Лосев-КлячинМиклюков МА в КИ

Из теоремы о связи односторонних пределов с двусторонними следует, что функция f непрерывна в x0 тогда и только тогда, когда она в этой точке непрерывна и справа и слева.

ОПРЕДЕЛЕНИЕ 1.3. Функция называется непрерывной на множестве E R, если она непрерывна в каждой точке сгущения, принадлежащей E. В противном случае функция называется разрывной.

ТЕОРЕМА 1.1. Если f(x) и g(x) – непрерывные функции на множестве E, то функции

f(x) ± g(x), f(x) · g(x)

также непрерывны. Если, кроме того, g(x) = 0, то непрерывна и функция f(x)/g(x).

Доказательство непосредственно cледует из теорем о пределе суммы, разности, произведения, частного двух функций.

ТЕОРЕМА 1.2 (о непрерывности сложной функции). Предположим, что определена сложная функция y = f(g(x)). Тогда, если t = g(x) непрерывна в x0, а функция y = f(t) непрерывна в точке t0 = g(x0), то сложная функция y = f(g(x)) непрерывна в точке x0.

Доказательство. Зададим произвольно ε > 0. Т.к. f непре-

рывна в точке t0, то δ1(ε) > 0 : t, |t − t0| < δ1(ε) выполнено

Так как g(x) непрерывна в точке x0, то по

δ1(ε) > 0 δ2 = δ2(δ1(ε)) > 0 : x, |x − x0| < δ2(δ1(ε))

выполнено

|t − t0| = |g(x) − g(x0)| < δ1(ε).

В силу (1) величина δ2 является искомой.

ЗАМЕЧАНИЕ. Из доказательства теоремы видно, что для непрерывной функции f(t) и произвольной g(x) справедливо равенство

lim f(g(x)) = f( lim g(x)).

Пусть y = f(x) – функция, определенная на отрезке [x0, x0 + ε], где ε > 0 – некоторое число. Для того чтобы f(x) была непрерывна справа, необходимо и достаточно, чтобы

1) lim f(x),

x→x0+0

2) этот предел равен f(x0).

Отсюда ясно, при каких обстоятельствах в точке x0 появляются разрывы. Мы введем следующие понятия.

ОПРЕДЕЛЕНИЕ 1.4. Если lim f(x) существует, но не

x→x0+0

равен f(x0), то говорят, что f(x) имеет справа в точке x0 разрыв I-го рода. В этом случае говорят также, что f(x) имеет справа скачок, равный по величине |f(x0 + 0) − f(x0)|.

Если lim f(x) не существует, то говорят, что f(x) имеет

x→x0+0

при x = x0 cправа разрыв II-го рода. Классификация разрывов слева аналогична.

Пусть y = f(x) определена всюду на интервале (a, b) за исключением точки x0 (a, b). В этом случае точку x0 называют особой точкой (или особенностью) функции.

ОПРЕДЕЛЕНИЕ 1.5. Точка x0 называется устранимой

особой точкой f(x), если lim f(x). Точка x0 называется

x→x0

существенно особой, если lim f(x) не существует.

x→x0

ЗАМЕЧАНИЕ. В случае, если x0 – устранимая особая точка, то функцию f(x) можно доопределить (по непрерывно-

сти) в точке x0, положив по определению f(x0) = lim f(x).

x→x0

После этого функция станет непрерывной в x0.

УПРАЖНЕНИЕ 1. Построить график функции y = sin(1/x) и определить тип особой точки.

УПРАЖНЕНИЕ 2. Доопределить по непрерывности функцию y = (sin x)/x в точке x = 0.

§2. Условие непрерывности и точки разрыва монотонной функции

Пусть y = f(x) – монотонная на отрезке [a, b] функция. Как было доказано ранее, в каждой точке x0 [a, b] существуют односторонние пределы.

ТЕОРЕМА 2.1. Всякая монотонная на отрезке [a, b] функция y = f(x) может иметь лишь разрывы I-го рода. В частности, если f(x) принимает все без исключения значения между f(a) и f(b), то f(x) непрерывна на отрезке [a, b].

Доказательство. В параграфе "Монотонные функции" предыдущей главы установлено, что у всякой монотонной функции в каждой точке интервала существуют односторонние пределы справа и слева (в точках a и b, соответственно, пределы справа и слева). Отсюда сразу следует, что разрывы у y = f(x) могут быть лишь I-го рода.

Далее будем считать, что функция y = f(x) принимает все без исключения значения между f(a) и f(b). Предположим, что y = f(x) имеет в x0 разрыв, например, слева. Это означает, что

lim f(x) = f(x0).

x→x0−0

Но поскольку функция является неубывающей, то x ≤ x0 выполнено

f(x) ≤ lim f(x)

x→x0−0

и x ≥ x0 выполнено

f(x) ≥ f(x0) > lim f(x).

x→x0−0

УПРАЖНЕНИЕ 1. Выясните, почему последнее неравенство строгое?

Следовательно, ни одно из значений между f(x0) и пределом f(x) при x → x0 − 0 функция не принимает. Получили противоречие.

§3. Непрерывность обратной функции

ТЕОРЕМА 3.1. Пусть y = f(x) – монотонно возрастающая (убывающая) на отрезке [a, b] функция, принимающая все значения между A = f(a) и B = f(b). Тогда существует однозначная обратная функция x = g(y), также монотонно возрастающая (убывающая) и непрерывная на отрезке [A, B].

Доказательство. Рассмотрим случай возрастающей функции (для убывающей — доказательство аналогично). Cуществование обратной к f(x) однозначной функции x = g(y) очевидно, поскольку всякая прямая y = C (C [f(a), f(b)]) пересекает график функции не более чем в одной точке (это следует из монотонности), т.е. каждому y [A, B] можно поставить в соответствие x [a, b] (и притом единственным образом) такое, что f(x) = y.

74 Глава 3. Непрерывные функции и их свойства

Докажем возрастание обратной функции. По y , y [A, B], y > y , получим x = g(y ) и x = g(y ). Тогда выполнено

f(x ) = y > y = f(x )

и, так как функция y = f(x) возрастает, то x > x . Так как g(y) принимает все значения между a и b , то она непрерывна по теореме 2.1 предыдущего пункта.

§4. Теорема об обращении функции в нуль

ТЕОРЕМА 4.1 (первая теорема Больцано-Коши).

Пусть f непрерывна на [a, b] и на концах отрезка принимает значения разных знаков. Тогда между a и b обязательно найдется точка c, в которой функция обращается в нуль, т.е.

c (a < c < b) : f(c) = 0.

Доказательство. Пусть f(a) < 0, f(b) > 0. Разделим [a, b]

функция будет принимать значения разных знаков. Обозначим этот промежуток через [a1, b1]. Аналогично, делим этот отрезок пополам. Получим точку (a1+b1)/2. Выберем из двух полученных отрезков тот, на концах которого функция принимает значения разных знаков. Обозначим его [a2, b2]. И так далее. На n-м шаге получим отрезок [an, bn]. Причем,

b − a f(an) < 0, f(bn) > 0, bn − an = 2n .

(Проверьте, почему выполнено f(an) < 0, f(bn) > 0?) Найденная последовательность отрезков является вложен-

ной, причем

lim (bn − an) = 0.

n→∞

По теореме о вложенных отрезках существует точка c [a, b]

такая, что lim bn = lim an = c. Покажем, что точка c —

n→∞ n→∞

искомая. Функция f(x) непрерывна на [a, b] и, в частности, непрерывна в точке c. Поэтому мы имеем

76 Глава 3. Непрерывные функции и их свойства

Таким образом, найдутся точки A и B, A < B, такие, что f(A) < 0, f(B) > 0. Поскольку f непрерывна на [A, B], найдется точка c [A, B], в которой f(c) = 0.

ТЕОРЕМА 4.2. Пусть y = f(x) – непрерывная в точке x0 функция, причем f(x0) > 0. Тогда в некоторой окрестности этой точки выполнено f(x) > 0.

Доказательство. По ε = f(2x0) найдем δ = δ(ε) > 0 такое, что для любых x, таких, что |x − x0| < δ, выполнено

|f(x) − f(x0)| < f(x0).

2

Следовательно, справедливо неравенство f(x) > f(2x0) , доказывающее утверждение теоремы.

УПРАЖНЕНИЕ 2. Постройте пример, показывающий, что условие непрерывности в теореме является существенным.

§5. Теорема о промежуточном значении

ТЕОРЕМА 5.1 (вторая теорема Больцано-Коши).

Предположим, что функция f определена и непрерывна в некотором промежутке X R (замкнутом или нет, конечном или бесконечном). Если в двух точках x = a и x = b, a = b, этого промежутка функция принимает значения f(a) = A и f(b) = B, A = B, то для любого C между A и B найдется точка x = c, в которой f(c) = C.

Доказательство. Будем считать, например, что a < b и, соответственно, A < B. Возьмем произвольное C такое, что A < C < B. Рассмотрим на [a, b] функцию ϕ(x) = f(x) − C. Имеем

ϕ(a) = f(a)−C = A−C < 0 и ϕ(b) = f(b)−C = B−C > 0.

Таким образом, по первой теореме Больцано-Коши, найдется точка c (a, b) такая, что ϕ(c) = 0, т.е. f(c) = C.

§6. Существование максимума и минимума непрерывной функции

замкнутом множестве X R, то она ограничена и достигает на этом множестве своих точной верхней и точной нижней граней.

Доказательство. Покажем сначала, что функция y = f(x) ограничена. Предположим противное. Пусть, например, она не ограничена сверху. Тогда для любого n = 1, 2, 3, ... найдется точка xn X такая, что f(xn) ≥ n. Так как последовательность {xn} ограничена, то (по теореме БольцаноВейерштрасса) из нее можно извлечь сходящуюся к некоторой точке x0 подпоследовательность {xnk }. Так как множество X замкнуто, то x0 X. Из непрерывности функции f(x) следует, что f(xnk ) → f(x0). Это противоречит тому, что f(xnk ) ≥ nk. Покажем теперь, что функция достигает своих точных граней, например, точной верхней грани. Так как функция f(x) ограничена, то существует ее точная верхняя грань A = supx X f(x). По определению точной верхней грани для любого n = 1, 2, 3, ... найдется такая точка xn X, для которой

Так как последовательность {xn} ограничена, то из нее можно извлечь сходящуюся к некоторой точке x подпоследовательность {xnk }. Так как множество X замкнуто, то x X. Из непрерывности функции f(x) следует, что f(xnk ) → f(x ). С другой стороны из неравенства (1) следует, что

lim f(xnk ) = A.

k→∞

Следовательно, f(x ) = A. Что и требовалось показать.

Покажем на примерах, что ни от одного из условий теоремы (непрерывность функции, ограниченность и замкнутость множества) нельзя отказаться без нарушения утверждения теоремы.

ПРИМЕР 1. Функция y = arctgx непрерывна и определена на замкнутом, но неограниченном множестве (−∞, +∞). Эта функция не достигает ни точной верхней грани π/2, ни точной нижней грани −π/2.

78 Глава 3. Непрерывные функции и их свойства

ПРИМЕР 2. Непрерывная функция y = x, определенная на ограниченном, но не замкнутом множестве (0, 1) не имеет ни максимума, ни минимума.

ПРИМЕР 3. Функция

определена на замкнутом отрезке. Однако, ни в одной точке этого отрезка она не принимает ни значения 0 (точная нижняя грань), ни значения 1 (точная верхняя грань).

§7. Понятие равномерной непрерывности

Предположим, что функция y = f(x) определена на некотором множестве X R.

ОПРЕДЕЛЕНИЕ 7.1. Функция y = f(x) называется равномерно непрерывной на множестве X, если

ε > 0 найдется δ(ε) > 0 : x , x X, |x − x | < δ(ε),

выполнено |f(x ) − f(x )| < " .

Ясно, что всякая равномерно непрерывная функция непрерывна.

ПРИМЕР 1. Покажем, что непрерывная на (0, 1] функция y = x1 не является равномерно непрерывной. Предположим противное, т.е. по ε > 0 найдется

1 1

δ(ε) > 0 : | x − x | < ε ,

как только |x − x | < δ("). Положим x = a, x = a + δ/2, где a (0, 1] – произвольно. Тогда

Перемещая точку a вдоль полуинтервала (0, 1], видим, что при a, достаточно близких к нулю (например a = δ/2, где δ - достаточно мало), данное неравенство нарушается. Противоречие.

Отметим, что функция не является равномерно непрерыв-

ной тогда и только тогда, когда

ε > 0: δ > 0 xδ, xδ X, |xδ − xδ | < δ, такие, что |f(xδ) − f(xδ )| ≥ ".

ОПРЕДЕЛЕНИЕ 7.2. Говорят, что функция y = f(x) удо-

влетворяет на множестве X R условию Липшица1 с постоянной A > 0, если x , x X выполнено

|f(x ) − f(x )| ≤ A |x − x |.

Говорят, что функция y = f(x) удовлетворяет на множестве

X R условию Гельдера2 с постоянной A > 0 и показателем α (0, 1], если x , x X выполнено

|f(x ) − f(x )| ≤ A |x − x |α.

ТЕОРЕМА 7.1. Всякая функция, удовлетворяющая условию Гельдера на некотором множестве X R, является равномерно непрерывной на этом множестве.

Доказательство. Достаточно положить

δ(") = A" 1/α .

УПРАЖНЕНИЕ 1. Предположим, что функция y = f(x) удовлетворяет на промежутке a, b условию Гельдера с показателем α > 1. Покажите, что функция f постоянна на этом промежутке.

УПРАЖНЕНИЕ 2. Привести пример функции, удовлетворяющей на [0, 1] условию Гельдера, но не удовлетворяющей условию Липшица.

§8. Теорема Кантора

ТЕОРЕМА 8.1 (Кантора3). Если функция y = f(x)

определена и непрерывна на замкнутом ограниченном множестве X R, то она равномерно непрерывна на этом множестве.

1Липшиц Рудольф (14.5.1832-7.10.1903) – математик, профессор Бреславльского (1862) и Боннского (1884) университетов. Основные работы посвящены различным областям анализа, теории чисел, механики и физики, дифференциальным уравнениям

2Г¨ельдер Отто Людвиг (22.12.1859-29.8.1937). Род. в Штутгарте (Германия). Основные труды относятся к алгебре, математическому анализу, теории чисел, основаниям математики.

3Кантор Георг (3.3.1845-6.1.1918). Род. в Петербурге (Россия). В 1867г. окончил Берлинский университет. В 1872 - 1913 – профессор университета в Галле. Один из основоположников теории множеств.

80 Глава 3. Непрерывные функции и их свойства

вательность {xn}. Поэтому из последовательности {xn} можно извлечь подпоследовательность {xnk } сходящуюся к некоторой точке a. Точка a является предельной точкой множества X и, в силу замкнутости множества X, точка a X.

ЗАМЕЧАНИЕ. Покажем, что условия теоремы (ограниченность, замкнутость множества X, непрерывность функции f(x)) являются существенными для справедливости теоремы.

1)Непрерывность функции существенна, поскольку никакая разрывная функция не может быть равномерно непрерывной.

2)Функция y = x1 определена и непрерывна на полуинтер-

вале (0, 1], но не равномерно непрерывна. Данный полуинтервал ограничен, но не замкнут.

3) Рассмотрим функцию y = x2, определенную на замкнутом, но неограниченном множестве (−∞, +∞). Покажем, что

эта функция не равномерно непрерывна. Выбирая x = x, x = x + h, имеем (x + h)2 − x2 = (2x + h)h. Ясно, что

при фиксированном h эта величина может быть сколь угодно большой при достаточно больших x. Это противоречит условию равномерной непрерывности.

§9. Обобщения понятия предела функции

Напомним, что расширенной числовой прямой называется множество

R = R {+∞} {−∞}.

Пусть ε > 0 – произвольное число. Под ε-окрестностью точек +∞ и −∞ далее понимаются множества:

{x R : x > ε} – окрестность +∞, {x R : x < −ε} – окрестность −∞.