Лосев-КлячинМиклюков МА в КИ

При достаточно малых t > 0 выполнено

|f(x0 + t) − f(x0)| ≤ kt, |f(x0 − t) − f(x0)| ≤ kt.

Поэтому

t

|g(t)| ≤ ksin 2t ,

то есть является ограниченной в окрестности нуля. Рассмотрим второй случай, в котором x0 — точка разрыва

f(x). Тогда при достаточно малых t > 0

|f(x0 + t) − f(x0 + 0)| ≤ k1t |f(x0 − t) − f(x0 − 0)| ≤ k2t

т.е. справа и слева от x0 функция f(x) удовлетворяет условию Липшица. Мы имеем:

Вывод: функция g(t) кусочно-непрерывна на (0, π], а в окрестности нуля ограничена.

Покажем, что

Заметим, что интегралы In и In суть коэффициенты Фурье функций g1(t) и g2(t), то есть In и In → 0, при n → ∞. Таким

образом, получаем, что

Sn(x0) − f(x0 + 0) + f(x0 − 0) → 0 2

при n → ∞, что и требовалось доказать.

§8. Представление функции рядом Фурье на отрезке [−π, π]

ТЕОРЕМА 8.1. Пусть f(x) — функция, удовлетворяющая условию Липшица на отрезке [−π, π]. Тогда ее ряд Фурье имеет конечную сумму S(x), причем

S(x) = f(x)

для всех x (−π, π), и

S(−π) = S(π) = f(−π) + f(π). 2

УПРАЖНЕНИЕ 1. Явлением Гиббса7 принято называть описываемую ниже особенность поведения частичных сумм тригонометрического ряда Фурье.

Пусть Sn(x) – частичная сумма тригонометрического ряда Фурье функции f(x), и пусть при n → ∞ последовательность Sn(x) → f(x) в проколотой окрестности 0 < |x − ξ| < δ точки ξ, в которой функция f(x) имеет односторонние пределы f(ξ + 0) и f(ξ − 0). Для определенности будем считать, что f(ξ−0) ≤ f(ξ+0). Говорят, что в точке ξ имеет место явление Гиббса для частичных сумм Sn(x), если

Попробуйте доказать, что для любой функции вида ϕ(x) + c sign(x − ξ), где c = 0, |ξ| < π, ϕ(x) C1[−π, π], в точке

ξ имеет место явление Гиббса.

Доказательство. Введем в рассмотрение вспомогательную функцию

7Гиббс Джозайя Уиллард (11.2.1839 – 28.4.1903) – физик, механик и математик. Род. в НьюХейвене (США). Работал в Йельском университете. Один из основоположников термодинамики и статистической механики. Как математик разрабатывал вопросы векторного анализа, внес известный вклад в развитие математической физики.

Данная функция принимает на концах отрезка равные значения. Поэтому мы можем продолжить ее по периодичности на всю числовую прямую. Полученную в результате продолжения функцию обозначим через ϕ(x).

Функция ϕ(x) – 2π-периодична и кусочно-липшицева. Ряд Фурье, построенный для ϕ(x) совпадает с рядом Фурье для f(x). (Функцию изменили в одной точке, но ее коэффициенты Фурье остались теми же самыми, поскольку изменение функции в одной точке не влияет на значение интеграла.)

Применим теорему предыдущего параграфа. Пусть x0 (−π, π). Тогда

S(x0) = ϕ(x0 + 0) + ϕ(x0 − 0) = f(x0). 2

Пусть теперь x0 = −π, то есть x0 – точка разрыва для ϕ(x). Замечаем, что

Аналогичным образом проверяется и утверждение для точки x0 = π. Теорема доказана.