Лосев-КлячинМиклюков МА в КИ

УПРАЖНЕНИЕ 4. Сформулировать, что означает неограниченность сверху (снизу) множества A.

ОПРЕДЕЛЕНИЕ 2.4. Множество A R называется ограниченным, если существует M R такое, что a A выполнено |a| ≤ M.

ОПРЕДЕЛЕНИЕ 2.5. Множество A неограничено, если

для любой постоянной M R найдется число a A такое, что |a | > M.

УПРАЖНЕНИЕ 5. Доказать, что множество A ограничено тогда и только тогда, когда оно ограничено и сверху, и снизу.

ПРИМЕР 3. Множество A = {x R : x ≥ 5} является ограниченным снизу и неограниченным сверху, и, следовательно, является неограниченным.

ОПРЕДЕЛЕНИЕ 2.6. Наименьшее из чисел, ограничивающих множество A сверху, называется его точной верхней гранью (supremum, "супремум" от латинского "наивысшее"). Наибольшее из чисел, ограничивающих множество A снизу, называется точной нижней гранью множества A (infimum, "инфимум" от латинского "наинизшее"). Обозначения:

sup a = sup A

a A

– точная верхняя грань,

inf a = inf A

a A

– точная нижняя грань.

На "языке" неравенств последнее определение записывается в следующем виде:

Говорят, что число a R является точной верхней (точной нижней) гранью множества A, если:

УПРАЖНЕНИЕ 6. Доказать, что если множество имеет максимальный (минимальный) элемент, то этот же элемент и является точной верхней (точной нижней) гранью данного множества.

ТЕОРЕМА 2.1 (о существовании точных граней).

Всякое непустое, ограниченное сверху (снизу) множество имеет точную верхнюю (нижнюю) грань и притом единственную.

Доказательство. Поскольку минимальный элемент в множестве является единственным (см. упражнение выше), нам достаточно показать, что ограниченное сверху множество действительных чисел A имеет точную верхнюю грань. Рассмотрим два множества: первое – само множество A, второе – множество M его верхних граней. Оба эти множества не пусты. По определению верхней грани для любой пары элементов a A, m M выполнено a ≤ m. Следовательно, данная пара множеств A и M удовлетворяет условиям аксиомы полноты, и поэтому существует вещественное число c R : a ≤ c ≤ m a A, m M. Элемент c M, поскольку он является верхней гранью для A. Элемент c является наименьшим в множестве M. Тем самым по определению точной верхней грани: c = sup a.

a A

УПРАЖНЕНИЕ 7. Привести доказательство существования точной нижней грани.

ОПРЕДЕЛЕНИЕ 2.7. Пусть a R – некоторая точка. Зададим произвольно положительное число ε > 0. Множество

(a − ε, a + ε) = {x R : |x − a| < ε}

называется ε-окрестностью точки a.

Иногда ε-окрестность точки a будем обозначать Uε(a).

ОПРЕДЕЛЕНИЕ 2.8. Пусть A R – произвольное множество. Точка x0 R называется точкой сгущения множества A (или предельной точкой множества A), если всякая е¨ ε-окрестность содержит точку a A, a = x0. Другими словами,

ε > 0 a A : a = x0, |a − x0| < ε.

Подчеркнем, что точка сгущения множества A может как принадлежать множеству A, так и не принадлежать ему.

ПРИМЕР 4. Пусть A = [0; 1) – полуинтервал. Множество точек сгущения есть отрезок [0; 1].

ПРИМЕР 5. A = [0; 1) 2. Множество точек сгущения есть отрезок [0; 1].

ОПРЕДЕЛЕНИЕ 2.9. Множество A R называется открытым в R, если всякая точка a A содержится в A вместе с некоторой своей окрестностью.

ЗАМЕЧАНИЕ. Пустое множество считают открытым по определению.

ПРИМЕР 6. Пусть A = (0; 1) (1; 3). Множество A – открытое.

ОПРЕДЕЛЕНИЕ 2.10. Множество A R называется замкнутым в R, если оно содержит все свои точки сгущения.

ЗАМЕЧАНИЕ. Можно доказать (обязательно попробуйте!), что только два множества являются одновременно и замкнутым и открытым в R – это пустое множество и вся числовая прямая R.

Удобно расширить числовую прямую R, добавив к ней два “идеальных” элемента −∞ и +∞. При этом мы имеем

(−∞, +∞) = R

и

R = R {+ ∞} {− ∞}.

Запись x R означает, что либо x R, либо x является символом +∞, либо x является символом −∞. Дальнейшие обозначения:

(a; +∞) = {x R : a < x},

[a; +∞) = {x R : a ≤ x},

(−∞; a) = {x R : x < a},

(−∞; a] = {x R : x ≤ a}.

Пусть ε – произвольное число. Множества (ε; +∞) и (−∞; ε) называются ε-окрестностями точек +∞ и −∞ соответственно.

§3. Понятия последовательности и ее предела

ОПРЕДЕЛЕНИЕ 3.1. Говорят, что задана числовая последовательность {an}+n=∞k (часто обозначают {an}), если каждому натуральному числу n ≥ k поставлено в соответствие некоторое вещественное число an.

ПРИМЕР 1. {n1 }+n=1∞ = 1, 12 , 13 , . . . , n1 , . . . .

ПРИМЕР 2. {(−1)n}+n=2∞ = 1, −1, 1, . . . , (−1)n, . . . . ПРИМЕР 3. {1 + (−1)2n}+n=10∞ = 2, 2, 2, 2, . . . , 2, . . . .

ЗАМЕЧАНИЕ. Не всегда для данной последовательности можно указать явную формулу, задающую выражение для общего члена an через порядковый номер n. Например, еще Евклид3 доказал, что простых чисел бесконечно много. Тем самым, за каждым простым числом имеется следующее, т.е. простые числа образуют последовательность. Однако формулы, выражающей общий член этой последовательности через номер n, до сих пор не найдено.

ОПРЕДЕЛЕНИЕ 3.2. Говорят, что последовательность {an}+n=∞k задается рекуррентной формулой, если известно правило, с помощью которого общий член этой последовательности {an} выражается через предыдущие члены, т.е.

an = f(an−1, an−2, . . . , an−p), p ≤ n − k.

ПРИМЕР 4. an = an−1 + an−2. Ясно, что для задания всей последовательности {an} необходимо задать еще a1 и a2.

УПРАЖНЕНИЕ 1. Пусть an+1 = 0, 3an−1 − 1, 4a2n + 1. Попробуйте проследить на компьютере (или калькуляторе) за поведением этой последовательности.

ПРИМЕР 5. При вычислениях на ЭВМ очень часто используются рекуррентные последовательности вида: an+1 = f(an). Ясно, что для задания всей последовательности необходимо задать один член, например, a1. Эти последовательности называются итерационными.

ОПРЕДЕЛЕНИЕ 3.3. Пусть

{an}+n=1∞ = a1, a2, . . . , an, . . .

– произвольная последовательность и a R – некоторое число. Будем говорить, что a есть предел последовательности

3Евклид (ок. 365– ок. 300 до н.э.) – древнегреческий математик, автор первых дошедших до нас теоретических трактатов по математике. Род. в Афинах. Научная деятельность протекала в Александрии, где он создал математическую школу. Главный труд Евклида ("Начала") содержит изложение планиметрии, стереометрии, ряда вопросов теории чисел, алгебры, общей теории отношений, метода определений площадей и объемов, включающего метод исчерпывания.

(или {an} → a) и говорят, что последовательность {an} стремится к a, либо, что последовательность {an} сходится к a.

Неравенство |an − a| < ε означает, что все an расположены в ε-окрестности точки a. Поэтому определение предела последовательности {an} может быть переформулировано следующим образом:

ОПРЕДЕЛЕНИЕ 3.4. Говорят, что a есть предел последовательности {an}∞n=1, если всякая ε-окрестность точки a содержит все члены этой последовательности, начиная с некоторого номера (см. рисунок ниже).

Данное неравенство в точном виде мы решить не можем. (Алгебраистами доказано, что общей формулы для корней уравнения выше четвертой степени в природе не существует, а в получающемся конкретном уравении может быть и можно найти корни точно, но как именно мы не знаем.) Поэтому поступим следующим образом:

ЗАМЕЧАНИЕ. Безусловно, найденное число N(ε) оказалось больше, чем то, которое мы нашли бы, решив неравенство (1). Однако, в определении предела точного значения N(ε) не требуется.

Сформулируем, что означает выражение “число a не является пределом последовательности {an}∞n=1 при n → ∞”:

ε0 > 0 такое, что N R n(N) > N, для которого

|an(N) − a| ≥ ε0.

ПРИМЕР 7. Проверим, что последовательность

{an} = {(−1)n}∞n=1

не имеет пределом число 1. Выберем ε0 = 1. Тогда какое бы N мы ни брали, всегда найдется нечетное n > N, для которого

|(−1)n − 1| = |2| ≥ 1.

§4. Простейшие свойства предела последовательности

ТЕОРЕМА 4.1. Никакая последовательность не может иметь двух неравных между собой пределов.

Доказательство. Предположим противное, т.е. существуют

Из (2), по определению предела, следует существование N2(ε0) такого, что n > N2(ε0) выполнено

Положим N(ε0) = max{N1(ε0), N2(ε0)} . Тогда при n > N(ε0) неравенства (3) и (4) выполняются одновременно. Поэтому

|a −a | = |a −an + an −a | ≤ |a −an|+ |an −a | < 23|a −a |.

Противоречие.

ОПРЕДЕЛЕНИЕ 4.1. Последовательность {an}∞n=1 называется ограниченной, если существует число M такое, что

|an| ≤ M n = 1, 2, . . .

ТЕОРЕМА 4.2. Всякая сходящаяся последовательность ограничена.

Доказательство. Пусть {an} – произвольная сходящаяся последовательность и пусть a – ее предел. По ε = 1 найдется N(1) такое, что n > N(1) выполнено |an − a| < 1. Тогда

|an| − |a| ≤ ||an| − |a|| ≤ |an − a| < 1.

Отсюда следует

Положим L = max{|a1|, |a2|, . . . , |ak|}, где k – наибольшее целое число, меньшее либо равное N(1). Тогда для любого n = 1, 2, . . . выполнено

Действительно, если n ≤ N(1), то |an| ≤ L и, следовательно, выполнено (6). Если n > N(1), то справедливо соотношение

(5) и, следовательно, соотношение (6).

УПРАЖНЕНИЕ 1. Описать неограниченные (неограниченные сверху, снизу) последовательности {an}. Привести примеры таких последовательностей. Привести пример расходящейся (т.е. не имеющей предела), но ограниченной последовательности.

§5. Предельный переход и неравенства

ТЕОРЕМА 5.1. Пусть {an}∞n=1 и {bn}∞n=1 – произвольные последовательности, сходящиеся к a и b соответственно. Предположим, что

an → a при n → ∞, то по ε1 = 2ε > 0 найдется N1(ε1) такое, что |an − a| < ε1 n > N1(ε1). В частности выполнено

Аналогично, т.к. bn → b при n → ∞, то по ε1 = 2ε > 0 суще-

Пусть N = max{N1(ε1), N2(ε1)}. Тогда при всех n > N неравенства (3) и (4) выполняются одновременно. Поэтому в силу

неравенств (1), (3) и (4) имеем:

a < an + ε1 ≤ bn + ε1 < b + 2ε1 = b + ε,

т.е. a < b + ε для любого ε > 0. Ясно, что данное свойство справедливо тогда и только тогда, когда a ≤ b (докажите это самостоятельно!).

УПРАЖНЕНИЕ 1. Выяснить остается ли теорема 5.1 верной, если каждое из неравенств заменить строгим, т.е. из an < bn следует ли a < b.

ТЕОРЕМА 5.2 (теорема об устойчивости неравенств). Пусть {an}∞n=1 и {bn}∞n=1 – произвольные после-

довательности, сходящиеся к a и b соответственно. Тогда, если a < b, то N такое, что

Доказательство. Выберем ε > 0 столь малым, чтобы ε-ок- рестности Uε(a), Uε(b) точек a и b не пересекались. Ясно, что

Пусть N = max{N1(ε), N2(ε)}. Тогда при n > N одновременно выполняются оба неравенства (7) и (8). Поэтому при

n > N из (6) выводим an < bn. Т.е. неравенство (5) действительно справедливо.

ТЕОРЕМА 5.3 (принцип "сжатой" последовательности). Пусть {an}∞n=1 и {bn}∞n=1 – последовательности,

сходящиеся к одному и тому же числу a. Предположим, что для третьей последовательности {cn}∞n=1 выполнено

Тогда последовательность {cn} сходится, и притом к числу a.

Доказательство. Покажем, что предел {cn} существует и равен a. Зададим произвольно ε > 0 и обозначим через Uε(a) ε-окрестность точки a. Т.к. {an} cходится к a, то существует N1(ε) : n > N1(ε) выполнено

При любом n > N = max{N1(ε), N2(ε)} свойства (10) и (11) выполняются одновременно. Пользуясь соотношением (9), заключаем, что при n > N выполнено

−ε < an − a ≤ cn − a ≤ bn − a < ε, т.е. cn Uε(a) n > N,

т.е. последовательность {cn} сходится к a.

§6. Бесконечно малые и бесконечно большие последовательности

ОПРЕДЕЛЕНИЕ 6.1. Говорят, что последовательность {αn}∞n=1 является бесконечно малой, если αn → 0 при n → ∞.

ПРИМЕР 1. {n1 }∞n=1– бесконечно малая.

ПРИМЕР 2. {log2(1 + 31n)}∞n=1– бесконечно малая.

ЗАМЕЧАНИЕ. Из определения предела последовательности ясно, что если {αn} бесконечно малая, то последовательность {|αn|} – также бесконечно малая (докажите самостоятельно!).

ТЕОРЕМА 6.1. Если {αn}∞n=1 бесконечно малая и c R, то {cαn}∞n=1 также бесконечно малая.

Доказательство. Если c = 0, то утверждение очевидно. Пусть c = 0. Зададим ε > 0. Так как {αn} – бесконечно малая, то

по

ε

ε1 = |c| > 0 N1(ε1) : n > N1(ε1)

выполнено

ε

|αn| < |c|, т.е. |cαn| < ε.

Следовательно, cαn → 0 при n → ∞.

ТЕОРЕМА 6.2. Пусть даны две последовательности {αn}∞n=1 и {βn}∞n=1, причем |βn| ≤ αn n = 1, 2, . . . . Тогда,

если {αn} – бесконечно малая, то {βn} также бесконечно малая.

Доказательство. Мы имеем

−αn ≤ βn ≤ αn n = 1, 2, . . . .

По теореме 6.1 последовательность {−αn} – бесконечно малая. Пользуясь принципом "сжатой последовательности", получаем нужное.

ТЕОРЕМА 6.3. Пусть даны две последовательности

{αn}∞n=1 и {βn}∞n=1, из которых {αn} – ограничена, а {βn}

– бесконечно малая. Тогда их произведение – бесконечно малая последовательность.

Доказательство. Так как {αn} – ограничена, то существует число M такое, что

|αn| ≤ M n = 1, 2, . . . .