кроме того, существуют производные α (t), β (t) и
Доказательство. Прежде всего отметим, что поскольку f(x, t) непрерывна по совокупности переменных, то каждый из интегралов, стоящих в круглых скобках, является функцией,
§6. Интегрирование интеграла, зависящего от параметра
435
непрерывной по соответствующему параметру. Это вытекает из теоремы о непрерывности интеграла по параметру. Пусть τ [c, d]— произвольное число. Покажем, что справедливо более общее равенство
τ
b f(x, t)dx dt =
b τ
f(x, t)dt dx.
(2)
c
a
a
c
Положим
a b f(x, t)dx = Φ(t).
Поскольку Φ(t) непрерывна на [c, d], то
τ
Φ(t)dt
= Φ(τ) = b f(x, τ)dx.
(3)
c
τ
a
Обозначим через
Ψ(x, τ) = τ
f(x, t)dt.
c
Функция Ψ(x, τ) непрерывна по x для всех τ [c, d] и ее
производная
Ψτ (x, τ) = f(x, τ)
– непрерывна в прямоугольнике, как функция двух переменных. Поэтому на основании теоремы о дифференцировании под знаком интеграла (правило Лейбница), имеем
d
b
b
b
a
Ψ(x, τ)dx = a
Ψτ (x, τ)dx = a
f(x, τ)dx.
(4)
dτ
Из (3), (4) заключаем, что
τ
d
b
d
c Φ(t)dt =
a
Ψ(x, τ)dx.
dτ
dτ
Следовательно, для всех τ [c, d]
выполнено
τ
Φ(t)dt = b Ψ(x, τ)dx + const.
(5)
ca
436
Глава 17. Интегралы, зависящие от параметра
Поскольку при τ = c каждый из интегралов в (5) равен нулю, то и const = 0. Тем самым
τ b
Φ(t)dt = Ψ(x, τ)dx.
ca
подставляя в данное равенство значения функций Φ и Ψ, убеждаемся в справедливости (2).
ЗАМЕЧАНИЕ (об обозначениях). Обозначим
b d
f(x, y)dy dx ≡
b
dx d f(x, y)dy.
a
c
a
c
Используя данное обозначение, равенство (1) можно переписать в виде
d b b d
dt f(x, t)dx = dx f(x, t)dt.
c a a c
Данные интегралы принято называть повторными интегралами.
Глава 18
Несобственные интегралы, зависящие от параметра
§1. Понятие равномерной сходимости несобственного интеграла по бесконечному промежутку
Пусть f(x, y) — функция двух переменных, определенная на декартовом произведении [a, ∞) × Y, т. е для любого фиксированного x [a, ∞) ее областью определения как функции переменной y является множество Y, и для любого фиксированного y Y ее областью определения как функции переменной x является [a, ∞). Предположим, что при каждом y Y существует несобственный интеграл
I(y) = ∞f(x, y)dx,
(1)
a
т.е.
I(y) = lim F (A, y),
A→∞
где
F (A, y) = A f(x, y)dx.
(2)
a
Обратим внимание, что интеграл F (A, y) является функцией от A и y, причем при любом фиксированном y и A → ∞ имеет пределом I(y).
ОПРЕДЕЛЕНИЕ 1.1. Говорят, что несобственный интеграл (1) сходится равномерно на множестве Y (относительно параметра y), если для любого ε > 0 существует такое A0,
0
0
ye−xydx = lim
A→∞
ye−xydx =
∞
A
имеем
xy = t,
dt = ydx,
0
Покажем, что данный несобственный интеграл сходится для всех y [0, ∞). Действительно, полагая
(3)
A
ПРИМЕР 1. Рассмотрим интеграл
∞
ye−xydx.
∞
f(x, y)dx < ε.
ЗАМЕЧАНИЕ. Несобственный интеграл (1) сходится равномерно на множестве Y тогда и только тогда, когда для любого ε > 0 существует такое A0, что для всех A > A0 и любого y Y выполнено
Иначе, если стремление F (A, y) к I(y) при A → ∞ происходит равномерно относительно y в области Y, то интеграл I(y) называют равномерно сходящимся на Y.
a
a
f(x, y)dx −
A
что для всех A > A0 и любого y Y выполнено
∞
f(x, y)dx < ε.
438
Глава 18. Несобственные интегралы, зависящие от параметра
Ay
lim
e−tdt = lim [
−
e−t]
Ay
=
= A→∞
A→∞
0
0
при
= lim
[1
−
e−Ay] =
1,
y > 0,
A→∞
0,
при
y = 0.
Отметим попутно следующий достаточно интересный факт.
Функция
при
I(y) =
1,
y > 0,
0,
при
y = 0,
может быть задана единой формулой
∞
I(y) = ye−xydx,
0
§1. Понятие равномерной сходимости несобственного интеграла
439
т.е. одна и та же функция I(y) оказывается заданной с помощью двух разных выражений.
Покажем, что несобственный интеграл (3) сходится равномерно на любом полуинтервале [ε0, ∞), где ε0 > 0 — фиксированное число. Отметим, что
A
F (A, y) = ye−xydx = (1 − e−Ay).
0
Требуется доказать, что F (A, y)
стремится равномерно на
[ε0, ∞) к функции
I(y) =
1,
при
y > 0,
0,
при
y = 0.
Зададим произвольно ε > 0 и будем искать A(ε) такое, чтобы для любых A > A(ε) и y [ε0, ∞) было выполнено
|F (A, y) − I(y)| < ε,
или
|1 − e−Ay − 1| = e−Ay < ε.
Поскольку функция e−Ay монотонно убывает при возрастании y, то для справедливости последнего неравенства достаточно чтобы было выполнено
e−Aε0 < ε.
Отсюда находим A(ε), такое, что
−Aε0 < lnε,
или
1
Aε0 > lnε,
что эквивалентно
A > 1 ln1. ε0 ε
Таким образом можно выбрать число
A(ε) = 1 ln1. ε0 ε
Тем самым равномерная сходимость несобственного интеграла (3) на [ε0, ∞) доказана.
Покажем, что несобственный интеграл (3) сходится неравномерно на всяком отрезке [0, ε] и, следовательно, сходится неравномерно на всем промежутке [0, ∞).
440
Глава 18. Несобственные интегралы, зависящие от параметра
Предположим противное, т.е. F (A, y) → I(y) равномерно на [0, ε] при A → ∞. Поскольку все F (A, y) непрерывны по y на [0, ε], то предельная функция I(y) должна оказаться непрерывной на [0, ε]. В результате получили противоречие.
§2. Критерий Коши и достаточный признак равномерной сходимости несобственного интеграла
ТЕОРЕМА 2.1 (критерий Коши). Для того чтобы несобственный интеграл
∞
I(y) = a
f(x, y)dx
(1)
сходился равномерно на множестве Y
необходимо и до-
статочно чтобы для любого ε > 0 существовало A(ε)
такое, что для всех A , A
> A(ε) и всех y Y было
выполнено
A f(x, y)dx
< ε.
A
Доказательство. Равномерная сходимость интеграла (1) на Y эквивалентна равномерной сходимости на Y функции
A
F (A, y) = f(x, y)dx
a
при A → ∞. Применяя критерий Коши равномерной сходимости семейства функций, зависящих от параметра, и пользуясь равенством
