Лосев-КлячинМиклюков МА в КИ

ТЕОРЕМА 2.2. Предположим, что существует функция ϕ(x) такая, что для всех y Y и всех x ≥ a выполнено

|f(x, y)| ≤ ϕ(x),

а несобственный интеграл

∞

a

Тогда несобственный интеграл (1) сходится равномерно на множестве Y.

Доказательство. Утверждение сразу следует из критерия Коши равномерной сходимости несобственного интеграла (1), критерия Коши сходимости несобственного интеграла (2) и неравенства

ЗАМЕЧАНИЕ. В условиях теоремы говорят, что несобственный интеграл (1) мажорируется сходящимся интегралом (2).

ПРИМЕР 1. Несобственный интеграл

где k = 0, a (−∞, ∞) сходится равномерно относительно параметра a на (−∞, ∞), поскольку этот интеграл мажорируется сходящимся интегралом

∞

dx k2 + x2 .

0

§3. Понятие равномерной сходимости интегралов с конечными пределами

ОПРЕДЕЛЕНИЕ 3.1. Пусть f(x, y) — функция двух переменных, определенная при каждом y Y как функция x

всюду на [a, b] за возможным исключением точки x0 [a, b]. Предположим, что для любого y Y существует

понимаемый в собственном либо несобственном смысле. Го-

ЗАМЕЧАНИЕ. Как правило, нас будет интересовать равномерная сходимость интеграла (1) на Y при x = x0, когда x0 является особой точкой для интеграла (1). Однако определение содержательно и в случае, когда точка x0 не является особой точкой.

ПРИМЕР 1. Рассмотрим интеграл

1

y

x2 + y2 dx.

0

Заметим, что для всех y [0, h] данный интеграл существует как собственный. Однако для указанного множества изменения y этот интеграл не будет сходиться равномерно при x = 0.

A0(ε) такое, что для всех A , A > A0(ε) и всех y Y выполнено

f(x, y)dx < ε.

Но f(x, y) сходится к ϕ(x) равномерно на [A , A ] при y → y0, и по теореме о предельном переходе под знаком собственного

A

Зафиксируем произвольно A > max{A1(ε), A2(ε)}. Поскольку по условию f(x, y) сходится к ϕ(x) при y → y0 равномерно на [a, A], то существует такое δ(ε), что для всех y = y0 : |y − y0| < δ(ε) выполнено

Объединяя (5), (6), (7), на основании (4), заключаем о суще-

ствовании такого δ(ε), что для всех y = y0 : |y − y0| < δ(ε) выполнено

УПРАЖНЕНИЕ 1. Докажите теорему 4.1 для случая y0 = ±∞.

ПРИМЕР 1. Покажем, что условие γ) теоремы существенно даже если условие β) заменить более жестким требованием: f(x, y) → ϕ(x) равномерно на [a, ∞). Рассмотрим функцию

При τ → ∞ функция f(x, τ) → 0 равномерно на [0, ∞). Однако для всех τ выполнено

Ясно, что f(x, τ) может быть сделана и непрерывной по x при каждом τ (0, ∞), с сохранением указанного свойства.

ТЕОРЕМА 4.2. Пусть f(x, y) определена и непрерывна как функция двух переменных на полуполосе [a, ∞)×[c, d].

Если интеграл

∞

a

сходится равномерно относительно y [c, d], то он является непрерывной по параметру y [c, d] функцией.

Доказательство. Фиксируем произвольно y0 [c, d] и полагаем

ϕ(x) = f(x, y0).

Проверим выполнение условий теоремы 4.1.

Во-первых, функция f(x, y) непрерывна по x для всех y

[c, d].

Во-вторых, для всех A > a функция f(x, y) непрерывна как функция двух переменных на прямоугольнике [a, A] × [c, d] и, стало быть, f(x, y) → ϕ(x) при y → y0 равномерно относительно x на [a, A] (см. лемму 3.1 параграфа "Предельный переход под знаком интеграла" предыдущей главы).

В-третьих интеграл (8) сходится равномерно по условию. Тем самым на основании теоремы 4.1 заключаем

есть непрерывная на [c, d] функция. Тогда интеграл (9) сходится равномерно относительно y [c, d].

Доказательство. Рассмотрим функцию

Данная функция непрерывна как функция переменной y, монотонно возрастает с ростом A и стремится к непрерывной функции I(y) при A → ∞. По теореме Дини для семейства функций, зависящих от параметра, F (A, y) → I(y) равномерно на [c, d], что и требовалось доказать.

§5. Интегрируемость несобственного интеграла по параметру (случай конечных пределов интегрирования)

ТЕОРЕМА 5.1. Пусть f(x, y) — функция двух переменных, определенная и непрерывная в полуполосе [a, ∞) × [c, d]. Если интеграл

cA

Действительно, так как несобственный интеграл (1) сходится равномерно относительно y, то функция

A

F (A, y) = f(x, y)dx

a

при A → ∞ сходится равномерно к функции

∞

I(y) = f(x, y)dx.

a

Это означает, что разность

∞

I(y) − F (A, y) = f(x, y)dx → 0

A

при A → ∞ равномерно относительно y на [c, d], т.е. для всякого ε > 0 существует A(ε) такое, что для любого A > A(ε) и для всех y [c, d] выполнено

Переходя к пределу при A → ∞ видим, что правая часть соотношения (3) стремится к

∞ d

dx f(x, y)dy,

ac

что и требовалось доказать.

СЛЕДСТВИЕ. Пусть f(x, y) – непрерывная неотрицательная функция двух переменных, заданная на полуполосе [a, ∞)× [c, d]. Если несобственный интеграл (1) непрерывен по y, то справедливо равенство (2).

Доказательство следует непосредственно из аналога теоремы Дини, приведенного в предыдущем пункте, и данной теоремы.

§6. Интегрирование несобственного интеграла по параметру (случай бесконечного предела интегрирования)

ТЕОРЕМА 6.1. Пусть f(x, y) — непрерывная, неотрицательная функция двух переменных, определенная на [a, ∞)×[b, ∞). Предположим, что каждый из интегралов

является непрерывной функцией соответствующего параметра. Тогда, если существует хотя бы один из двух повторных интегралов

то существует и второй и эти интегралы равны между собой.

Доказательство. Предположим, что существует первый из интегралов (2). Тогда для любого A > a имеем

Поскольку второй из интегралов (1) непрерывен по x, то пользуясь следствием к предыдущей теореме, получаем

∞ A A ∞

dy f(x, y)dx = dx f(x, y)dy

450 Глава 18. Несобственные интегралы, зависящие от параметра

и в силу предыдущего равенства приходим к соотношению

Как и при доказательстве предыдущей теоремы нам достаточно теперь установить, что второй из интегралов в правой части (3) стремится к 0 при A → ∞. Это следует из равномерной сходимости первого из интегралов (1), неотрицательности f(x, y) и сходимости первого из повторных интегралов

(2). Действительно, рассматривая интеграл

∞

F (A, y) = f(x, y)dx,

A

отметим следующие его свойства. Во-первых, для всех A > a функция F (A, y) есть непрерывная функция переменной y [b, ∞). Это ясно поскольку она является разностью двух непрерывных функций

Во-вторых, при A → ∞ по обобщенной теореме Дини

F (A, y) → 0 равномерно относительно y на любом отрезке

[b, B].

В-третьих, несобственный интеграл

∞

F (A, y)dy

b

сходится равномерно относительно параметра A [a, ∞), поскольку мажорируется сходящимся интегралом:

В результате, выполнены все требования теоремы о предельном переходе под знаком несобственного интеграла и мы получаем

∞ ∞ ∞