Лосев-КлячинМиклюков МА в КИ

СЛЕДСТВИЕ. Предположим, что функция z = f(x, y) непрерывно дифференцируема в окрестности множества t-уровня Et, причем градиент f(x, y) = 0 всюду вдоль Et. Тогда Et имеет непрерывно меняющуюся касательную.

Доказательство. В каждой точке (x, y) Et существует касательная, перпендикулярная вектору f(x, y). Так какf(x, y) меняется непрерывно, то и касательная меняется непрерывно.

ЗАМЕЧАНИЕ. Аналогичные свойства имеют место и для функций нескольких переменных f(x1, x2, . . . , xn). Еслиf(x1, x2, . . . , xn) обладает указанными выше свойствами, то множество уровня

Et = {x Rn : f(x1, x2, . . . , xn) = t}

имеет касательные (n−1)-мерные плоскости. Все доказательства при этом практически не меняются.

§21. Теорема о неявной функции

Приведем сначала некоторые наводящие соображения. Пусть z = f(x, y) – непрерывно дифференцируемая в области

D R2 функция. Пусть (x0, y0) D – точка, в которой

∂f

∂y (x0, y0) = 0 ,

т.е. в этой точке вектор f(x0, y0) не горизонтален.

Рассмотрим множество уровня

Et = {(x, y) D : f(x, y) = f(x0, y0)}.

Точка (x0, y0) лежит на Et. В соответствии с результатами предыдущего параграфа множество Et имеет касательную в точке (x0, y0), ортогональную f(x0, y0). Так как градиент

не горизонтален, то касательная не вертикальна. Поэтому в некоторой окрестности точки (x0, y0) часть линии Et проектируется однозначно на ось OX, т.е. может быть представлена как график функции y = g(x). Таким образом, существует функция y = g(x), y0 = g(x0), определенная в некоторой окрестности точки x0 и такая, что

f(x, g(x)) = f(x0, y0) = const. (1)

Функция y = g(x) называется функцией, заданной неявно уравнением (1).

Найдем производную g (x). Так как f(x, g(x)) = const, то, взяв производную по x от обеих частей равенства, мы имеем

∂f∂x(x, g(x)) + ∂f∂y (x, g(x))g (x) = 0 ,

Сформулируем точный результат.

ТЕОРЕМА 21.1. Пусть z = f(x, y) – непрерывно дифференцируемая функция, определенная на некотором открытом множестве D R2. Пусть (x0, y0) D – точка, в которой ∂f∂y (x0, y0) = 0, и пусть

L = {(x, y) : f(x, y) = f(x0, y0)} – множество уровня. Тогда существует интервал (x0 − δ, x0 + δ), над которым

часть L, содержащая точку (x0, y0), является графиком функции y = g(x) так, что g(x0) = y0. При этом функция y = g(x) непрерывно дифференцируема и ее производная подсчитывается по формуле (2).

Доказательство. Так как производная ∂f∂y непрерывна в D,

то существует замкнутый квадрат K с центром в точке (x0, y0) и сторонами, параллельными осям координат, в котором про-

изводная ∂f∂y не обращается в нуль. Пусть

E= {(x, y) K : f(x, y) = f(x0, y0)}

–часть множества уровня, лежащая в квадрате K и содержащая точку (x0, y0).

Обозначим через Ex проекцию множества E на ось OX. Покажем, что над каждой точкой x Ex расположена од-

на и только одна точка множества E. Предположим противное, т.е. существуют x Ex и точки (x, y ), (x, y ) E. То-

гда функция h(y) = f(x, y), рассматриваемая как функция переменной y, принимает в точках y , y значения, равные f(x0, y0). Это невозможно, поскольку производная

dhdy = ∂f∂y (x, y)

либо строго положительна, либо строго отрицательна в K. Таким образом, существует интервал (x0 − δ, x0 + δ), над

каждой точкой которого расположена одна и только одна точка (x, y) E, т.е. на этом интервале линия L может быть задана явно посредством функции y = g(x).

В соответствии с результатами предыдущего параграфа график этой функции имеет в каждой точке касательную, меняющуюся непрерывно, т.е. g(x) имеет непрерывную производную, вычисляемую по формуле (2). Теорема доказана.

ЗАМЕЧАНИЕ. Аналогичный результат справедлив для функций нескольких переменных. Именно, если f имеет непрерывные частные производные в некоторой окрестности точки x0 = (x01, x02, ..., x0n) и

∂f

∂xn

(x01, x02, . . . , x0n) = 0 ,

то существует окрестность точки x = (x01, x02, . . . , x0(n−1)) в плоскости xn = 0, над которой множество уровня {x Rn : f(x) = f(x0)} является графиком некоторой функции xn = g(x1, . . . , xn−1).

Производные функции g находятся в точности так же.

ПРИМЕР 1. Найдем производную функции y = f(x), заданной неявно равенствами

e−x cos y + sin y = e , y = π при x = 1.

Убедимся сначала, что функция

F (x, y) = e−x cos y + sin y

имеет множество уровня F (x, y) = e, действительно проходящее через точку (1, π). Имеем

F (1, π) = e− cos π + sin π = e.

После этого находим производную неявно заданной функции y = f(x). Легко видеть, что

Если x = 1, f(1) = π, то

f (1) = e.

§22. Понятие об условном экстремуме. Правило неопределенных множителей Лагранжа

Изучим задачу об отыскании точек экстремума непрерывно дифференцируемой функции z = f(x, y), если аргументы x, y не являются независимыми переменными, а связаны до-

Тогда по теореме о неявной функции существует окрестность точки x = a, в которой кривая ϕ(x, y) = 0 может быть записана в явной форме y = h(x), h(a) = b.

§22. Понятие об

что достигается в точках (1, 1), (−1, −1), и

min u(x, y) = −1,

x2+y2≤2

что достигается в точках (−1, 1), (1, −1).

Глава 13

Числовые ряды

§1. Понятие числового ряда

ОПРЕДЕЛЕНИЕ 1.1. Пусть {an} – произвольная последовательность вещественных чисел. Символ

∞ a1 + a2 + . . . + ak + . . . ≡ ak

k=1

называется бесконечным рядом. Числа ak называются членами ряда, а числа

n

Sn = ak = a1 + a2 + . . . + an

k=1

– частичными суммами (или отрезками) ряда. Конечный либо бесконечный предел S последовательности частичных сумм {Sn} при n → ∞ называется суммой ряда.

Подчеркнем, что сумма ряда — это предел частичных сумм, но не результат применения бесконечного числа операций сложения.

Если ряд имеет конечную сумму, то его называют сходящимся. В случае, когда сумма бесконечна (±∞), либо не существует, ряд называется расходящимся.

Замечания об обозначениях. Несмотря на различие между понятиями "ряд" и "сумма ряда" очень часто их обозна-

чают одним и тем же символом. Так, например, часто под

∞

символом ak понимают именно сумму ряда. (Безусловно,

k=1

в том и только том случае, когда она существует.) ПРИМЕР 1. Рассмотрим ряд

∞

1 − 1 + 1 − 1... = (−1)k−1.

k=1