Лосев-КлячинМиклюков МА в КИ

ТЕОРЕМА 17.2. Пусть ϕ(x) — кусочно-непрерывная, 2π-периодическая функция такая, что

ЗАМЕЧАНИЕ. Теорема означает, что ряд (7) можно почленно интегрировать. И получившийся ряд будет рядом Фурье для f(x) − c0, где c0 вычисляется по формуле (8).

Доказательство. В силу известных свойств интегралов с переменным верхним пределом функция f(x) имеет кусочнонепрерывную производную. Заметим, что как интеграл с переменным верхним пределом от интегрируемой функции, функция f(x) – непрерывна на отрезке [0, 2π]. Кроме того,

и следовательно может быть продолжена 2π-периодичной на (−∞, ∞). Пользуясь предыдущей теоремой, получаем нужное.

УПРАЖНЕНИЕ 1. Разберитесь самостоятельно со случаем, когда условие (6) не выполнено.

Дополнительная литература:

1)Г.Г. Харди, В.В. Рогозинский, Ряды Фурье, Пер. с англ. Изд. 2-е, стереотипное. — М.: КомКнига, 2006.

2)Р. Эдвардс, Ряды Фурье в современном изложении, Пер. с англ. В двух томах, М.: Мир, 1985.

Глава 17

Интегралы, зависящие от параметра

§1. Семейства функций, зависящих от параметра

Пусть X R и T R – некоторые числовые множества. Напомним, что декартовым произведением множеств X×T = M называется множество всевозможных точек (x, t), где x X, t T.

Если функция f(x, t) двух переменных задана на декартовом произведении M = X × T, то для любого фиксированого t T ее можно рассматривать как функцию переменной x с областью определения X. Таким образом f(x, t) можно рассматривать как семейство функций, определенных на множестве X и зависящих от параметра t T. Будем обозначать это семейство следующим образом: f(x, t).

ПРИМЕР 1. Рассмотрим последовательность функций {fn(x)}∞n=1, определенных на множестве X. Эту последовательность можно рассматривать также и как семейство функций, зависящих от параметра n N.

ОПРЕДЕЛЕНИЕ 1.1. Пусть f(x, t) — семейство функций, определенных на множестве X и зависящих от параметра t T. Пусть t0 — точка сгущения множества T. Предположим, что при t → t0 существует конечная предельная функция

ϕ(x) = lim f(x, t).

t→t0

Говорят, что f(x, t) сходится равномерно к ϕ(x) на множестве X при t → t0, если для любого ε > 0 найдется δ(ε) > 0 такое,

что для всех t T таких, что 0 < |t −t0| < δ(ε), и всех x X выполнено

|f(x, t) − ϕ(x)| < ε.

УПРАЖНЕНИЕ 1. Сформулируйте аналогичное определение в случае, когда t0 = ±∞.

ТЕОРЕМА 1.1 (критерий Коши). Пусть f(x, t) — семейство функций, определенных на X и зависящих от параметра t T, и пусть t0—точка сгущения множества T. Для того, чтобы f(x, t) при t → t0 имела предельную

функцию и сходилась к ней равномерно на X необходимо и достаточно, чтобы ε > 0 δ(ε) : t , t T,

0 < |t − t0| < δ(ε), 0 < |t − t0| < δ(ε) и для всех x X

выполнялось

|f(x, t ) − f(x, t )| < ε.

Доказательство. Необходимость. Предположим, что суще-

ствует предельная функция ϕ(x), причем f(x, t) → ϕ(x) при t → t0 равномерно на X. Зададим произвольное ε > 0. Тогда

δ(ε) : t T, 0 < |t − t0| < δ(ε) выполнено

|f(x, t ) − f(x, t )| ≤ |f(x, t ) − ϕ(x)|+

+|ϕ(x) − f(x, t )| ≤ 2ε + 2ε = ε.

Достаточность. Предположим, что выполнены условия Ко-

ши. Тогда фиксируя x0 X имеем функцию f(x0, t) переменного t, определенную на T. На основании критерия Коши для функции одного переменного заключаем существование конечного предела.

lim f(x0, t) = ϕ(x0).

Покажем, что f(x, t) → ϕ(x) при t → t0 равномерно на X.

Фиксируем ε > 0 и найдем δ(ε) такое, что для всех t , t T таких, что 0 < |t − t0| < δ(ε), 0 < |t − t0| < δ(ε) выполнено

Переходя к пределу в этом двойном неравенстве при t → t0, получаем

f(x, t ) − ε ≤ ϕ(x) ≤ f(x, t ) + ε x X,

или

|f(x, t )−ϕ(x)| ≤ ε x X, t T : 0 < |t −t0| < δ(ε),

что и требовалось доказать.

УПРАЖНЕНИЕ 2. Сформулируйте аналог этой теоремы для случая t0 = ±∞.

ТЕОРЕМА 1.2 (об эквивалентности). Для того, чтобы функция f(x, t) при t → t0 сходилась к ϕ(x) равномерно на X, необходимо и достаточно чтобы для любой последовательности {tn}, tn T, tn = t0, tn → t0, соответствующая последовательность функций {f(x, tn)} → ϕ(x) равномерно на X.

Доказательство. Необходимые для доказательства данного утверждения рассуждения почти дословно повторяют доказательство теоремы об эквивалентности определений предела функции в точке по Коши и по Гейне. Проведите их самостоятельно.

ТЕОРЕМА 1.3. Если f(x, t) для любого t T непрерывна по x в точке x0 X и при t → t0 стремится равномерно на X к функции ϕ(x), то ϕ(x) также непрерывна в x0.

Доказательство. Возьмем произвольную последовательность {tn} → t0. По предыдущей теореме f(x, tn) → ϕ(x) равномерно на X. По соответствующей теореме для функциональных последовательностей заключаем, что ϕ(x) непрерывна.

ОПРЕДЕЛЕНИЕ 1.2. Будем говорить, что f(x, t) моно-

тонно возрастает при возрастании параметра t (убывании t), если t < t (t > t ) выполнено f(x, t ) ≤ f(x, t )

x X. Аналогично определяется и монотонное убывание f(x, t) при возрастании, либо убывании параметра t. Будем говорить, что параметр t → t0 монотонно, если он стремится к t0 либо монотонно возрастая, либо монотонно убывая. Будем говорить, что f(x, t) → ϕ(x) монотонно, при монотонном стремлении t → t0, если она стремится к ϕ(x) либо монотонно возрастая, либо монотонно убывая.

ТЕОРЕМА 1.4 (Дини). Пусть f(x, t) при t T непрерывна по переменной x на замкнутом ограниченном множестве X. Предположим, что при монотонном стремлении t → t0 функция f(x, t) монотонно стремится к непрерывной функции ϕ(x). Тогда эта сходимость является равномерной на X.

Доказательство. Пусть {tn} → t0 монотонно, тогда

f(x, tn) → ϕ(x) монотонно и по теореме Дини для функциональных последовательностей заключаем, что f(x, tn) → ϕ(x) равномерно на X. Нетрудно показать (покажите!), что

§3. Предельный переход под знаком интеграла

ТЕОРЕМА 3.1. Пусть f(x, t) — семейство функций переменной x, определенных на [a, b] и зависящих от параметра t T. Предположим , что для всех t T функция f(x, t) непрерывна по переменной x на [a, b] и при t → t0 стремится равномерно на [a, b] к функции ϕ(x). Тогда

Доказательство. Пусть {tn} – произвольная последовательность, сходящаяся к t0. Положим

b

Φ(t) = f(x, t)dx.

a

Требуется доказать, что

b b

Поскольку последовательность {tn} произвольная, то пользуясь соответствующей теоремой для функциональных последовательностей, получаем необходимое утверждение.

УПРАЖНЕНИЕ 1. Докажите теорему 3.1, заменив предположение о непрерывности f(x, t) по переменной x, предложением о ее интегрируемости.

СЛЕДСТВИЕ. Предположим, что в условиях теоремы 3.1 функция φ(x) = f(x, t0). Тогда интеграл

b

Φ(t) = f(x, t)dx

a

непрерывен по параметру t в точке t0.

ЛЕММА 3.1. Пусть f(x, y) — функция двух переменных, определенная и непрерывная на замкнутом прямоугольнике [a, b] × [c, d]. Тогда для любой точки y0 [c, d] функция f(x, y) → f(x, y0) при y → y0 равномерно на [a, b].