Лосев-КлячинМиклюков МА в КИ

ТЕОРЕМА 1.1. Пусть f(x) и g(x) определены на [a, +∞) и интегрируемы на любом [a, b] [a, +∞). Справедливы следующие утверждения.

+∞

lim f(x)dx = 0.

b→+∞

b

+∞

3) Если интеграл f(x)dx сходится и c – произволь-

a

Доказательство. Данные утверждения несложно получить, используя указанную аналогию и методы, примененные при доказательстве подобных утверждений для числовых рядов.

Подробное доказательство проведите самостоятельно.

УПРАЖНЕНИЕ 1. Сформулируйте и докажите формулу замены переменной и формулу интегрирования по частям для несобственных интегралов.

§2. Несобственные интегралы от неограниченных функций. Критерий Коши сходимости несобственных интегралов

Рассмотрим теперь функции, заданные на ограниченном множестве [a, B), но неограниченные на нем.

ОПРЕДЕЛЕНИЕ 2.1. Пусть f(x) определена на [a, B) и интегрируема на любом [a, b] [a, B). Предел интеграла

b

f(x)dx при b → B − 0 (конечный или бесконечный) назы-

a

вают несобственным интегралом функции f(x) от a до B и

обозначают

B b B−ε

Говорят, что несобственный интеграл сходится, если этот предел конечен, и расходится если предел бесконечен или не существует.

В этом случае точку B называют особой точкой.

Пусть теперь f(x) определена на (A, b] и интегрируема на

A+ 0 (конечный или бесконечный) называют несобственным интегралом функции f(x) от A до b и обозначают

b b b

В данном случае точку A называют особой точкой. ПРИМЕР 1. Несложно проверить (проверьте!), что

0

В более общем случае, на отрезке [A, B] может быть конечное число особых точек, т.е. точек, вблизи которых функция f(x) неограничена, но внутри каждой части этого отрезка, не содержащей особых точек, функция ограничена и интегрируема. С целью простоты изложения, ограничимся рассмотрением случая трех особых точек, причем две из них совпадают с концами A и B, а третья точка C (A, B). Тогда

B C−ε2 B−ε4

Можно подобный интеграл определить иначе. А именно, пусть A < a < C < b < B, где a и b не являются особыми точками. Тогда

ТЕОРЕМА 2.1. Пусть функция f(x) интегрируема по Риману (иначе, в собственном смысле) на [a, B]. То-

B

гда значения интеграла f(x)dx понимаемого как в соб-

a

ственном, так и несобственном смысле, совпадают.

Доказательство. Пусть f(x) интегрируема по Риману на [a, B].

x

Тогда функция F (x) = f(t)dt непрерывна на [a, B], что до-

a

казывает утверждение теоремы.

Попробуем объединить определения несобственного интеграла от неограниченной функции и несобственного интеграла с бесконечными пределами интегрирования.

ОПРЕДЕЛЕНИЕ 2.2. Пусть [a, ω) – конечный или бесконечный промежуток. Пусть f(x) определена на [a, ω) и интегрируема на любом [a, b] [a, ω). Величина

ω b

называется несобственным интегралом функции f(x) от a до ω.

374 Глава 15. Несобственные интегралы

ЗАМЕЧАНИЕ. Напомним критерий Коши существования предела функции слева.

Для того чтобы функция y = f(x) имела предел при x → x0 − 0 необходимо и достаточно, чтобы для любого ε > 0

нашлось δ(ε) > 0 такое, что для всех x и x для которых

0 < x0 − x < δ(ε), 0 < x0 − x < δ(ε) выполнялось

|f(x ) − f(x )| < ε.

ТЕОРЕМА 2.2 (критерий Коши). Пусть f(x) опре-

делена на [a, ω) и интегрируема на любом [a, b] [a, ω).

ω

Интеграл f(x)dx сходится тогда и только тогда, ко-

a

гда для любого ε > 0 найдется B = B(ε) > 0 такое, что

для любых b1, b2 [a, ω), b1 > B, b2 > B имеет место соотношение

b2

|f(x)dx| < ε.

b1

Доказательство. Напомним, что сходимость несобственно-

ω

го интеграла f(x)dx, равносильна существованию предела

a

b

функции F (b) = f(x)dx при b → ω − 0. Заметим, что

Учитывая критерий Коши существования предела функции в точке, получаем требуемое.

§3. Абсолютная сходимость несобственного интеграла

ОПРЕДЕЛЕНИЕ 3.1. Говорят, что несобственный инте-

ω

грал f(x)dx сходится абсолютно, если сходится интеграл

a

ω

|f(x)|dx.

a

∞. Таким образом нам достаточно найти такую константу M, что для всех b [0, ∞) выполнено

b

f0(x)dx ≤ M.

0

Например, в качестве такой константы можно предъявить

∞ n

M = n=1 2n < ∞.

ТЕОРЕМА 3.2 (сравнения). Пусть f(x) и g(x) определены на [a, ω) и интегрируемы на любом [a, b] [a, ω).

Если всюду на [a, ω) выполнено 0 ≤ f(x) ≤ g(x), то из

ω

сходимости интеграла g(x)dx следует сходимость ин-

a

Доказательство. Ясно, что всюду на [a, ω) выполнено неравенство

b b

F (b) = f(x)dx ≤ g(x)dx = G(b).

a a

Заметим также, что функции F (x) и G(x) – неубывающие. Дальнейшие рассуждения очевидны, проведите их самостоятельно.

ТЕОРЕМА 3.3. Пусть f(x) и g(x) определены на [a, ω) и интегрируемы на любом [a, b] [a, ω). Пусть, кроме того, всюду на [a, ω) выполнено f(x) > 0 и g(x) > 0. Если существует предел

второго. Таким образом, при 0 < K < ∞ оба интеграла сходятся и расходятся одновременно.

Доказательство. Необходимые рассуждения почти дословно повторяют доказательство аналогичной теоремы для числовых рядов. Проведите их самостоятельно.

ПРИМЕР 2. Исследуем на сходимость интеграл

получаем сходимость данного интеграла. ПРИМЕР 3. Исследуем на сходимость интеграл

+∞

cos x

x2 dx.

1

Учитывая, что

|cosx2x| ≤ x12

получаем абсолютную сходимость данного интеграла.

ПРИМЕР 4. Исследуем на сходимость интеграл

+∞

e−x2 dx.

1

Учитывая, что при x ≥ 1 выполнено e−x2 ≤ e−x, получаем сходимость заданного интеграла.

ПРИМЕР 5. Исследуем на сходимость интеграл Эйлера

π

2

ln sin xdx.

0

Учитывая, что при x → +0 справедливы следующие соотношения

1

| ln sin x| | ln x| < √x,

получаем сходимость данного интеграла.

§4. Условная сходимость несобственного интеграла

ОПРЕДЕЛЕНИЕ 4.1. Если несобственный интеграл сходится, но не абсолютно, то говорят, что он сходится условно.

ПРИМЕР 1. Исследуем на сходимость интеграл