ями M1 и M2 соответственно. Тогда имеем
V(M2) − V (M1) = (S(M2) − S(M1)) h < ε,
иV (M1) ≤ S h ≤ V (M2).
В пределе получаем нужное.
Попутно мы доказали кубируемость ступенчатых тел, т.е. объединений конечного числа цилиндров, расположенных так, что верхнее основание каждого предыдущего находится в одной плоскости с нижним основанием последующего.
ТЕОРЕМА 4.2. Предположим, что непараметрическая дуга y = f(x) непрерывна на [a, b], а фигура E R3 образована вращением вокруг оси Ox этой дуги и плоскостями x = a, x = b. Фигура E кубируема, причем
b
V (E) = π f2(x) dx.
a
Доказательство. Пусть T = {a = x0 ≤ x1 ≤ . . . ≤ xn = b} –
произвольное разбиение отрезка [a, b] и пусть
mi = inf f(x), |
Mi = sup f(x). |
[xi−1,xi] |
[xi−1,xi] |
При вращении плоских ступенчатых фигур (систем прямоуголь-
ников вида [xi−1, xi]×[0, mi] или
[xi−1, xi]×[0, Mi]) вокруг оси Ox получаем пространственные фи-
гуры, объемы которых суть
n−1 |
n−1 |
i |
|
π |
mi2 ∆xi и π Mi2 ∆xi. |
=0 |
i=0 |
232 |
Глава 11. Приложения определенного интеграла |
Очевидно, это верхняя и нижняя суммы для πf2(x). Предельным переходом приходим к формуле для вычисления соответствующего объема.
§5. Поверхности вращения
Рассмотрим поверхность, полученную вращением графика функции y = f(x), заданной на отрезке [a, b]. Зафиксируем
разбиение Tn = {a = x0 ≤ x1 ≤ . . . ≤ xn = b} отрезка. Соединим в ломаную линию Ln последовательно, одну за другой
точки
A0 = (a, f(a)) = (x0, f(x0)), A1 = (x1, f(x1)), . . . ,
An = (xn, f(xn)) = (b, f(b)).
При вращении Ln вокруг оси Ox получаем поверхность, состоящую из боковых поверхностей усеченных конусов. Пусть Sn – площадь этой поверхности, yi = f(xi), li – длина отрезка
Ai, Ai+1. Тогда
|
n−1 |
yi + yi+1 |
n−1 |
|
|
|
i |
|
Sn = 2π |
2 |
li = π (yi+yi+1) li. |
|
i=0 |
=0 |
|
|
ОПРЕДЕЛЕНИЕ 5.1. Данная поверхность вращения называется квадрируемой, если существует предел S площадей Sn при стремлении к нулю мелкости разбиения Tn.
ТЕОРЕМА 5.1. Предположим, что функция y = f(x) непрерывно дифференцируема на [a, b]. Тогда поверхность, полученная вращением ее графика вокруг оси Ox, квадрируема и ее площадь S вычисляется по формуле
b
S = 2π f(x) 1 + f (x)2 dx.
§6. Некоторые приложения из механики |
233 |
Доказательство. Фиксируем разбиение Tn отрезка [a, b]. Мы имеем
li = (xi+1 − xi)2 + (yi+1 − yi)2,
и, на основании формулы Лагранжа,
yi+1 − yi = f(xi+1) − f(xi) = f (ξi)(xi+1 − xi),
где ξi [xi, xi+1] – некоторая точка. Таким образом,
li = 1 + f 2(ξi) ∆xi.
Площадь Sn поверхности, образованной вращением ломаной Ln вокруг оси Ox, дается выражением
Sn |
= π |
n−1 |
(f(xi) + f(xi+1)) li = |
i |
=0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n |
1 |
f(ξi) 1 + f 2(ξi)∆xi + Rn, |
где |
= 2π i=0− |
n−1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 + f 2(ξi)∆xi. |
Rn = π i=0 (f(xi) + f(xi+1) − 2f(ξi)) |
Функция |
f равномерно непрерывна |
|
на [a, b] и потому |
ε > 0 δ(ε) > 0 такое, что для любого разбиения Tn с мелкостью µ(Tn) < δ(ε) выполнено
|f(xi) − f(ξi)| < ε и |f(xi+1) − f(ξi)| < ε.
Положим |
|
|
|
|
|
|
M |
max |
1 + |
f 2 |
x . |
|
= x [a,b] |
|
( ) |
Тогда
n−1
|Rn| < 2Mπε ∆xi = 2M(b − a)πε
i=0
и Rn → 0 при ε → 0. Тем самым, Sn → S, поверхность вращения квадрируема и теорема доказана. 
§6. Некоторые приложения из механики
6.1.Масса неоднородного стержня
Рассмотрим неоднородный стержень.
234 |
|
|
|
|
Глава 11. Приложения определенного интеграла |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
a |
|
|
|
|
b |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Пусть ρ – плотность распределения массы вдоль отрезка |
[a, b]. Пусть T = {a = x0 ≤ x1 |
≤ . . . ≤ xn = b} – разбиение |
[a, b] |
с мелкостью |
µ(T ) |
|
|
|
|
|
произвольно ξ |
[x |
, x |
i+1 |
] |
и |
|
|
. Выберем n 1 |
|
|
i |
i |
|
|
составим интегральную сумму |
|
|
i=0− |
|
ρ(ξi)∆xi. Каждое слага- |
емое есть приближенное |
значение массы элементарного стерж- |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ня [xi−1, xi]. Для массы M всего стержня имеем |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n−1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
b |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
a |
|
|
|
|
|
|
|
|
M = |
lim |
|
ρ(ξ |
)∆x |
|
= |
ρ(x) dx. |
|
|
|
|
|
|
|
|
µ(T )→0 i=0 |
i |
|
|
|
i |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
6.2.Центр тяжести неоднородного стержня
Дана система материальных точек, имеющих массы mi и расположенных в точках xi [a, b]. Координата xc – центра тяжести данной системы находится по формуле
|
n−1 m |
x |
i |
|
xc = |
i=0 |
|
i |
|
. |
|
n |
1 |
|
|
|
|
i=0− mi |
|
|
Устроим разбиение T = {a = x0 ≤ . . . ≤ xn = b} отрезка [a, b]. Для массы mi элементарного отрезка [xi, xi+1] имеем
xi+1
mi = ρ(x) dx ≈ ρ(ξi)∆xi.
xi
Предполагая, что масса [xi, xi+1] сосредоточена в ξi, получаем
|
|
n−1 |
ρ ξ |
|
x |
|
|
xc ≈ |
i=0 |
ξiM( |
i) ∆ |
i |
, |
|
|
или |
|
a b x ρ(x) dx |
|
|
xc = |
|
|
|
|
|
|
|
. |
|
|
|
b |
|
|
|
|
|
|
|
ρ(x) dx |
|
|
§6. Некоторые приложения из механики |
235 |
6.3.Работа переменной силы
Пусть материальная точка перемещается из точки a в точку b под действием силы F паралельно оси X. Пусть Tn = {a = x0 ≤ x1 ≤ . . . ≤ xn = b} – произвольное разбиение отрезка [a, b], µ(Tn) – мелкость этого разбиения. Работа A, совершаемая силой F , подсчитывается по формуле
n−1
A ≈ F (ξi)∆xi
i=0
или, полагая µ(Tn) → 0,
b
A = F (x) dx.
a
Предположим теперь, что материальная точка движется вдоль непрерывно дифференцируемой кривой γ, описываемой радиус-вектором {r = r(s)}, где s – длина дуги от переменной точки до некоторой фиксированной начальной точки, 0 ≤ s ≤ S (так называемый, натуральный параметр).
Предположим, что на материальную точку действует сила F (s), направленная по касательной к траектории в направлении движения. Зададим разбиение
Tn = {0 = S0 ≤ S1 ≤ . . . ≤ Sn = S}
отрезка [0, S] с мелкостью µ(Tn). Отметим произвольно точки
ξi [Si−1, Si].
Величину F (ξi) ∆Si примем за приближенное значение работы, производимой силой F (s), когда материальная точка проходит участок кривой γ, соответствующий изменению s от Si до Si+1.
Величина |
|
n−1 |
|
|
|
i=0 F (ξi) ∆Si есть интегральная сумма Римана |
для |
разбиения с отмеченными точками T˙ |
n |
и функции F (s). |
|
|
|
|
|
ОПРЕДЕЛЕНИЕ 6.1. Предел W , к которому стремятся |
суммы |
|
n−1 |
F (ξi)∆Si, когда мелкость разбиения µ(Tn) → 0, |
|
|
i=0 |
|
называется работой силы F вдоль кривой γ.
Мы имеем
S
A = F (s) ds.
236 |
Глава 11. Приложения определенного интеграла |
Предположим, что положение точки на траектории ее движения описывается с помощью какого-либо другого параметра t (a ≤ t ≤ b). Пусть S(t) – величина пути, пройденного при изменении параметра t от a до t ≤ b. Выполнив замену переменной s = S(t), находим
b
A = F (S(t)) S (t) dt.
a
Глава 12
Функции нескольких переменных
§1. Евклидово пространство Rn. Неравенства Коши и Минковского
Под n-мерным евклидовым пространством Rn будем понимать множество всевозможных упорядоченных наборов из n вещественных чисел (x1, x2, . . . , xn). Элементы Rn будем называть точками (или векторами) и обозначать
x = (x1, x2, . . . , xn). Нулевой элемент (нуль-вектор или нуль-
точка) обозначается символом 0 = (0, 0, . . . , 0).
# $% &
n
Вмножестве Rn введены операции:
i)для любого x Rn и α R вектор
αx = (α x1, α x2, . . . , α xn) Rn;
ii)для произвольных x, y Rn вектор
x ± y = (x1 ± y1, x2 ± y2, . . . , xn ± yn) Rn.
Данные операции обладают свойствами, превращающими Rn в линейное векторное пространство над полем вещественных чисел R (см. курс линейной алгебры). Кроме того, евклидово пространство Rn обладает следующими свойствами: iii) для любой пары векторов x, y Rn определено скалярное
произведение
n
i=1
iv) для всякого вектора x Rn определена длина вектора
n 1/2
238 Глава 12. Функции нескольких переменных
v) для произвольной пары точек x, y Rn определено расстояние
|x − y| = |
n |
(xi − yi)2 1/2 . |
|
i |
|
|
=1 |
|
|
ТЕОРЕМА 1.1 (неравенство Коши). Для произволь- |
|
ной пары векторов x, y Rn выполнено |
|
|
|
|
n |
2 |
n |
|
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
xiyi |
≤ |
xi2 |
yi2 |
(1) |
|
|
=1 |
|
=1 |
|
|
i=1 |
|
|
|
|
i |
|
i |
|
|
|
|
|
|
или, в эквивалентной форме, |
|
|
|
|
|
|
|
|
| x, y | ≤ |x| |y|. |
|
|
(2) |
Доказательство. Для произвольного t R имеем |
|
|
n |
|
|
n |
|
n |
|
n |
|
|
0 ≤ (t xi + yi)2 = t2 |
xi2 + 2t |
xiyi + yi2 = |
|
=1 |
|
|
i=1 |
|
i=1 |
=1 |
|
|
i |
|
|
|
|
|
i |
|
= t2 |x|2 + 2t x, y + |y|2.
Данный квадратный трехчлен не принимает отрицательных значений и, следовательно, имеет, разве лишь, один единственный вещественный корень. Поэтому дискриминант трехчлена неположителен, т.е.
x, y 2 − |x|2 |y|2 ≤ 0,
и (2) доказано.
ТЕОРЕМА 1.2 (неравенство Минковского1). Для любых двух векторов x, y Rn выполнено
' |
|
|
' |
|
|
+ |
' |
|
|
(3) |
n |
(xi + yi)2 |
n |
(xi)2 |
n |
(yi)2 |
( |
|
( |
|
|
( |
|
|
) |
|
|
) |
|
|
) |
|
|
(i=1 |
|
≤ (i=1 |
|
|
(i=1 |
|
|
или, |
|x + y| ≤ |x| + |y|. |
|
|
|
(4) |
|
|
|
|
|
1Минковский Герман (22.6.1864-12.1.1909). Род. в Алексотах (ныне Каунасский р- н, Литва). Работал в Боннском, Кенигсбергском, Цюрихском, Геттингенском университетах. Автор значительных исследований в теории чисел, геометрии, топологии, математической физике, гидродинамике.
§2. Топология пространства Rn |
239 |
Доказательство. На основании неравенства Коши имеем
n |
xiyi |
' |
|
|
' |
|
|
|
n |
(xi)2 |
n |
(yi)2. |
|
|
( |
( |
|
|
|
|
) |
|
) |
|
|
|
i=1 |
|
≤ (i=1 |
|
(i=1 |
|
|
Отсюда,
n |
n n |
n |
xi2+2 |
xiyi+ yi2 ≤ |
|
'
(( n n x2i ) yi2+ yi2 ,
i=1 i=1 i=1 |
|
i=1 |
|
|
i=1 |
|
i=1 i=1 |
что эквивалентно неравенству |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
n |
|
|
n |
|
|
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
( |
|
|
( |
|
|
(xi + yi)2 |
|
) |
xi2 |
+ |
) |
|
i=1 |
≤ |
(i=1 |
|
|
(i=1 |
|
|
|
Теорема доказана.
СЛЕДСТВИЕ (неравенство треугольника). Для произвольной тройки x, y, z Rn выполнено
|x − y| ≤ |x − z| + |z − y|.
Отметим, что некоторые обобщения неравенств (1) и (3) будут доказаны ниже в Добавлении II.
§2. Топология пространства Rn
Пусть a Rn – произвольная точка и ε > 0 – вещественное число. Множество
Oε(a) = {x Rn : |x − a| < ε}
240 |
Глава 12. Функции нескольких переменных |
называется ε-окрестностью точки a.
Легко видеть, что Oε(a) есть n-мерный шар2 с центром в точке a и радиусом ε.
ОПРЕДЕЛЕНИЕ 2.1. Пусть E Rn – произвольное множество точек. Говорят, что точка x0 Rn является точкой сгущения (предельной точкой) множества E, если всякая ε-окрестность Oε(x0) содержит хотя бы одну точку x E, отличную от x0.
ПРИМЕР 1. Пусть E – множество
{x = (x1, x2) R2 : |x1| < h}
есть полоса ширины 2h без ограничивающих ее сторон. Множество всех точек сгущения — множество
{x = (x1, x2) R2 : |x1| ≤ h}
есть полоса ширины 2h, включая ограничивающие ее стороны.
2без ограничивающей его сферы
