Добавил:
Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз: Предмет: Файл:

Лосев-КлячинМиклюков МА в КИ

.pdf
Скачиваний:
344
Добавлен:
27.05.2015
Размер:
3.66 Mб
Скачать

ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ

ВОЛГОГРАДСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ

А.А. КЛЯЧИН, А.Г. ЛОСЕВ, В.М. МИКЛЮКОВ

МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ

В КРАТКОМ ИЗЛОЖЕНИИ

Учебное пособие для студентов и преподавателей

Волгоград 2009

УДК 517.1 ББК 22.161.0я73

К

Данная работа является объектом авторского права и находится под охраной Закона РФ "Об авторском праве и смежных правах". Использование данной работы или любой ее части без ссылок на авторов запрещается. Нарушители авторских прав авторов настоящей работы могут быть подвергнуты административному или уголовному преследованию в порядке ст. 7.12 КоАП РФ (Нарушение авторских и смежных прав). Защита авторских прав осуществляется силами коллектива студентов юридического факультета Волгоградского государственного университета.

Рецензенты:

доктор физико-математических наук Е.А.Щербаков; кандидат физико-математических наук А.Ю. Игумнов.

Клячин А.А., Лосев А.Г., Миклюков В.М. Математический анализ в кратком изложении: Учеб-

ное пособие. – Волгоград: Изд-во ВолГУ, 2009.– 750 с.

Настоящее пособие составлено в соответствии с программой курса "Математический анализ" — важнейшего базового курса, целью изучения которого является закладка фундамента математического образования. Пособие содержит основные понятия и факты, изучаемые на первых курсах специальностей "Математика", "Прикладная математика и информатика", "Математическое обеспечение и администрирование информационных сетей", "Физика", "Математические методы в экономике", а также других специальностей, предполагающих углубленное изучение математики.

c А.А. Клячин, А.Г. Лосев, В.М. Миклюков, 2009

Содержание

Предисловие

15

1

Предел последовательности

16

 

§1

Множества и операции над ними . . . . . . . .

16

 

§2

Множества на числовой прямой . . . . . . . .

18

 

§3

Понятия последовательности и ее предела . . .

23

 

§4

Простейшие свойства

26

 

 

предела последовательности . . . . . . . . . . .

 

§5

Предельный переход и неравенства . . . . . . .

28

 

§6

Бесконечно малые

29

 

 

и бесконечно большие последовательности . .

 

§7

Предельный переход

32

 

 

и арифметические операции . . . . . . . . . . .

 

§8

Некоторые часто встречающиеся

35

 

 

последовательности . . . . . . . . . . . . . . .

 

§9

Монотонные последовательности . . . . . . . .

38

 

§10

Принцип вложенных отрезков . . . . . . . . .

40

 

§11

Число "e". Натуральные логарифмы . . . . .

41

 

§12

Подпоследовательности. Частичные пределы по-

44

 

 

следовательности . . . . . . . . . . . . . . . . .

 

§13

Критерий Коши . . . . . . . . . . . . . . . . .

47

2

Предел функции

49

 

§1

Понятие функции . . . . . . . . . . . . . . . .

49

 

§2

Некоторые функции одной переменной . . . .

53

 

§3

Точные грани, максимум и минимум функции

57

 

§4

Пределы функции по Коши и по Гейне . . . .

58

 

§5

Первый "замечательный" предел . . . . . . . .

60

 

§6

Простейшие свойства предела функции.

62

 

 

Односторонние пределы . . . . . . . . . . . . .

 

§7

Монотонные функции . . . . . . . . . . . . . .

65

 

§8

Второй "замечательный" предел . . . . . . . .

66

 

§9

Критерий Коши существования

68

 

 

предела функции . . . . . . . . . . . . . . . . .

4

 

Содержание

3

Непрерывные функции

70

 

и их свойства

 

§1

Непрерывность и разрывы функции . . . . . .

70

 

§2

Условие непрерывности и точки разрыва

72

 

 

монотонной функции . . . . . . . . . . . . . . .

 

§3

Непрерывность обратной функции . . . . . . .

73

 

§4

Теорема об обращении функции в нуль . . . .

74

 

§5

Теорема о промежуточном значении . . . . . .

76

 

§6

Существование максимума и минимума

77

 

 

непрерывной функции . . . . . . . . . . . . . .

 

§7

Понятие равномерной непрерывности . . . . .

78

 

§8

Теорема Кантора . . . . . . . . . . . . . . . . .

79

 

§9

Обобщения понятия предела функции . . . . .

80

 

§10

Асимптоты . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

82

 

§11

Асимптотические формулы. Классификация бес-

83

 

 

конечно малых . . . . . . . . . . . . . . . . . .

 

§12

Элементарные функции . . . . . . . . . . . . .

88

4

Производная

91

 

§1

Понятие производной . . . . . . . . . . . . . .

91

 

§2

Примеры вычисления производных . . . . . .

95

 

§3

Производная обратной функции . . . . . . . .

97

 

§4

Производные обратных тригонометрических

98

 

 

функций . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

 

§5

Дифференцируемость и непрерывность . . . .

99

 

§6

Правила вычисления производных . . . . . . .

101

 

§7

Производная сложной функции . . . . . . . . .

103

 

§8

Производные высших порядков.

103

 

 

Формула Лейбница . . . . . . . . . . . . . . . .

 

§9

Производная функции, заданной в параметри-

106

 

 

ческом виде. Логарифмическая производная .

 

§10

Дифференциал . . . . . . . . . . . . . . . . . .

108

 

§11

Дифференциалы высших порядков. Инвариант-

110

 

 

ность формы первого дифференциала . . . . .

5 Основные теоремы дифференциального исчис-

 

ления

113

 

§1

Необходимое условие локального экстремума .

113

 

§2

Условие обращения в нуль производной

115

 

 

(теорема Ролля) . . . . . . . . . . . . . . . . .

 

§3

Первая теорема "о среднем" дифференциаль-

117

 

 

ного исчисления (формула Лагранжа) . . . . .

 

§4

Некоторые следствия из формулы Лагранжа .

118

4.1Условия постоянства функции . . . . . 118

4.2Условия монотонности функции . . . . 118

4.3

Условие Липшица . . . . . . . . . . . .

119

§5 Вторая разность . . . . . . . . . . . . . . . . .

119

Содержание

 

5

§6 Вторая теорема "о среднем" дифференциаль-

121

ного исчисления (формула Коши) . . . . . . .

§7 Теорема Дарбу . . . . . . . . . . . . . . . . . .

122

§8 Правила Лопиталя . . . . . . . . . . . . . . . .

123

8.1

Раскрытие неопределенностей вида 00 .

123

8.2Раскрытие неопределенностей вида . 126

8.3Раскрытие неопределенностей других видов . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 128

§9 Приближенное вычисление корней уравнений . 129

9.1Метод итераций . . . . . . . . . . . . . . 129

9.2Метод касательных . . . . . . . . . . . . 132

 

9.3

Метод хорд . . . . . . . . . . . . . . . .

133

6 Формула Тейлора

134

§1

Производные многочлена

134

§2

и его разложение по степеням . . . . . . . . . .

Формула Тейлора с остаточным членом

 

вформе Пеано . . . . . . . . . . . . . . . . . . 135 §3 Формула Тейлора с остаточным членом

вформе Лагранжа и в форме Коши . . . . . . 138 §4 Примеры разложения функций по формуле

Маклорена. Использование в приближенных вычислениях . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 140

§5 Приложения формулы Тейлора к

 

 

исследованию графиков функций . . . . . . .

141

7

Выпуклые функции

143

 

§1

Понятие выпуклой функции . . . . . . . . . .

143

 

§2

Простейшие свойства выпуклых функций . . .

144

 

§3

Условия выпуклости . . . . . . . . . . . . . . .

146

 

§4

Неравенство Иенсена . . . . . . . . . . . . . . .

149

 

§5

Замечания о построении графика функции . .

150

8

Неопределенный интеграл

151

 

§1

Понятие неопределенного интеграла . . . . . .

151

 

§2

Замена переменной

153

 

§3

в неопределенном интеграле . . . . . . . . . . .

 

Интегрирование по частям . . . . . . . . . . .

154

 

§4

Простые дроби и их интегрирование . . . . . .

157

 

§5

Разложение правильных дробей на простые . .

158

 

§6

Интегрирование дробно-линейных

162

 

§7

иррациональностей . . . . . . . . . . . . . . .

 

Подстановки Эйлера . . . . . . . . . . . . . .

164

 

§8

Интегрирование тригонометрических

168

 

§9

выражений. Универсальная подстановка . . .

 

Замечания об эллиптических интегралах . . .

169

 

§10

Биномиальные дифференциалы.

170

 

 

Теорема Чебышева . . . . . . . . . . . . . . . .

6

 

 

Содержание

 

§11

Метод Остроградского выделения

173

 

 

рациональной части интеграла . . . . . . . . .

9

Определенный интеграл

177

 

§1

Понятие определенного интеграла . . . . . . .

177

 

§2

Геометрический смысл определенного

178

 

 

интеграла . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

 

§3

Физический смысл определенного интеграла .

179

 

§4

Пример неинтегрируемой по Риману функции

181

 

§5

Ограниченность интегрируемых по Риману

181

 

 

функций . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

 

§6

Понятие несобственного интеграла . . . . . . .

182

 

§7

Суммы Дарбу, их геометрический смысл.

183

 

 

Верхний и нижний интегралы Дарбу . . . . .

 

§8

Теорема Дарбу . . . . . . . . . . . . . . . . . .

186

 

§9

Критерий интегрируемости функции

189

 

 

по Риману . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

 

§10

Классы интегрируемых функций . . . . . . . .

190

 

 

10.1

Интегрируемость непрерывных функций

190

 

 

10.2

Интегрируемость кусочно-непрерывных

191

 

 

 

функций . . . . . . . . . . . . . . . . . .

 

 

10.3

Интегрируемость монотонных функций

192

10

Свойства интегрируемых функций

193

 

§1

Свойства определенного интеграла . . . . . . .

193

 

 

1.1

Аддитивность определенного интеграла

193

 

 

1.2

Интеграл по ориентированному отрезку

194

 

§2

Оценки интегралов . . . . . . . . . . . . . . . .

196

 

§3

Теорема о среднем . . . . . . . . . . . . . . . .

199

 

§4

Обобщенная теорема о среднем . . . . . . . . .

200

 

§5

Определенный интеграл с переменным

201

 

 

верхним пределом . . . . . . . . . . . . . . . .

5.1Непрерывность по верхнему пределу . . 201

5.2Дифференцируемость по переменному верхнему пределу . . . . . . . . . . . . . 202

5.3Интегрируемая по Риману функция, не

имеющая первообразной . . . . . . . . . . . . . . 203

5.4Неинтегрируемая по Риману функция, имеющая первообразную . . . . . . . . . . . . . . 204

§6 Связь определенного интеграла с неопределен-

204

ным. Формула Ньютона – Лейбница . . . . . .

§7 Замена переменной в определенном интеграле

205

§8 Интегрирование по частям в определенном

207

интеграле . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

§9 Формула Валлиса . . . . . . . . . . . . . . . . .

207

Содержание

7

§10 Приближенные методы вычисления

209

определенного интеграла . . . . . . . . . . . .

10.1 Формула прямоугольников . . . . . . .

210

10.2Формула трапеций . . . . . . . . . . . . 212

10.3 Формула парабол (формула Симпсона)

214

11 Приложения определенного интеграла

216

§1 Кривые и дуги . . . . . . . . . . . . . . . . . .

216

1.1Уравнения касательной и нормали к кривой . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 218

1.2Длина дуги . . . . . . . . . . . . . . . . 219

1.3Вычисление длины дуги в декартовых координатах . . . . . . . . . . . . . . . . 221

1.4Длина непараметрической дуги . . . . . 223

 

1.5

Длина дуги в полярных координатах .

223

§2

Площадь криволинейной трапеции . . . . . . .

225

§3

Площадь криволинейного сектора . . . . . . .

227

§4

Фигуры вращения . . . . . . . . . . . . . . . .

230

§5 Поверхности вращения . . . . . . . . . . . . . .

232

§6

Некоторые приложения из механики . . . . . .

233

 

6.1

Масса неоднородного стержня . . . . .

233

 

6.2

Центр тяжести неоднородного стержня

234

6.3Работа переменной силы . . . . . . . . . 235

12 Функции нескольких переменных

237

§1

Евклидово пространство Rn. Неравенства

237

 

Коши и Минковского . . . . . . . . . . . . . . .

§2

Топология пространства Rn . . . . . . . . . . .

239

§3

Ограниченные множества. Теорема Больцано –

 

 

Вейерштрасса. Критерий Коши сходимости

243

 

последовательности . . . . . . . . . . . . . . .

§4

Предел и непрерывность функции нескольких

244

 

переменных . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

§5

Повторные пределы . . . . . . . . . . . . . . .

246

§6

Основные свойства непрерывных функций

249

 

нескольких переменных . . . . . . . . . . . . .

§7

Понятие области. Теорема об обращении

250

 

функции в нуль . . . . . . . . . . . . . . . . . .

§8

Частные производные . . . . . . . . . . . . . .

251

§9

Полный дифференциал . . . . . . . . . . . . .

252

§10

Условия существования полного

254

 

дифференциала . . . . . . . . . . . . . . . . . .

§11

Равенство смешанных производных. Конечно-

 

 

разностная аппроксимация частных производ-

256

 

ных второго порядка . . . . . . . . . . . . . . .

§12

Частные производные сложной функции . . .

258

8

Содержание

§13 Полный дифференциал сложной функции. Инвариантность формы первого дифференциала . . . . . . . . . . . . . . . . . . 261

§14 Дифференциалы высшего порядка . . . . . . . 262 §15 Однородные функции. Формула Эйлера . . . . 263 §16 Производная по направлению и градиент . . . 264 §17 Формула Тейлора для функций нескольких пе-

ременных . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 267 §18 Необходимые условия локального экстремума

функции нескольких переменных . . . . . . . . 269 §19 Достаточные условия локального экстремума функции нескольких переменных . . . . . . . . . . . 270

§20 Линии уровня функции двух переменных и их свойства . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 276

§21 Теорема о неявной функции . . . . . . . . . . . 281 §22 Понятие об условном экстремуме. Правило неопре-

деленных множителей Лагранжа . . . . . . . . 284

13 Числовые ряды

288

§1

Понятие числового ряда . . . . . . . . . . . . .

288

§2

Простейшие теоремы о числовых рядах . . . .

290

§3

Критерий Коши для числовых рядов . . . . .

292

§4

Теоремы сравнения . . . . . . . . . . . . . . . .

295

§5

Ряды с неотрицательными членами . . . . . .

298

§6

Интегральный признак сходимости . . . . . . .

304

§7

Признаки сходимости Коши и Даламбера . . .

307

§8

Теорема Лейбница. Абсолютная

312

 

и неабсолютная сходимость . . . . . . . . . . .

§9

Арифметические операции над рядами . . . .

316

§10

Умножение рядов . . . . . . . . . . . . . . . . .

317

§11

Теорема Римана . . . . . . . . . . . . . . . . .

320

§12

Перестановки абсолютно сходящихся рядов . .

324

§13

Повторные и двойные ряды . . . . . . . . . . .

326

§14

Ряды векторов . . . . . . . . . . . . . . . . . .

328

§15

Бесконечные произведения . . . . . . . . . . .

330

14 Функциональные последовательности и ряды 332

§1 Равномерная сходимость функциональных по-

332

следовательностей и функциональных рядов .

§2 Признаки равномерной сходимости

 

функциональных последовательностей

335

и функциональных рядов . . . . . . . . . . . .

§3 Критерий Коши равномерной сходимости

 

функциональной последовательности

338

и функционального ряда . . . . . . . . . . . .

§4 Непрерывность суммы функционального ряда

339

§5 Теорема Дини . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

341

Содержание

9

§6

Перестановка предельных переходов

343

§7

в равномерно сходящейся последовательности

Равномерная сходимость и интегрирование . .

345

§8

Равномерная сходимость

347

§9

и дифференцирование . . . . . . . . . . . . . .

Степенные ряды . . . . . . . . . . . . . . . . .

349

§10

Свойства степенных рядов . . . . . . . . . . .

351

§11

Аналитические функции вещественного

353

§12

переменного . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Ряды Тейлора и Маклорена. Условие предста-

 

 

вимости бесконечно дифференцируемой

354

§13

функции рядом Маклорена или Тейлора . . .

Разложения функций ex, sin x, cos x в ряд Ма-

357

§14

клорена . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Разложение функции y = arctgx в ряд Маклорена360

§15

Разложение функции y = ln(1 + x)

361

§16

в ряд Маклорена . . . . . . . . . . . . . . . . .

Биномиальный ряд . . . . . . . . . . . . . . . .

362

§17 Формула Стирлинга . . . . . . . . . . . . . . .

364

15 Несобственные интегралы

368

§1

Несобственные интегралы с бесконечными

368

§2

пределами интегрирования . . . . . . . . . . .

Несобственные интегралы от неограниченных

 

 

функций. Критерий Коши сходимости

372

§3

несобственных интегралов . . . . . . . . . . . .

Абсолютная сходимость несобственного

374

§4

интеграла . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Условная сходимость

378

§5

несобственного интеграла . . . . . . . . . . . .

Главное значение несобственного интеграла . .

380

16 Ряды Фурье

383

§1

Ортонормированные системы функций . . . .

383

§2

Система Уолша . . . . . . . . . . . . . . . . .

385

§3

Понятие ряда Фурье по ортонормированной си-

387

§4

стеме функций . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Свойство минимальности отрезков ряда

 

 

Фурье. Неравенство Бесселя. Сходимость

389

§5

"в среднем". Равенство Парсеваля . . . . . . .

Интеграл Дирихле . . . . . . . . . . . . . . . .

392

§6

Теорема о локализации . . . . . . . . . . . . .

396

§7

Представление 2π-периодической функции

398

§8

рядом Фурье . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Представление функции рядом Фурье

402

§9

на отрезке [−π, π] . . . . . . . . . . . . . . . . .

Представление функции рядом Фурье

404

 

на произвольном отрезке . . . . . . . . . . . .

10

Содержание

§10

Теорема Фейера . . . . . . . . . . . . . . . . . .

405

§11

Полнота тригонометрической

409

§12

системы функций . . . . . . . . . . . . . . . . .

Связь между алгебраическими

 

 

и тригонометрическими многочленами.

411

§13

Многочлены Чебышева . . . . . . . . . . . . .

Теорема Вейерштрасса (о равномерном

 

 

приближении непрерывной функции

412

§14

многочленами) . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Другие доказательства

413

§15

теоремы Вейерштрасса. . . . . . . . . . . . . .

Замкнутость тригонометрической

415

§16

системы функций. . . . . . . . . . . . . . . . .

Комплексная форма записи ряда Фурье . . . .

418

§17

Дифференцирование и интегрирование рядов Фу-

 

рье . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

420

17 Интегралы, зависящие от параметра

424

§1

Семейства функций, зависящих от параметра

424

§2

Перестановка предельных переходов в семей-

427

§3

ствах функций, зависящих от параметра . . .

Предельный переход под знаком интеграла . .

429

§4

Дифференцирование под знаком интеграла . .

430

§5

Обобщенная формула Лейбница

 

 

(случай, когда пределы интегрирования

 

§6

зависят от параметра) . . . . . . . . . . . . . .

432

Интегрирование интеграла, зависящего

434

 

от параметра . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

18 Несобственные интегралы, зависящие от параметра 437

§1 Понятие равномерной сходимости несобственного интеграла по бесконечному промежутку . 437

§2 Критерий Коши и достаточный признак равномерной сходимости несобственного интеграла . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 440

§3 Понятие равномерной сходимости интегралов с конечными пределами . . . . . . . . . . . . . . 441

§4 Предельный переход по параметру под знаком несобственного интеграла . . . . . . . . . . . . 443

§5 Интегрируемость несобственного интеграла по параметру (случай конечных пределов интегрирования) . . . . . . . . . . . . . . . . . 447

§6 Интегрирование несобственного интеграла по параметру (случай бесконечного предела интегрирования) . . . . . . . . . . . . . . . . . 449

§7 Дифференцирование несобственного интеграла по параметру . . . . . . . . . . . . . 451

Тут вы можете оставить комментарий к выбранному абзацу или сообщить об ошибке.

Оставленные комментарии видны всем.