Лосев-КлячинМиклюков МА в КИ
.pdf
§10. Классы интегрируемых функций |
191 |
Доказательство. Пусть f |
– произвольная непрерывная на |
[a, b] функция. По теореме Кантора f равномерно непрерыв-
на на [a, b], т.е. для любого числа ε > 0 найдется δ(ε) > 0 такое, что для всех точек x , x [a, b] и |x − x | < δ(ε) выполнено |f(x ) − f(x )| < ε.
Выберем |
разбиение T отрезка [a, b] с мелкостью |
µ(T ) < δ(ε). На каждом из отрезков [xi, xi+1] выполнено |
|
−ε < f(x ) − f(x ) < ε x , x [xi, xi+1]. |
|
Переходя в |
этом неравенстве к точной верхней грани по |
x [xi, xi+1] и, далее, к точной нижней грани по x [xi, xi+1], получаем Mi − mi ≤ ε. Здесь, как и выше, mi и Mi суть точ-
ные нижняя и верхняя грани f на [xi, xi+1] соответственно. Тогда
n−1 |
n−1 |
|
i |
S(T ) − s(T ) = (Mi − mi) ∆xi ≤ ε |
∆xi = ε (b − a). |
i=0 |
=0 |
Пользуясь следствием из критерия интегрируемости, получаем нужное. 
10.2.Интегрируемость кусочно-непрерывных функций
ТЕОРЕМА 10.2. Всякая ограниченная на отрезке функция, имеющая конечное число точек разрыва, интегрируема по Риману на этом отрезке.
Доказательство. Если функция f является тождественной константой, то утверждение теоремы очевидно справедливо. Таким образом, достаточно рассмотреть случай, в котором функция f отлична от тождественной постоянной и имеет на [a, b] одну единственную точку разрыва. Обозначим через Ω
– колебание f на [a, b]. Ясно, что 0 < Ω < ∞. (Почему?) Пусть c [a, b] – точка разрыва функции f. Зададим ε > 0
и выберем точки c и c так, чтобы
c < c < c , c − c < ε/(3Ω).
Функция f непрерывна на [a, c ] и [c , b]. Рассуждая как при доказательстве предыдущей теоремы, найдем разбиение T
отрезка |
[a, c ] |
и разбиение |
T |
отрезка [c , b] |
такие, |
что |
|||||||||||||||||
S(T ) − s(T ) < ε/3 и S(T ) − s(T ) < ε/3. |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
Пусть T – разбиение, состоящее из точек разбиения T , то- |
|||||||||||||||||||||
чек c , c и точек разбиения T . Тогда выполнено |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
S |
( |
T |
)− |
s |
T |
) = |
S T |
)− |
s |
T |
)+ |
S |
( |
T |
)− |
s T |
M |
m |
) ( |
c |
− |
c |
) ≤ |
|
|
( |
|
( |
( |
|
|
|
( |
)+(!− |
|
|
|
||||||||||
192 |
|
|
|
|
|
Глава 9. Определенный интеграл |
||||
≤ |
ε |
+ |
ε |
+ Ω (c − c ) ≤ |
2ε |
+ |
|
ε |
= ε. |
|
|
|
|
|
|
|
|||||
3 |
3 |
3 |
3 |
|||||||
! { } {
Здесь M = sup f(x) : x [c , c ] , а m = inf f(x) : x
[c , c ]}. Пользуясь следствием из критерия интегрируемости, получаем нужное. 
10.3.Интегрируемость монотонных функций
ТЕОРЕМА 10.3. Всякая монотонная на отрезке функция интегрируема по Риману на этом отрезке.
Доказательство. Пусть f – произвольная неубывающая на [a, b] функция. Зададим ε > 0 и устроим разбиение T отрезка [a, b] на n равных промежутков так, чтобы длина каждого из них была не более ε. Тогда в обозначениях предыдущего пункта выполнено
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n−1 |
|
|
|
|
|
|
n−1 |
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
i |
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
S(T ) − s(T ) = |
|
|
Mi ∆xi − mi ∆xi = |
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
i=0 |
|
|
|
|
|
|
=0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= n−1 |
(M m ) |
b − a |
= |
b − a |
n−1(f(x ) f(x )) = |
|
|||||||||||||||||||
|
|
i − i |
|
n |
|
|
|
|
n |
|
i |
i+1 |
− |
i |
|
|
|
|||||||||
|
i=0 |
|
|
− |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
− |
=0 |
|
|
− |
|
|
· · · |
|
||||
|
n |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
1 |
|
3 |
|
2 |
|
|
|||||||
= |
b − a |
[f(x |
) |
|
f(a) + f(x |
) |
|
|
f(x |
) + f(x |
) |
|
f(x |
) + |
|
+ |
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
+f(b) |
− |
f(x |
n−1 |
)] = |
b − a |
[f(b) |
− |
f(a)] , |
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
|||||
т.е.
S(T ) − s(T ) ≤ ε (f(b) − f(a)).
Пользуясь следствием из критерия интегрируемости, заключаем, что f интегрируема по Риману на [a, b]. 
ЗАМЕЧАНИЕ. Всякая кусочно-непрерывная на [a, b] функция имеет конечное число точек разрыва. Легко видеть, что функция
f(x) = |
0 |
при |
x = 0 |
1/n |
при |
x (1/(n + 1), 1/n] n = 1, 2, . . . |
неубывает на [0, 1] и имеет бесконечное число точек разрыва. Таким образом, монотонные функции могут не входить в класс кусочно-непрерывных функций. Поэтому доказанная в
данном пункте теорема не вытекает из предыдущей.
Глава 10
Свойства интегрируемых функций
§1. Свойства определенного интеграла
1.1.Аддитивность определенного интеграла
ТЕОРЕМА 1.1. Если f интегрируема на [a, c] и a < b < c, то f интегрируема на [a, b] и [b, c]. При этом
b |
f(x) dx + c |
f(x) dx = c f(x) dx. |
(1) |
a |
b |
a |
|
Обратно, если f интегрируема на [a, b] и [b, c], то она интегрируема на [a, c] и имеет место соотношение (1).
Доказательство. Предположим, что f интегрируема на [a, c]. Зададим ε > 0. По следствию из критерия интегрируемости существует разбиение Tε отрезка [a, c] такое, что
S(Tε) − s(Tε) < ε.
Пусть x0 = a < x1 < x2 < · · · < xn = c – точки деления разбиения Tε. Предположим, что b попала в отрезок [xi, xi+1].
Рассмотрим разбиения
Tε = {x0 < x1 < · · · < xi ≤ b} и Tε = {b ≤ xi+1 < · · · ≤ c}.
Пусть Tε – разбиение, получающееся объединением Tε и Tε . Тогда справедливо
S(Tε) − s(Tε) ≥ S(Tε ) − s(Tε ) =
= S(Tε) − s(Tε) + S(Tε ) − s(Tε ) ≥ 0,
§2. Оценки интегралов |
197 |
Отсюда, |
|
b b
g(x) dx − f(x) dx ≥ 0.
a a
ТЕОРЕМА 2.3. Предположим, что f интегрируема на
[a, b] и
m = inf f(x), |
M = sup f(x). |
x [a,b] |
x [a,b] |
Тогда
b
m (b − a) ≤ f(x) dx ≤ M (b − a).
a
Доказательство. Из интегрируемости функции f следует ее ограниченность и, стало быть, существование M и m. Функция (f − m) интегрируема и неотрицательна. Согласно теореме 2.1 будем иметь
a b [f(x) − m] dx ≥ 0 и |
a b f(x) dx − a b m dx ≥ 0. |
Отсюда, |
|
b |
|
f(x) dx ≥ m (b − a).
a
Доказательство второго соотношения в двойном неравенстве аналогично.
ТЕОРЕМА 2.4. Если функция f интегрируема на [a, b], то функция |f| также интегрируема, причем
|
|
|
≤ |
|
| |
|
| |
|
|
b |
f(x) dx |
|
a |
b |
f(x) |
|
dx. |
a |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Доказательство. Пусть T – произвольное разбиение отрезка [a, b] вида a = x0 ≤ x1 . . . ≤ xn = b и g – произвольная функция, определенная на [a, b]. Введем обозначения
mi(g) = inf |
g(x), Mi(g) = sup g(x), |
x [xi,xi+1] |
x [xi,xi+1] |
198 Глава 10. Свойства интегрируемых функций
и
n−1 |
n−1 |
|
|
sg(T ) = |
mi(g)∆xi, Sg(T ) = Mi(g)∆xi. |
i=0 |
i=0 |
Для доказательства интегрируемости |f| нам достаточно показать, что по заданному ε > 0 найдется разбиение T отрезка [a, b] такое, что
S|f|(T ) − s|f|(T ) ≤ ε,
или
n−1
(Mi(|f|) − mi(|f|)) ∆xi ≤ ε.
i=0
Заметим, что |
|
Mi(|f|) − mi(|f|) ≤ Mi(f) − mi(f). |
(1) |
УПРАЖНЕНИЕ 2. Докажите неравенство (1).
Из неравенства (1) получаем
S|f|(T ) − s|f|(T ) ≤ Sf (T ) − sf (T ) T.
Так как f интегрируема на [a, b], то согласно следствия из критерия интегрируемости правая часть данного соотношения может быть сделана сколь угодно малой за счет подходящего выбора разбиения T .
Тем самым, может быть сделана сколь угодно малой и левая часть соотношения. Пользуясь еще раз следствием из
