Лосев-КлячинМиклюков МА в КИ
.pdf362 |
|
Глава 14. Функциональные последовательности и ряды |
||||||||||||||
СЛЕДСТВИЕ. Справедливо равенство |
|
|
|
|
||||||||||||
ln 2 = 1 − |
1 |
1 |
1 |
1 |
... |
|
k−1 |
1 |
|
... . |
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
2 |
+ 3 |
− 4 |
+ 5 − |
+ (−1) |
k + |
|||||||||||
|
|
|
Доказательство. При |x| < 1 по формуле для суммы бесконечной геометрической прогрессии имеем
|
1 |
|
|
∞ |
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
k |
|
|
||
|
|
1 + x |
= |
(−1)k−1xk−1. |
(2) |
|||||
|
|
|
|
|
|
=1 |
|
|
||
Ряд (2) имеет радиус сходимости R = 1. Поэтому для всех |
||||||||||
x0 (−1, 1) имеем |
|
|
|
|
|
|
||||
x0 |
dx |
|
x0 |
∞ |
∞ |
xk |
||||
0 |
|
|
|
0 |
|
|
|
|
||
1 + x = |
k0 . |
|||||||||
ln(1 + x0) = |
|
k=1 |
(−1)k−1xk−1dx = k=1 (−1)k−1 |
Тем самым формула (1) доказана для всех x0 (−1, 1). Покажем, что эта формула справедлива при x = 1. По-
скольку эта функция непрерывна при x = 1, то нам доста-
точно установить непрерывность при x = 1 функции S(x) =
∞
слева.
k=1
Доказательство этого факта дословно повторяет рассуждения предыдущей теоремы (проведите его самостоятельно).
§16. Биномиальный ряд
ТЕОРЕМА 16.1. Для всех x (−1, 1) и всех m R
выполнено
∞ |
|
|
· |
|
|
|
|
k |
|
|
− 1) |
|
|
||
(1+x)m = |
(km)xk = 1+mx+ |
m(m |
x2 |
+...+(km)xk +..., |
|||
=0 |
1 |
|
2 |
|
|
||
|
|
|
|
|
(1) |
||
где |
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
||
(km) = |
m(m − 1)(m − 2)...(m − k + 1) |
; (0m) = 1. |
|||||
|
|
k! |
|
|
|
|
Доказательство. Обозначим
f(x) = (1 + x)m.
§16. Биномиальный ряд |
363 |
Отметим, что для всех x выполнено |
|
||
|
dk |
(1 + x)m = k!(m)(1 + x)m−k, |
(2) |
|
|
||
dxk |
k |
|
|
|
|
||
то есть |
f(k)(0) = k!(km). |
(3) |
|
|
|
Рассмотрим ряд Маклорена функции (1 + x)m. В этом случае
∞ |
(4) |
S(x) = (m)xk. |
|
k |
|
k=0
Покажем, что данный ряд сходится для всех x (−1, 1). Фиксируем x0 (−1, 1), x0 = 0 и воспользуемся призна-
ком Даламбера. Тогда, полагая an = (mn )xn0 ,
lim |
|
|an+1| |
= lim |
|
(nm+1)x0n+1 |
|
= |
x0 |
|
lim |
|
(nm+1) |
|
= |
|||||||||||||||
|
|
(nm)x0n |
|
|
(nm) |
|
|||||||||||||||||||||||
n→∞ |
| |
an |
| |
|
|
n→∞ |
|
|
| |
|
|
| n→∞ |
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n!m(m |
− |
1)...(m |
− |
n |
− |
1 + |
1) |
|
|
|
|
|||||||||
= |
|
x |
0 |
|
lim |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= |
|
||||||||||
|
| |
| n→∞ |
(n + 1)!m(m |
− |
1)...(m |
− |
n + 1) |
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|m − n|
= |x0| nlim→∞ (n + 1) = |x0|.
ЗАМЕЧАНИЕ. В данном случае мы нашли радиус сходимости степенного ряда, не используя формулы Коши-Адамара. Впрочем заметим, что данная задача была ранее сформулирована в упражнении.
При x = ±1 общий член ряда an →0, следовательно ряд расходится. Таким образом, ряд (4) сходится при |x0| < 1 и расходится при |x0| ≥ 1.
Покажем теперь, что сумма ряда (4) совпадает с f(x) на интервале (−1, 1). Продифференцируем обе части равенства
(4). Тогда для всех x (−1, 1) справедливо равенство
∞ |
∞ |
|
|
k |
|
S (x) = k(km)xk−1 = |
(km+1)xk(k + 1). |
|
k=1 |
=0 |
|
Замечая, что |
|
|
(k + 1)(km+1) = m(km−1), |
|
|
получаем |
|
|
∞ |
|
|
k |
(km−1)xk. |
|
S (x) = m |
(5) |
|
=0 |
|
|
364 Глава 14. Функциональные последовательности и ряды
Отметим также, что
|
∞ |
|
∞ |
|
|
|
|
k |
|
(1 + x)S (x) = m (km−1)xk(1 + x) = m[ (km−1)xk+ |
|
|||
|
k=0 |
|
=0 |
|
∞ |
|
∞ |
∞ |
|
|
|
k |
|
|
+ |
(km−1)xk+1] = m[ |
(km−1)xk + |
(km−−11)xk] = |
|
k=0 |
k=0 |
=1 |
|
|
∞ |
∞ |
|
∞ |
|
|
|
k |
|
|
= m[1+ |
(km−1)xk+ (km−−11)xk] = m[1+ |
{(km−1)+(km−−11)}xk]. |
||
k=1 |
k=1 |
|
=1 |
|
Нетрудно показать (покажите!), что |
|
|
||
|
(m−1) + (m−1) = (km). |
|
|
|
|
k |
k−1 |
|
|
В результате получаем |
|
|
|
|
|
(1 + x)S (x) = mS(x). |
(6) |
||
Рассмотрим функцию |
|
|
|
S(x)
(1 + x)m = H(x).
Эта функция дифференцируема на (−1, 1), и
H (x) = S (x)(1 + x) − mS(x). (1 + x)m+1
В силу (6) справедливо равенство
H (x) = 0.
Таким образом H(x) = const и
S(x) = const · (1 + x)m.
Так как из (4) следует S(0) = 1, то const = 1 и
S(x) = (1 + x)m.
§17. Формула Стирлинга ПРИМЕР 1. Разложим в ряд Маклорена функцию
1 + x y = ln 1 − x.
366 Глава 14. Функциональные последовательности и ряды
(n + |
1 |
) ln( |
n + 1 |
) = 1 + |
1 |
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
+ |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
+ ... . |
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4 |
|||||||||||||||||||||||
2 |
|
|
|
|
|
|
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
3 (2n + 1) |
|
|
|
|
|
|
5 (2n + 1) |
|||||||||||||||||||||||||||||
Отсюда ясно, что |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
1 < (n + |
1 |
) ln(1 + |
|
1 |
) < 1 + |
|
|
1 |
[ |
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
+ |
|
|
|
|
|
|
1 |
|
+ ...] = |
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
4 |
|||||||||||||||||||||||||||||||||
2 |
|
|
|
|
|
|
|
n |
|
|
|
|
|
|
3 (2n + 1) |
|
|
|
|
|
|
(2n + 1) |
||||||||||||||||||||||||||||||
1 |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
= 1 + |
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
. |
|||||||||||||||||||||||||
= 1 + |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
3 |
(2n + 1)2 |
1 − |
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
12n(n + 1) |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(2n+1)2 |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Потенцируя находим: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
) |
n+ 1 |
|
|
|
1+ |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(2) |
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
e < (1 + |
|
|
2 |
< e |
12n(n+1) . |
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n |
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Введем последовательность |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
αn = |
n!e |
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
nn+ |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
Тогда |
|
|
|
|
|
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n+ 3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
αn |
|
|
|
n!e (n + 1) |
2 |
|
|
|
|
1 |
|
|
|
n+ 1 |
|||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
= |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= |
|
|
|
(1 + |
|
|
|
) |
2 . |
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
αn+1 |
nn+ 21 (n + 1)!en+1 |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
e |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
Пользуясь (2), имеем |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
α |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
e |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
12n |
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
1 < |
|
|
|
n |
< e |
|
|
= |
|
|
|
|
|
|
|
|
. |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
12n(n+1) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
αn+1 |
|
e |
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
12(n+1) |
|
|
|
|
|
|
Следовательно α1 > α2 > ... > αn > ... > 0. Таким образом, последовательность {αn} – убывает и ограничена снизу нулем, то есть существует
|
lim αn = α. |
|||
С другой стороны |
n→∞ |
|
|
|
|
|
|
|
|
αne− |
1 |
< αn+1e− |
1 |
. |
12n |
12(n+1) |
Таким образом, последовательность {αne−121n } возрастает и, очевидно, стремится к α. В результате для всех n = 1, 2, ...
выполнено
αne−121n < α < αn
и, следовательно, существует θ = θ(n) (0, 1) для которого
αne−θ12(nn) = α.
§17. Формула Стирлинга |
367 |
Пользуясь определением αn получаем
|
|
|
|
θ(n) |
|
|
|||
n! = α√n( |
n |
)ne |
|
|
, 0 < θ < 1. |
(3) |
|||
12n |
|||||||||
|
|||||||||
|
|
|
e |
|
|
Нашей задачей теперь является определение числа α. Воспользуемся доказанной ранее формулой Валлиса.
ЗАМЕЧАНИЕ (формула Валлиса). Справедливо следующее соотношение
|
1 |
|
|
(2n)!! |
|
2 |
π |
|
lim |
|
= |
. |
|||||
|
|
(2n − 1)!! |
2 |
|||||
n→∞ 2n + 1 |
|
Очевидно, справедливы равенства
(2n)!! |
|
((2n)!!)2 |
|
22n(n!)2 |
|||
|
|
= |
|
|
= |
|
. |
(2n − 1)!! |
|
(2n)! |
(2n)! |
Подставим в эту формулу вместо n! его выражение из (3), а вместо (2n)! аналогичное выражение
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(2n) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
(2n)! = α√2n( |
2n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
)2ne |
θ |
, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
24n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
e |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
где 0 < θ(2n) < 1. Получаем |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
θ(n) |
|
|
|
√ |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
22nα2n(n)2ne |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
6n |
|
|
|
4θ(n) |
θ(2n) |
|
||||||||||||||||||||||||
|
(2n)!! |
|
|
|
|
|
|
|
e |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
α |
|
|
n |
− |
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
24n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= |
|
|
|
|
|
|
n |
2n 2n |
|
|
θ(2n) |
= √ |
|
|
|
|
e |
. |
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
(2n |
− |
1)!! |
|
√ |
√ |
e |
2 |
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
24n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
α 2 n( e ) 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
Поэтому по формуле Валлиса |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
π |
|
|
|
|
|
|
1 |
|
α2 |
|
|
|
4θ(n)−θ(2n) |
= |
α2 |
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
= lim |
|
|
|
|
|
|
ne |
12n |
|
|
|
|
|
, |
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4 |
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
n→∞ |
2n + 1 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
то есть |
√2π. |
α = |
Подставляя найденное значение α в (3) приходим к формуле Стирлинга
|
|
|
|
|
|
θ |
||
|
√2πn( |
n |
)ne |
|||||
n! = |
|
, 0 < θ = θ(n) < 1. |
||||||
12n |
||||||||
|
||||||||
|
|
|
|
e |
ЗАМЕЧАНИЕ. Формула Стирлинга позволяет легко оценивать величину факториала n! при больших значениях n.
370 |
Глава 15. Несобственные интегралы |
|
+∞ |
Заметим, что между несобственными интегралами f(x)dx |
||
и числовыми рядами |
n∞=1 an существует достаточноaсерьез- |
|
ная аналогия. |
Проиллюстрируем это таблицей. |
|
|
|
общий член ряда |
подинтегральная функция |
|
an |
f(x) |
|
|
|
|
частичная сумма ряда |
собственный интеграл |
|
N |
|
A |
1 |
an |
a f(x)dx |
сумма ряда |
несобственный интеграл |
|
∞ |
|
∞ |
1 |
an |
a f(x)dx |
как предел частичной |
как предел предыдущего |
|
суммы при N → ∞ |
интеграла при A → ∞ |
|
|
|
|
остаток ряда |
интеграл |
|
∞ |
|
∞ |
|
an |
f(x)dx |
N+1 |
A |
|
|
|
|