Лосев-КлячинМиклюков МА в КИ
.pdf472 Глава 19. Преобразование Фурье
Доказательство. Так как f(x) финитна, то существует постоянная a > 0 такая, что f(x) = 0 при |x| > a. Поэтому
+∞ |
a |
|
|
|
|
f(x) eiλxdx = |
|
f(x) eiλxdx. |
(2) |
−∞ |
|
−a |
|
|
Заметим теперь, что f(x) интегрируема на [−a, a] и для любого ε > 0 найдется нижняя сумма Дарбу
n−1
|
|
|
mi ∆xi, |
mi = |
|
|
inf f(x) |
|
||||
|
|
|
=0 |
|
|
|
|
|
x |
[xi,xi+1] |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
такая, что |
i |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
a |
|
|
n−1 |
|
|
|
||
|
|
0 ≤ |
|
|
|
|
(3) |
|||||
|
|
f(x) dx − i=0 mi ∆xi < ε. |
||||||||||
|
|
|
−a |
|
|
|
|
|
|
|||
Положим |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
g(x) = mi |
при |
x [xi−1, xi), |
i = 1, 2, . . . , n − 1. |
|||||||||
Данная функция кусочно постоянна на [−a, a], причем |
||||||||||||
|
|
g(x) ≤ f(x) |
при |
|
|
x [−a, a]. |
|
|||||
Отсюда, в силу (3), получаем |
|
|
a g(x) eiλxdx |
|
||||||||
|
0 |
|
a f(x) eiλxdx |
|
|
|
||||||
|
|
≤ |
|
|
|
|
− |
|
|
|
≤ |
|
|
|
|
a |
|
|
|
− |
a |
|
|
|
|
a |
|
|
− |
|
|
|
a |
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
a |
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
≤ |
|f(x) − g(x)| |eiλx| dx = |
f(x) dx − |
g(x) dx = |
|||||||||
−a |
|
|
|
|
|
|
−a |
|
−a |
|
||
|
|
|
a |
|
|
n−1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
= |
|
|
|
|
|
|
(4) |
|||
|
|
f(x) dx − i=0 mi ∆xi < ε. |
||||||||||
|
|
|
a |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
− |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
С другой стороны, |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
a |
|
|
|
n−1 |
xi+1 |
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
g(x) eiλxdx = i=0 |
|
mi eiλxdx = |
||||||||
|
−a |
|
|
|
xi |
|
|
|
§4. Пространство быстро убывающих функций |
479 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6 |
|
i)k |
+∞ |
||
|
|
|
−∞ |
|
|
(f(ξ))(k) = |
(√− |
2π |
|
|
xk f(x) e−iξx dx = (−i)kxk f(x)(ξ). |
По лемме 2.2 последняя величина непрерывна по ξ при всех |
|
ξ (−∞, +∞). Теорема доказана. |
|
ПРИМЕР 2. Ранее было найдено преобразование Фурье для
функции |
f(x) = |
h |
|
при |
|x| ≤ a, |
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
при |
|x| > a. |
|
|
|||||||||
Именно |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2h sin ξa |
|
|
|
|
|||||||||
|
|
f(ξ) = |
√ |
|
|
|
|
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ξ |
|
|
|
|
||||||||||
|
|
2π |
|
|
|
|
|
|
|||||||||
Найдем |
преобразование Фурье функции xkf(x). Пользуясь |
||||||||||||||||
|
6 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(3), имеем |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(k) |
|
|
|
|
√ |
|
h |
sin ξa |
(k) |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
2 |
||||||||||
xkf(x)(ξ) = ikf(x) (ξ) = ik · |
|
|
|
|
|
. |
|||||||||||
π |
|
ξ |
§4. Пространство быстро убывающих функций
4.1.Пространство S
Говорят, что функция ϕ, определенная на (−∞, +∞), принадлежит пространству S (Л. Шварц1), если она комплекснозначна (т.е. ϕ = ϕ1 + i ϕ2, ϕ1, ϕ2 – действительны), бесконечно дифференцируема и для произвольной пары неотрицательных чисел (l, k), k-целое, выполнено
sup(1 |
+ x |
l) |
ϕ(k)(x) |
< |
∞ |
. |
(1) |
x |
| | |
| |
| |
|
|
1Шварц Лоран (5.3.1915–4.7.2002) – французский математик, член группы "Бурбаки". Основные труды по топологии, гармоническому и функциональному анализу, математической физике. Большое значение имеет его теория распределений (теория обобщенных функций).
480 |
Глава 19. Преобразование Фурье |
ПРИМЕР 1. Функция ϕ(x) = e−x2 принадлежит пространству S.
ПРИМЕР 2. Всякая бесконечно дифференцируемая, финитная функция ϕ(x) S (привести пример).
Если функции ϕm, ϕ S при m = 1, 2, . . . и для произвольной пары чисел (l, k) (здесь и далее подразумеваются пары (l, k) указанного выше вида) выполнено
sup(1 + |
| |
x |
l) |
ϕ(k)(x) |
− |
ϕ(k)(x) |
| → |
0, |
(2) |
x |
| |
| |
m |
|
|
то говорят, что последовательность {ϕm} сходится к ϕ в топологии пространства S.
ЗАМЕЧАНИЕ. Из (2) следует, что при любом k = 0, 1, . . .
sup |
ϕ(k) x |
) − |
ϕ(k) x |
)| → 0 |
при |
m |
→ ∞ |
, |
x | |
m ( |
( |
|
|
т.е. сами функции ϕm(x) и любые их производные сходятся к ϕ(x) (и ее производным) равномерно на (−∞, +∞).
Отметим, что пространство S линейно, т.е. из условия ϕ, ψ S и a, b – комплексные числа следует, что линейная комбинация aϕ + bψ принадлежит пространству S (проверить!).
4.2.Понятие оператора
Пусть S1, S2 – некоторые пространства. Если задано правило A, по которому каждому элементу ϕ S1 ставится в соответствие элемент ψ S2, то говорят, что задан оператор A с областью определения S1 и областью значений S2 и пишут ψ = Aϕ.
ПРИМЕР 3. Оператор дифференцирования Dϕ = ϕ действует из S в S (проверить!).
Оператор A : S1 → S2 называется линейным, если для любых ϕ, ψ S1 и произвольных комплексных чисел a, b выполнено
A(aϕ + bψ) = a Aϕ + b Aψ.
ПРИМЕР 4. Оператор дифференцирования Dϕ = ϕ линеен (проверить!).