Лосев-КлячинМиклюков МА в КИ

7.1Вложения и погружения . . . . . . . . . 610

7.3Ориентация . . . . . . . . . . . . . . . . 613

7.4Поверхности с краем . . . . . . . . . . . 615

7.5Кусочно-гладкие поверхности . . . . . . 618

7.6Теорема о разбиении единицы . . . . . . 619

7.7Доказательство теоремы . . . . . . . . . 622

7.8Следствия . . . . . . . . . . . . . . . . . 625 §8 Внешние формы на поверхности . . . . . . . . 627

8.1Определение формы на поверхности . . 627

8.2Интеграл от формы по поверхности . . 628

8.3Форма объема поверхности . . . . . . . 629

1.1Эквивалентность множеств. Мощность множества . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 634

1.3Мощность континуума . . . . . . . . . . 638

1.4Критерий эквивалентности множеств . 639

1.5Сравнение мощностей . . . . . . . . . . 640

§2 Метрические пространства . . . . . . . . . . . 642

2.1Точки прикосновения. Замыкание . . . 642

2.2Сходимость в метрическом пространстве 645

2.3Плотные подмножества. Сепарабельность 645

2.4Простейшие свойства замкнутых и от-

крытых множеств . . . . . . . . . . . . 646

2.5Строение открытых и замкнутых подмножеств прямой . . . . . . . . . . . . . 648

2.6Канторово множество . . . . . . . . . . 649

2.7Замечания о двоичных дробях . . . . . 651 §3 Покрытия. Размерности. Фракталы . . . . . . 652

3.1Покрытия множеств . . . . . . . . . . . 652

3.2Размерность по Минковскому . . . . . . 658

3.3Мера и размерность по Хаусдорфу. Понятие фрактала . . . . . . . . . . . . . . 659

3.5Ковер Серпинского . . . . . . . . . . . . 662

3.6Фрактальные принципы в литературных текстах . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 663

§4 Полные метрические пространства . . . . . . . 663

4.1Определение и примеры полных метрических пространств . . . . . . . . . . . . 663

4.2Принцип вложенных шаров . . . . . . . 666

4.3Свойства полного метрического простран-

ства . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 667

4.4Пополнение пространства . . . . . . . . 668

4.5Множество R как пополнение множества рациональных чисел . . . . . . . . . . . 671

4.6Принцип "сжатых" отображений . . . . 672

25 Добавление 4. Обработка результатов эксперимента 690

§1 Сплайны . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 690

1.1Понятие сплайна . . . . . . . . . . . . . 690

1.2Интерполяционные эрмитовы сплайны . 692

1.3Кубические интерполяционные сплайны 694

1.4Экстремальные свойства кубических

2.1Дискриминантный анализ . . . . . . . . 699

2.2Кластерный анализ . . . . . . . . . . . . 700

2.3Факторный анализ . . . . . . . . . . . . 700

26 Добавление 5. Практикум вычисления неопре-

28 Добавление 7. Примерная рабочая программа737

Авторский и предметный указатель . . . . . . . . . 747

Предисловие

Предлагаемое учебное пособие готовилось в течение нескольких лет, и в результате первая его часть является третьим изданием, вторая часть - вторым изданием, а последняя издается впервые. Мы попытались в максимально "мягком режиме" дать сжатое изложение введения в анализ, построенное по "концентрическому принципу" и предполагающее обращение к одним и тем же базовым понятиям (функция, производная, интеграл и т.п.) по несколько раз по мере того, как усложняется излагаемый материал. Тем самым существенно расширяется круг потенциальных читателей, которыми могут быть как студенты математического факультета, так и студенты, желающие получить инженерно-техническое и инженерно-экономическое образование.

Как обычно, теоретические тексты снабжены упражнениями, тестирующими уровень усвоения. Вместе с тем некоторые из упражнений требуют от читателя выхода за пределы материала, а в некоторых случаях и даже за пределы математики. Научиться давать мотивированные ответы на недостаточно точно (с точки зрения формальной логики) формулируемые вопросы — важная составная часть университетского математического образования.

Мы снабжаем основной курс математического анализа несколькими добавлениями. Во-первых, это — раздел, посвященный элементам теории множеств и метрических пространств. Для студентов-математиков важно познакомиться (пусть поверхностно!) с данными понятиями как можно ранее, чтобы быть готовым к встрече с (весьма формализованным) функциональным анализом. Студентам нематематических специальностей полезно хотя бы "краем уха" услышать о таких фундаментальных понятиях математики, как "счетные множества", "мощность континуума", "канторовы множества", "фракталы". Во-вторых, это — весьма часто встречающиеся в различных разделах математики неравенства Юнга, Гельдера и Минковского. В третьих, это — раздел, посвященный расходящимся рядам, обвертывающим рядам, разложениям по собственным функциям и вэйвлетам. В четвертых, это — раздел, посвященный обработке результатов экспериментов. Также это — практикум по вычислению неопределенных интегралов, полезный при выполнении домашних заданий, примеры и контрпримеры из теории рядов и интегралов, а также примерная рабочая программа курса.

Мы пытались изложить необходимый материал весьма сжато, в частности, широко используя логические символы , , →. Хотя, кажется, не без издержек и иногда в ущерб эстетическим принципам оформления текста. Вместе с тем сделать пособие приемлемым по цене — весьма непростая задача.

Авторы благодарны коллегам по Волгоградскому государственному университету, прочитавшим учебник в рукописи и сделавшим ряд замечаний, способствовавших улучшению текста. Также авторы считают своим долгом выразить благодарность студентам математического факультета ВолГУ, которые своими замечаниями способствовали улучшению качества второго издания пособия.

A ∩ B

B

Объединением (суммой) двух множеств A и B называется

A\B = {x A : и x B}.

Разность между множеством M и содержащимся в нем подмножеством A называют дополнением A в M и обозначают CM A или CA.

УПРАЖНЕНИЕ 1. Докажите следующие соотношения (так называемые правила де Моргана2):

CM (A B) = CM A ∩ CM B,

2Морган де Огастес (27.6.1806–18.3.1871) – шотландский математик и логик. Первый президент Лондонского математического общества. Он был одним из основателей формальной алгебры.

(Здесь и ниже, биографические данные взяты авторами из книги: А.И.Бородин, А.С.Бугай "Биографический словарь деятелей в области математики", К.: Радяньска школа, 1979.)

IV. Аксиома полноты.

Зададим произвольно два непустых множества A и B из R. Если для любых двух элементов a A и b B выполнено a ≤ b, то существует элемент c R такой, что

a ≤ c ≤ b, a A, b B .

ЗАМЕЧАНИЕ. Множество Q всех рациональных чисел удовлетворяет всем перечисленным аксиомам, кроме аксиомы полноты, называемой также аксиомой непрерывности, или аксиомой отделимости.

УПРАЖНЕНИЕ 1. Докажите следующие утверждения:

1.В множестве действительных чисел имеется только один нуль.

2.В множестве действительных чисел у каждого элемента имеется единственный противоположный элемент.

3.В множестве действительных чисел имеется только одна единица.

4.В множестве действительных чисел для каждого x = 0

имеется только один обратный элемент x−1.

Как известно из курса средней школы, множество вещественных чисел R можно отождествить с множеством точек на прямой. Поэтому часто мы будем называть элементы множества R точками, а также прибегать к другой геометрической терминологии.

Если a и b произвольные действительные числа и a < b, то множество

{x R : a < x < b}

называется интервалом (или открытым промежутком) и обозначается символом (a, b). Множество

{x R : a ≤ x ≤ b}

называется отрезком (или замкнутым промежутком) и обозначается [a, b]. Рассматриваются также и полуоткрытые промежутки (полуинтервалы):

[a, b) = {x R : a ≤ x < b};

(a, b] = {x R : a < x ≤ b}.

Всевозможные промежутки (открытые, замкнутые, полуоткрытые) будем обозначать символом a, b . Длиной промежутка a, b называется число, равное b − a.

20 Глава 1. Предел последовательности

ОПРЕДЕЛЕНИЕ 2.1. Пусть A из R (A R) – произвольное множество. Элемент a A называется максимальным или наибольшим (минимальным или наименьшим) элементом в множестве A, если для любого a A выполнено

ЗАМЕЧАНИЕ. Таким образом,

a = max{a}

a A

тогда и только тогда, когда максимальный элемент a A и для всех элементов a A выполнено a ≤ a .

ПРИМЕР 1. Множество [a, b) = {x R : a ≤ x < b} имеет минимальный элемент, равный a, но не имеет максимального элемента.

ОПРЕДЕЛЕНИЕ 2.2. Число |a| = max{a, −a} называется абсолютной величиной (модулем) числа a.

УПРАЖНЕНИЕ 2. Пользуясь аксиомой порядка, доказать, что если в числовом множестве A имеется максимальный (минимальный) элемент, то этот элемент единственный (методом от противного).

УПРАЖНЕНИЕ 3. Доказать следующие свойства абсолютной величины:

a.a R : |a| ≥ 0 и |a| = 0 тогда и только тогда, когда a = 0.

b.|ab| = |a| |b|.

c.|a + b| ≤ |a| + |b| (неравенство треугольника).

d.||a| − |b|| ≤ |a − b|.

e.Пусть ε > 0 – произвольное число. Тогда для любого x R следующие высказывания эквивалентны:

|x| < ε и −ε < x < ε.

ОПРЕДЕЛЕНИЕ 2.3. Говорят, что множество A R ограничено сверху (снизу), если существует число M R такое, что для любого a A выполнено a ≤ M (a ≥ M). Число M называется в этом случае верхней (нижней) гранью множества A.

ПРИМЕР 2. Рассмотрим множество A = [0; 1). Всякое число M ≥ 1 является верхней гранью этого множества, а всякое число M ≤ 0 является нижней гранью множества A.