Лосев-КлячинМиклюков МА в КИ

Устремляя n → ∞, получаем

Данное соотношение называется неравенством Бесселя5.

ЗАМЕЧАНИЕ. Теорема 4.1 допускает следующую геометрическую интерпретацию.

b

(f(x) − S2(x))2dx — длина перпендикуляра AB.

a

b

(f(x) − T2(x))2dx — длина отрезка AC

a

Теорема 4.1 утверждает, что длина перпендикуляра не больше длины наклонной.

ЗАМЕЧАНИЕ. Из неравенства Бесселя (7) вытекает, что

∞

ряд αn2 сходится. Таким образом общий член ряда αn → 0

n=0

при n → ∞, т.е. коэффициенты Фурье кусочно-непрерывной функции стремятся к 0.

5Бессель Фридрих Вильгельм (22.7.1784 – 17.3.1846) – немецкий астроном. Род. в Миндене (Германия). В 20 лет вычислил орбиту кометы Галлея. Работал в Кенигсберге (ныне Калининград). При обработке астрономических наблюдений широко применял теорию вероятностей и способ наименьших квадратов.

396 Глава 16. Ряды Фурье

Кроме того, справедливы следующие равенства

что и требовалось доказать.

§6. Теорема о локализации

Следующая теорема показывает, что поведение частичных сумм ряда Фурье в точке x зависит лишь от значений функции в сколь угодно малой окрестности этой точки, т.е. от локального строения функции в этой точке.

непрерывными, то In и In являются n-ми коэфициентами Фурье этих функций. А потому стремятся к нулю при n → ∞. В результате получаем требуемое утверждение.

§7. Представление 2π-периодической функции рядом Фурье

ЛЕММА 7.1. Пусть f(x) удовлетворяет условию Липшица на конечном интервале (a, b), т.е. существует такая константа k, что для всех x , x (a, b) выполнено

|f(x ) − f(x )| ≤ k|x − x |.

Тогда ее можно продолжить по непрерывности на [a, b]. Причем продолженная функция также удовлетворяет условию Липшица.

Доказательство. Несложно показать (покажите!), что из условия Липшица следует выполнение условий критерия Коши существования предела функции в точке. Таким образом, на основании критерия Коши, получаем существование следующих величин

Следовательно, функция f(x) продолжима по непрерывности. Поэтому для доказательства леммы нам достаточно проверить, что

|f(x) − f(a)| ≤ k|x − a|, x [a, b], |f(x) − f(b)| ≤ k|x − b|, x [a, b].

Пусть y (a, b) – произвольная точка. Тогда выполнено

|f(x) − f(y)| ≤ k|x − y|.

Переходя в данном неравенстве к пределу при y → a + 0 или y → b−0 и пользуясь соответствием (1) получаем нужное.

ОПРЕДЕЛЕНИЕ 7.1. Будем говорить, что f(x) кусочнолипшицева на [a, b], если существует такое разбиение [a, b] на

отрезки [a, x1], [x1, x2], . . . [xn−1, b], что на каждом из отрезков разбиения функция f(x) удовлетворяет условию Липшица. При этом при определении липшицевости на частичном сегменте [xk−1, xk] в качестве значений функции на концах сегмента следует брать предельные значения f(xk−1 + 0) и

f(xk − 0).

Будем говорить, что f(x) — кусочно-липшицева на всей числовой прямой (−∞, ∞), если она обладает этим свойством на всяком отрезке [a, b].

ЛЕММА 7.2. Если f(x) — кусочно-липшицева, то для всех точек x0 существуют конечные пределы

lim f(x) = f(x0 ± 0).

x→x0±0

Доказательство. Данное утверждение сразу следует из Леммы 7.1.

ТЕОРЕМА 7.1. Пусть f(x) — 2π-периодическая и кусочно-липшицева функция. Тогда для всех x0 ее ряд Фурье имеет конечную сумму S(x0), причем

Доказательство. Как было доказано ранее (теорема 5.4):

Точно так же, как в параграфе "Интеграл Дирихле" можно доказать (докажите!), что

Из (3) и (4) следует, что для произвольного x0:

Sn(x0) − f(x0 + 0) + f(x0 − 0) = 2

где

f(x0 + t) − f(x0 + 0) + f(x0 − t) − f(x0 − 0) g(t) = 2 sin 2t .

Покажем, что функция g(t) принадлежит классу F[0, π]. Так как f(x) кусочно-липшицева, то на всяком отрезке [a, b] эта функция имеет конечное число точек разрыва I-го рода.

Рассмотрим сначала случай, в котором x0 является точкой непрерывности f(x). Тогда функция g(t) имеет конечное число точек разрыва на (0, π]. Покажем интегрируемость g(t) на отрезке [0, π]. Так как g(t) кусочно-непрерывна, то достаточно показать, что g(t) ограничена в окрестности точки t = 0.