ТЕОРЕМА 7.1. Для того, чтобы две кусочно непрерывные на (−∞, +∞) функции F1(x) и F2(x) представляли при помощи равенства (3) обобщенные функции F1 = F2 S необходимо и достаточно, чтобы
F1(x) = F2(x)
в каждой точке, где обе функции непрерывны.
Доказательство. Достаточность. На всяком отрезке [a, b] имеется лишь конечное число точек разрыва функций F1(x) и F2(x). Поэтому для любой ϕ S
b b
F1(x)ϕ(x) dx = F2(x)ϕ(x) dx.
a a
Переходя к пределу при a → −∞, b → +∞, заключаем, что для произвольной ϕ S выполнено
+∞
+∞
F1(x)ϕ(x) dx =
F2(x)ϕ(x) dx,
−∞
−∞
т.е. функции F1(x) и F2(x) определяют один и тот же функционал вида (3).
Необходимость. Предположим, что в некоторой точке x0,
где F1(x) и F2(x) непрерывны, выполнено F1(x) = F2(x), однако для всякой ϕ S
+∞
+∞
F1(x)ϕ(x) dx =
F2(x)ϕ(x) dx.
−∞
−∞
Тогда для всякой ϕ S
+∞
(F2(x) − F1(x))ϕ(x) dx = 0.
−∞
Так как функция F2(x) − F1(x) непрерывна в x0, то существует окрестность (x0 − ε, x0 + ε) этой точки, в которой F2(x) − F1(x) не меняет знака. Не умаляя общности, будем считать, что
F2(x) − F1(x) ≥ q > 0 при всех x (x0 − ε, x0 + ε).
492
Глава 19. Преобразование Фурье
Построим функцию ϕ0(x) со свойствами:
ϕ0(x) бесконечно дифференцируема;
ϕ0(x) > 0 при всех x (x0 − ε, x0 + ε) и ϕ0(x) = 0 при всех x = (x0 − ε, x0 + ε).
(Такого типа функция может быть бесконечно дифференцируемой, но не аналитической. Почему?)
Ясно, что ϕ0 S. Тогда имеем
+∞
+∞
(F2(x) − F1(x))ϕ0(x) dx ≥ q
ϕ0(x) dx > 0.
−∞
−∞
Полученное противоречие завершает доказательство.
ЗАМЕЧАНИЕ. Обобщенную функцию F , представимую посредством интеграла (3) и кусочно непрерывной функции F (x), обычно отождествляют с самой F (x). К примеру, функции
cos x, ln x, n akxk с одной стороны суть обычные функ-
k=0
ции, а с другой – обобщенные функции, принадлежащие пространству S .
7.3.δ-функция Дирака
Функционал
δ = (δ, ϕ) = ϕ(0) для всякой ϕ S
(4)
называется δ-функциейДирака. Понятно, что этот функционал линеен.
Для доказательства непрерывности функционала (4) достаточно воспользоваться леммой 7.1, что возможно, поскольку
|(δ, ϕ)| = |ϕ(0)| ≤ sup |ϕ(x)|.
x
(Непрерывность очевидна и непосредственно из определения сходимости в S.) Таким образом, функционал δ S . Можно показать, что этот функционал не представим в виде (3) ни для какой кусочно непрерывной (или даже интегрируемой по Риману) функции F (x), т.е.
δ S \ S.
§8. Операции над обобщенными функциями
493
§8. Операции над обобщенными функциями
8.1.Умножение на функцию
Пусть g(x) – бесконечно дифференцируемая функция, заданная на (−∞, +∞) и удовлетворяющая условию (2) вместе с производными любого порядка. Тогда можно определить произведение g(x) на обобщенную функцию F S по правилу
g(x)F = (gF, ϕ) = (F, gϕ)
(1)
для любой ϕ S.
Ясно, что функционал (F, gϕ) линеен по ϕ. Докажем непрерывность. Предположим, что ϕm → ϕ в топологии S. Тогда gϕm → gϕ в топологии S. (Проверить !) Однако, функционал (F, gϕ) непрерывен в топологии S, а потому
(F, gϕm) → (F, gϕ).
Это означает, что функционал (gF, ϕ) также непрерывен в S
иgF S .
Вслучае обычных кусочно непрерывных функций введенное определение операции умножения согласуется с определением обычной функции как обобщенной. Действительно, если F (x) – кусочно непрерывна, то
+∞
(F, ϕ) = F (x)ϕ(x) dx.
−∞
Отсюда,
+∞ +∞
(F, gϕ) =
F (x)gϕ dx = (gF (x)) ϕ dx = (gF, ϕ).
−∞
−∞
8.2.Определение производной обобщенной функции
Пусть F S . Производная F по определению вводится равенством
(F , ϕ) = −(F, ϕ ) для любой ϕ S,
(2)
а производная порядка k > 1 – равенством
(F (k), ϕ) = (−1)k(F, ϕ(k)) для любой ϕ S.
(3)
Линейность и непрерывность в топологии S правых частей в равенствах (2), (3) легко проверяется.
x→+0
x→+∞
494
Глава 19. Преобразование Фурье
8.3.Производная функции Хевисайда
Найдем производную функции Хевисайда2
0
при
x ≤ 0,
H(x) =
1
при
x > 0.
Пользуясь соотношением (2), запишем
(H , ϕ) = −(H, ϕ ) для всякой ϕ S.
Так как H(x) кусочно непрерывна, то в соответствии с формулой (3) функционал в правой части имеет вид
+∞
(H , ϕ) = − H(x)ϕ (x) dx для всякой ϕ S.
−∞
Отсюда,
+∞
(H , ϕ) = − ϕ (x) dx = −ϕ(x)|+0 ∞ =
0
= − lim ϕ(x) − lim ϕ(x).
Но ϕ S, а потому limx→+∞ ϕ(x) = 0. Функция ϕ непрерывна и, следовательно,
lim ϕ(x) = lim ϕ(x) = ϕ(0).
x→+0 x→0
Таким образом,
(H , ϕ) = ϕ(0),
т.е. производная функции Хевисайда есть δ-функция.
8.4.Сходимость в пространстве обобщенных функций
Говорят, что последовательность обобщенных функций Fn
S сходится к функции F S (в топологии S ), если
nlim (Fn, ϕ) = (F, ϕ) для всякой ϕ S.
(4)
→∞
2Хевисайд Оливер (18.05.1850 - 3.02.1925) – английский физик, инженер и математик, член Лондонского королевского об-ва (с 1891 г.) Получил элементарное школьное образование (1866 г.) Самостоятельно изучил математику и физику. Работал инженером по технике слабых токов. В области математики внес существенный вклад в векторное исчисление и разработал основы операционного исчисления. Считал математику экспериментальной наукой.
§8. Операции над обобщенными функциями
495
ЗАМЕЧАНИЕ. Из определения сходимости (4) ясно, что если Fn → F в топологии S , то для любого k ≥ 1
nlim (Fn(k), ϕ) = (−1)k nlim (Fn, ϕ(k)) =
→∞
→∞
(в силу (4))
= (−1)k(F, ϕ(k)) =
в силу (3)
= (F (k), ϕ).
Таким образом, можно утверждать, что из сходимости Fn →
F в топологии S следует сходимость любых из производных Fn(k) → F (k) в S .
Данная функция принадлежит также и пространству обобщенных функций S . Посмотрим не имется ли предела у данной последовательности в топологии пространства S . Пользуясь соотношением (3), имеем
+∞
1/n
lim
(f , ϕ) = lim
f ϕ dx = lim n
ϕ dx =
n→∞
n
n→∞
n
n→∞
−∞
0
(по теореме о среднем)
= nlim
1
− 0) = nlim ϕ(ξn),
n ϕ(ξn)(
n
→∞
→∞
где ξn – некоторая точка отрезка [0, 1
]. Но функция ϕ непре-
n
рывна и потому ϕ(ξn) → ϕ(0) при n → ∞. Тем самым, для всякой ϕ S
lim (fn, ϕ) = ϕ(0)
n→∞
и
fn → δ − функции в топологии S .
ЗАМЕЧАНИЕ. Первоначальное определение δ-функции в физике было следующим. Это есть ”функция”, равная 0 при всех x = 0, обращающаяся в ∞ при x = 0 и такая, что
+∞
δ(x) dx = 1.
−∞
496
Глава 19. Преобразование Фурье
§9. Сжатие видеоинформации
Цифровое видео уже давно применяется в различных областях человеческой деятельности. Основные его достоинства
– удобство хранения, воспроизведения и редактирования видеоинформации. Исходный видеопоток на практике использовать нецелесообразно ввиду большой избыточности. Например, изображения (как и видео) занимают намного больше места в памяти, чем текст. Так, скромная, не очень качественная иллюстрация на обложке книги размером 500x800 точек, занимает 1.2 Мб — столько же, сколько художественная книга из 400 страниц (60 знаков в строке, 42 строки на странице). Решением этой проблемы является сжатие видеоданных. Наиболее распространенным из -за своей универсальности и открытости является семейство алгоритмов сжатия MPEG. Одной из основных подсистем кодера является подсистема устранения пространственной избыточности. Основу сжатия составляет блок дискретного косинус-преобразования (ДКП)
– для получения спектральных коэффициентов и устранения пространственной корреляции пикселей. ДКП является дискретным аналогом косинус-преобразования Фурье. Прямое ДКП применяется для блока размера M × N исходного изображения и имеет вид
M−1 N−1
π(2m + 1)p
cos
π(2n + 1)q
,
B(p, q) = αpαq
A(m, n) cos
m=0 n=0
2M
2N
где B(p, q) – значения спектральных коэффициентов,
√
1/
M
p = 0
αp =
1 ≤ p ≤ M − 1,
2/M
√
1/
N
q = 0
αq =
1 ≤ q ≤ N − 1
,
2/N
(m, n) – координаты пикселей в исходном блоке изображения, (p, q) – индексы коэффициентов в преобразованном блоке, A(m, n) – значения пикселов в исходном блоке.
В результате исходный блок точек преобразуется в матрицу частотных коэффициентов ДКП такого же размера.
Обратное ДКП определяется следующим образом
M−1 N−1
π(2m + 1)p
cos
π(2n + 1)q
.
A(m, n) =
αpαqB(p, q) cos
m=0
n=0
2M
2N
Само сжатие достигается устранением спектральных коэффициентов, соответствующих высокочастотным составляю-
§9. Сжатие видеоинформации
497
щим изображения. При условии, что в изображении присутствуют только плавные переходы цвета, высокочастотные коэффициенты будут малы, поэтому они удаляются. Дальнейшее сжатие происходит с применением других алгоритмов компрессии без потери информации.
Глава 20
Теория интегрирования в Rn
Дополнительная литература:
1)Г.М. Фихтенгольц, "Курс дифференциального и интегрального исчисления", Т. I-III, М.: Наука, 1969.
2)Л. Шварц, "Анализ", Т. I=II, М.: Мир, 1972.
3)В.А. Зорич, "Математический анализ", Т. I-II, М.: Фазис, 1997.
§1. Интеграл по параллелепипеду
1.1.Определение и простейшие свойства
ОПРЕДЕЛЕНИЕ 1.1. Замкнутым параллелепипедом размерности n (или n-мерным замкнутым параллелепипедом) называется множество
A = [a1, b1] × [a2, b2] × . . . × [an, bn].
ОПРЕДЕЛЕНИЕ 1.2. Пусть P1 — разбиение отрезка [a1, b1] точками
a1 = t0 < t1 < t2 < . . . < tk = b1,
и P2, . . . , Pn — разбиения отрезков [a2, b2], . . . , [an, bn]. Совокупность P = (P1, P2, . . . , Pn) называется разбиением параллелепипеда A.
ПРИМЕР 1. Пусть A = [a1, b1] × [a2, b2] — прямоугольник в R2. Рассмотрим разбиения
P1 : a1 = t0 < t1 < t2 < . . . < tk = b1,
P2 : a2 = s0 < s1 < s2 < . . . < sl = b2.
Очевидно при этом прямоугольник [a1, b1] × [a2, b2] разбивается на прямоугольники [ti, ti+1] × [sj, sj+1].
§1. Интеграл по параллелепипеду
499
В общем случае параллелепипед A разбивается на параллелепипеды T, которые будем называть параллелепипедами разбиения.
ОПРЕДЕЛЕНИЕ 1.3. Объемом параллелепипеда (точнее n-мерным объемом параллелепипеда) A = [a1, b1] × [a2, b2] ×
. . . × [an, bn] будем называть число
v(A) = (b1 − a1)(b2 − a2) . . . (bn − an).
Пусть функция f(x) определена в A и ограничена. Положим
mT (f) = inf f(x),
MT (f) = sup f(x),
x T
x T
где T — параллелепипед разбиения P .
ОПРЕДЕЛЕНИЕ 1.4. Верхней и нижней суммами Дарбу функции f(x) по параллелепипеду A называются величины
S(f, P ) =
MT (f)v(T )
T
и
S(f, P ) =
mT (f)v(T ),
T
соответственно. Здесь суммы берутся по всем T P.
500 Глава 20. Теория интегрирования в Rn
ПРИМЕР 2. Пусть A = [a
, b
]
×
[a
, b
] — прямоугольник
2
1
1
2
2
в R
, ограниченная функция f(x)
определена в A, а P —
разбиение A :
a1 = t0 < t1 < t2 <
. .
. < tk = b1,
a2 = s0 < s1 < s2 < . . . < sl = b2.
Обозначим через Tij = [ti, ti+1]×[sj, sj+1], i = 0, . . . , k−1, j = 0, . . . , l − 1,
Mij = sup f(x), mij = inf f(x).
x Tij
x Tij
Тогда
l−1
k−1
j
S(f, P ) =
Mij(ti+1 − ti)(sj+1 − sj),
=0 i=0
l−1
k−1
j
S(f, P ) =
mij(ti+1 − ti)(sj+1 − sj).
=0 i=0
Заметим, что S и S всегда существуют, т.к. f(x) ограничена.
Будем говорить, что разбиение P является измельчением разбиения P, (или следует за разбиением P ), если каждый параллелепипед из P содержится в некотором параллелепипеде из P.
ЛЕММА 1.1. Предположим, что разбиение P является измельчением разбиения P . Тогда
S(f, P ) ≤ S(f, P ),
S(f, P ) ≥ S(f, P ).
Доказательство. Пусть T — параллелепипед разбиения P. Тогда существуют параллелепипеды T1, T2, . . . , Tα разбиения
