Лосев-КлячинМиклюков МА в КИ

ПРИМЕР 1. Рассмотрим правильную дробь

x4 + x2 + 2x + 1. x4(x + 1)2

Множители x и (x + 1) входят в знаменатель дроби соответственно в степенях 4 и 2. Поэтому, если разложение данной дроби на сумму простых дробей существует, то знаменатели этих дробей могут иметь вид x4, x3, x2, x, (x + 1)2, (x + 1) и никакой другой. Поскольку множители x и (x + 1) линейны, а не квадратичны, числители соответствующих им дробей являются постоянными. Следовательно, по теореме 5.1 существуют такие числа A, B, C, D, E, F , что дробь равна

A B C D E F x4 + x3 + x2 + x + (x + 1)2 + x + 1.

Эти коэффициенты мы пока не знаем — они являются неопределенными. Приводя к общему знаменателю, получаем

x4 + x2 + 2x + 1 = x4(x + 1)2

= A(x + 1)2 + B(x + 1)2x + C(x + 1)2x2 + D(x + 1)2x3 + Ex4 + F x4(x + 1). x4(x + 1)2

Приравнивая числители, находим

x4 + x2 + 2x + 1 =

= (D + F )x5 + (C + 2D + E + F )x4 + (B + 2C + D)x3+ +(A + 2B + C)x2 + (2A + B)x + A.

Отсюда получаем следующую систему уравнений

D + F = 0

C + 2D + E + F = 1B + 2C + D = 0

A + 2B + C = 1

2A + B = 2A = 1

Решая эту систему, находим A = 1, B = 0, C = 0, D = 0, E = 1 и F = 0. Таким образом, получаем разложение

ПРИМЕР 2. Пусть дана правильная дробь

2x3

x4 − 1

итребуется разложить ее на сумму простейших. Мы имеем

Далее,

2x3 = (A+B+C)x3 +(A−B+D)x2 +(A+B−C)x+A−B−D

и

Решая данную систему, находим A = B = 1/2, C = 1, D = 0. Следовательно,

УПРАЖНЕНИЕ 1. Представить в виде суммы простых дробей следующие дроби

ac = db , n – целое положительное и R(ξ, η) – рациональная функция двух переменных (т.е. отношение двух многочленов от двух переменных).

Поскольку композиция рациональных функций является, опять же, рациональной функцией, то интеграл в правой части есть интеграл от рациональной дроби.

УПРАЖНЕНИЕ 1. Самостоятельно рассмотреть случай

Далее необходимо вернуться к переменной x (сделайте это самостоятельно!).

Пусть m – общий знаменатель чисел r1, ..., rs. Тогда ri = mpi (pi – целое). Выполним замену переменной

tm = axcx ++ db.

– рациональная функция переменной t. Таким образом, вычисление данного интеграла также сводится к интегрированию рациональных дробей.

ПРИМЕР 2. (2129) Возьмем интеграл

√dx√ . x + 3 x

Сделаем подстановку x = t6. Тогда dx = 6t5 dt и, далее,

§7. Подстановки Эйлера

где R(x, t) – рациональная функция переменных x и t.

Предполагается, что многочлен ax2 + bx + c ≥ 0 не имеет равных корней, поскольку в противном случае имеем ранее изученный случай.

I-я подстановка. Пусть a ≥ 0. Следуя теории Эйлера, по-

нее).

Возводя обе части равенства в квадрат, находим

Тем самым, интеграл (1) преобразуется к интегралу от рациональной функции.

III-я подстановка. Пусть

a x2 + b x + c = a(x − λ)(x − µ),

где λ и µ – вещественные числа. Положим

a x2 + b x + c = t (x − λ).

Тогда

a x2 + b x + c = t2 (x − λ)2

и

a (x − λ)(x − µ) = t2 (x − λ)2,

a x2 + b x + c = a (λ − µ) t. t2 − a

Тем самым, интеграл (1) также преобразуется к интералу от рациональной функции.

Покажем, что I-й и III-й подстановок достаточно для свeдения интеграла (1) к интегралу от рациональной функции во всех 3-х случаях.

Действительно, если a x2 + b x + c имеет вещественные корни, то выполняется подстановка III, если же вещественных корней нет, то D = b2 − 4a c < 0 и потому

a x2 + b x + c = 41a(4a2 x2 + 4a b x + 4a c) = = 41a (2a x + b)2 + (4a c − b2) > 0.

Выражение в квадратных скобках положительно и потому a > 0. Следовательно, возможна I-я подстановка.

Итак, доказана

ТЕОРЕМА 7.1. Интегралы вида (1) посредством под-

становок Эйлера3сводятся к интегралам от рациональной функции и потому всегда выражаются в элементарных функциях.

ПРИМЕР 1. Возьмем интеграл

3Эйлер Леонард (15.4.1707-18.9.1783) – математик, физик, механик и астроном. Род. в Швейцарии. Работал в Петербурге, Берлине. Автор более 865 исследований.

и

t2 − t + 1 = t2(4A + 2B) + t(−4A − B + C) + A.

Тем самым, приходим к системе

4A + 2B = 1,

−4A − B + C = −1, A = 1,

Сравнить результат с табличным интегралом.

§8. Интегрирование тригонометрических выражений. Универсальная подстановка

Изучим интеграл

где R(u, v) — рациональная функция двух переменных. Сделаем подстановку

Тогда имеем

2 dt x = 2 arctg t, dx = 1 + t2 .

Таким образом, приходим к утверждению.

ТЕОРЕМА 8.1. Интегралы вида (1) с помощью универсальной подстановки t = tg(x/2) приводятся к интегралам от рациональной функции и, следовательно, берутся в элементарных функциях.

Далее работаем методом неопределенных коэффициентов. А можно поступить проще. Именно,

Вывод. Универсальная подстановка (как и вс¨е универсальное!) бывает неоптимальной.

§9. Замечания об эллиптических интегралах

Интегралы вида

R(x, a x3 + b x2 + c x + d) dx,

где R(u, v) – рациональная функция двух переменных, называются эллиптическими. Они возникают, в частности, в связи с вычислением длины дуги эллипса. Как правило, данные интегралы в элементарных функциях не выражаются. В специальных случаях, когда интегралы вида (1) берутся в элементарных функциях, эти интегралы называются псевдоэллиптическими.

ТЕОРЕМА 9.1. Все эллиптические интегралы с помощью элементарных подстановок и с точностью до слагаемых, выражающихся в элементарных функциях, приводятся к следующим тр¨ем стандартным интегралам