Лосев-КлячинМиклюков МА в КИ

ПРИМЕР 1. Исследуем на сходимость ряд

∞ 1 n=2 (ln n)p .

Если p ≤ 0, то ряд расходится, поскольку нарушено необходимое условие сходимости.

Пусть p > 0. Сравнивая этот ряд с гармоническим рядом, получаем (проверьте!)

По теореме сравнения заключаем, что данный ряд расходится.

ПРИМЕР 2. Исследуем на сходимость ряд

∞ 1

n=2 (ln n)ln n

.

Мы имеем

(ln n)ln n = nln ln n > n2 для достаточно больших n.

Отсюда,

По теореме 5.3 ряд сходится.

ТЕОРЕМА 5.4. Ряд

∞ 1

n=2 n(ln n)p

сходится при p > 1 и расходится при p ≤ 1.

Доказательство. Если p ≤ 0, то

и, сравнивая данный ряд с гармоническим, убеждаемся, что ряд расходится. Поэтому пусть p > 0. В этом случае последовательность {n(ln n)p} является возрастающей:

n(ln n)p ≤ (n + 1)(ln(n + 1))p,

Таким образом, для достаточно больших n справедливо неравенство

Последнее неравенство можно переписать следующим образом

Применяя теорему сравнения 4.3 и признак сходимости обобщенного гармонического ряда, получаем сходимость ряда в первом случае.

Пусть теперь n( an − 1) ≤ 1. Тогда

an+1

Применяя теорему сравнения 4.3, получим требуемое.

СЛЕДСТВИЕ (Признак Раабе в предельной форме).

Пусть lim Rn = R. Тогда при R > 1 ряд сходится, при R < 1

n→∞

ряд расходится.

расходится.

Доказательство. Для доказательства в теореме сравнения достаточно взять обобщенный гармонический ряд.

Следствие. Пусть lim nαan = k. Тогда

n→∞

1) если α > 1 и 0 ≤ k < +∞, то ряд n = 1an сходится,

2)если α ≤ 1 и 0 < k ≤ +∞, то ряд расходится.

Вчастности, если an n1α , то ряд сходится при α > 1 и расходится при α ≤ 1.

n

Полагая Sn = f(k), имеем

k=1

n

f(k + 1) = f(2) + f(3) + . . . + f(n + 1) = Sn+1 − f(1).

k=1

Пользуясь формулой Ньютона-Лейбница, получаем

Sn ≥ F (n + 1) − F (1) ≥ Sn+1 − f(1).

На основании условия сходимости положительных рядов, делаем нужные заключения. Теорема доказана.

СЛЕДСТВИЕ (другая формулировка интегрального признака сходимости). Если функция f(x), определенная

при всех x ≥ 1, неотрицательна и убывает, то ряд

∞

f(n)

n=1

сходится тогда и только тогда, когда сходится интеграл

∞

f(x)dx.

1

при x > 0 и, стало быть, y(x) монотонно убывает. Воспользуемся интегральным признаком сходимости. Най-

т.е. ряд сходится.

ПРИМЕР 2. Исследуем на сходимость ряд

∞ 1

n=1 ns .

Конечно, этот ряд нам уже хорошо известен, однако воспользуемся другим методом его исследования. Пусть вначале s > 0, s = 1. Воспользуемся интегральным признаком:

Таким образом при s > 1 предел конечен, и ряд сходится, а при s < 1 предел бесконечен, и ряд расходится. Пусть теперь s = 1 (т.е. рассматривается гармонический ряд). Тогда

F (x) = ln x,

lim ln x = +∞.

x→+∞

То есть в данном случае ряд расходится.

§7. Признаки сходимости Коши и Даламбера

Ниже мы будем пользоваться понятиями верхнего и нижнего пределов последовательности, введенными ранее. Напомним их определения.

ОПРЕДЕЛЕНИЕ 7.1. Пусть {an}∞n=1 – прoизвольная последовательность. Говорят, что a есть верхний предел {an}∞n=1 и пишут

a = limn→∞an, (или a = lim supn→∞an),

если

i) существует подпоследовательность {ank } → a;

(иначе, ε > 0 N n > N : |an − a| < ε)

ii) ε > 0 N(ε) : n > N(ε) выполнено an < a+ε. Говорят, что a есть нижний предел an и пишут

a = limn→∞an, (или a = lim infn→∞an),

если

i)существует подпоследовательность {ank } → a;

ii)ε > 0 N(ε) : n > N(ε) выполнено an > a−ε.

УПРАЖНЕНИЕ 1. Проверьте следующие утверждения.

1)limn→∞n(−1)n = +∞, limn→∞n(−1)n = 0.

2)limn→∞ n1 = limn→∞ n1 = 0.

3)limn→∞(−1)nn = +∞, limn→∞(−1)nn = −∞.

4)limn→∞ n+1n = +1, limn→∞ n+1n = +1.

Всюду в данном параграфе будем считать, что an = 0 для всех номеров n.

ТЕОРЕМА 7.1 (Признак Коши). Пусть задан ряд

∞

Тогда

i) если a < 1, то ряд (1) сходится; ii) если a > 1, то ряд (1) расходится;

iii) существуют как сходящиеся, так и расходящиеся ряды, для которых a = 1.

Доказательство. Рассмотрим случай i), т.е. a < 1. Зададим произвольно ε > 0 так, чтобы a + ε < 1. По определению верхнего предела найдется номер N(ε) такой, что при всех n > N(ε) будет выполнено

Ряд

∞

(a + ε)n

n=1

есть геометрическая прогрессия со знаменателем (a + ε) < 1. Пользуясь теоремой сравнения, заключаем на основании (2), что ряд (1) сходится.

ii) Пусть a > 1. Из определения верхнего предела заключа-

ем, что существует подпоследовательность nk |ank | → a > 1.

Значит, |an| > 1 для бесконечного числа значений n. Тем самым, нарушено необходимое условие сходимости ряда: an →

0.