Лосев-КлячинМиклюков МА в КИ

ОПРЕДЕЛЕНИЕ 11.2. Предположим, что производная порядка (n − 1) функции y = f(x) дифференцируема в точке x0. Определим дифференциал n-го порядка dny (в точке x0)

как дифференциал δ(dn−1y) от дифференциала (n −1)-го порядка, взятый при δx = dx.

УПРАЖНЕНИЕ 1. Пользуясь методом математической индукции, докажите, что dny = f(n)(x0)(dx)n.

Пусть функции y = ϕ(x) и x = f(t) таковы, что определена сложная функция y = ϕ[f(t)]. Предположим, что существуют производные ϕ (x) и f (t). Тогда сложная функция также дифференцируема. Найдем дифференциал функции ϕ(x)

dy = ϕxdx.

Найдем дифференциал сложной функции. Имеем

dy = ϕx · ftdt.

Однако ftdt = dx и из предыдущего соотношения находим dy = ϕxdx,

т.е. мы вернулись к прежней форме дифференциала.

Вывод. Форма дифференциала может быть сохранена даже в том случае, если прежняя независимая переменная заменена новой. Другими словами, мы имеем право писать дифференциал dy = yxdx, не обращая внимания на то, независима ли переменная x или нет. Разница лишь в том, что dx – не произвольное приращение ∆x, а дифференциал x как функции от t. Это свойство называется инвариантностью формы

первого дифференциала.

Дифференциалы второго (и более) порядка не обладают инвариантностью формы. Действительно, пусть y = ϕ(x) и x = f(t). Если бы дифференциал второго порядка обладал свойством инвариантности, то была бы справедлива следующая формула

и получить (4) из (2) формальной заменой dx2 на выражение

(5) невозможно.

Глава 5

Основные теоремы дифференциального исчисления

§1. Необходимое условие локального экстремума

f(x) − f(x0) > 0. x − x0

(Если непрерывная функция имеет строго положительный предел в точке, то в некоторой окрестности она сама положительна).

Далее имеем

x0 < x < x0 + δ = x − x0 > 0 = f(x) − f(x0) > 0,

x0 − δ < x < x0 = x − x0 < 0 = f(x) − f(x0) < 0.

В случае f (x0) < 0 рассуждения аналогичны.

ТЕОРЕМА 1.1 (Ферма1). Пусть y = f(x) определена на (a, b) и в некоторой точке ξ (a, b) принимает наибольшее (наименьшее) значение. Тогда, если существует конечная производная f (ξ), то

f (ξ) = 0.

Доказательство. Положим для определенности, что f при-

растает вблизи ξ. Если f (ξ) < 0, то f убывает вблизи ξ. В обоих случаях f не может иметь при x = ξ максимального значения. Противоречие.

ПРИМЕР 1. Существенно, что ξ – внутренняя точка промежутка. Это видно из примера функции y = x, заданной на полуинтервале (0, 1] и достигающей в правом конце этого промежутка своего максимального значения. Здесь производная в точке ξ = 1 строго положительна.

ПРИМЕР 2. Существенно существование конечной производной f (ξ). Действительно, рассмотрим функцию

Данная функция принимает наибольшее значение при x = 12 , но производная f (12 ) в нуль не обращается, точнее f (12 ) не существует.

1Ферма Пьер (17.8.1601-12.1.1665) – юрист и математик. Род. в Бомон-де-Ломань (Франция). С 1631 до конца жизни работал советником парламента в Тулузе. На досуге изучал математику, занимался исследованиями в области теории чисел, геометрии, алгебры, теории вероятностей.

ОПРЕДЕЛЕНИЕ 1.1. Пусть y = f(x) – функция, определенная на множестве X R. Точка x0 X называется точкой локального максимума (локального минимума), а значения функции в ней – локальным макcимумом (локальным минимумом) функции f, если найдется окрестность (x0 −ε, x0 +ε) X, ε > 0, в каждой точке которой выполнено

f(x) ≤ f(x0) (f(x) ≥ f(x0)).

Если

f(x) < f(x0) (f(x) > f(x0))

для всех x = x0 в этой окрестности, то точка x0 называется точкой строгого локального максимума (строгого локального минимума).

ОПРЕДЕЛЕНИЕ 1.2. Точки локального максимума (локального минимума) называются точками локального экстремума, а значения функции в них — локальными экстремумами функции.

ТЕОРЕМА 1.2 (другая формулировка теоремы Ферма). Если функция f : X → R имеет локальный экс-

тремум в точке x0 X и дифференцируема в x0, то ее производная f (x0) = 0.

УПРАЖНЕНИЕ 1. Найти точки локального экстремума и локальные экстремумы функции

y = sin x1 .

§2. Условие обращения в нуль производной (теорема Ролля)

ТЕОРЕМА 2.1 (Ролля2). Предположим, что функция f определена и непрерывна на замкнутом промежутке [a, b] и имеет конечную производную f , по крайней мере, на интервале (a, b). Если f(a) = f(b), то существует точка ξ (a, b) такая, что f (ξ) = 0.

2Ролль Мишель (21.4.1652-8.11.1719) – математик, член Парижской АН (1685). Род. в Амбере (Франция). Развил метод отделения действительных корней алгебраических уравнений.

116 Глава 5. Основные теоремы дифференциального исчисления

Доказательство. Так как функция f непрерывна на отрезке [a, b], то она принимает на этом промежутке свои наибольшее M и наименьшее m значения (теорема Вейерштрасса).

Возможны два случая.

i) Если M = m, то f(x) ≡ const на [a, b]. Тогда f (x) = 0

x [a, b].

ii) Пусть M > m. Так как f непрерывна на [a, b], то оба эти значения функцией достигаются. Однако f(a) = f(b), и потому, хотя бы одно из значений M или m достигается в некоторой внутренней точке ξ (a, b). По теореме Ферма получаем, что f (ξ) = 0.

Существенность условий теоремы

ПРИМЕР 1. Рассмотрим функцию f(x) = x − [x] на [0, 1]. Данная функция принимает равные значения на концах отрезка, но здесь f (x) ≡ 1 на (0, 1). Функция имеет разрыв в точке x = 1. Следовательно, предположение о непрерывности f на отрезке существенно.

ПРИМЕР 2. Напомним пример 2 предыдущего параграфа. А именно, рассмотрим функцию

Данная функция непрерывна и принимает равные значения на концах промежутка. Производная f в нуль не обращается. Здесь не существует f (12 ).

ПРИМЕР 3. Рассмотрим функцию y = x на [0, 1]. Данная функция непрерывна на отрезке и имеет конечную производную в каждой его точке. Однако, f нигде в нуль не обращается. Здесь f(a) = f(b).

§3. Первая теорема "о среднем" дифференциального исчисления (формула Лагранжа)

ТЕОРЕМА 3.1. Предположим, что функция f непрерывна на [a, b] и имеет конечную производную f всюду на (a, b). Тогда существует точка ξ (a, b) такая, что

f(b) − f(a) = f (ξ)(b − a).

Доказательство. Рассмотрим вспомогательную линейную функцию F (x) = kx + c, где постоянные k и c выбраны так, чтобы

F (a) = f(a) и F (b) = f(b).

Отсюда находим

F (x) = f(a) + f(b) − f(a)(x − a). b − a

Функция ϕ(x) = F (x) − f(x) удовлетворяет условиям теоремы Ролля и, тем самым, существует точка ξ (a, b) такая, что ϕ (ξ) = F (ξ) − f (ξ) = 0. Следовательно,

f(b) − f(a) − f (ξ) = 0, b − a

и мы получаем нужное.

Доказанная формула носит название формулы Лагранжа3

3Лагранж Жозеф Луи (25.1.1736-10.4.1813) – математик и механик, член Берлинской АН (1759), Парижской АН (1772), почетный член Петербургской АН (1776). Род. в Турине (Италия). Его сочинения по математике, механике и астрономии составляют 14 томов.

(или формулы конечных приращений). Она, очевидно, сохранит силу и при a > b.

Зафиксируем произвольно x0 (a, b) и зададим приращение ∆x > 0 так, чтобы x0 + ∆x [a, b]. Применим формулу Лагранжа к отрезку [x0, x0 + ∆x]. Точку ξ, лежащую между x0 и x0 + ∆x, можно представить в виде

ξ = x0 + θ∆x, 0 < θ < 1.

Тем самым, формулу Лагранжа можно переписать следующим образом

f(x0 + ∆x) − f(x0) = f (x0 + θ∆x)∆x.

§4. Некоторые следствия из формулы Лагранжа

4.1.Условия постоянства функции

ТЕОРЕМА 4.1. Если функция f непрерывна на [a, b], дифференцируема на (a, b) и

x (a, b) f (x) = 0,

то f ≡ const.

Доказательство. Пусть x (a, b) – произвольная точка. Применяя теорему Лагранжа к функции f на отрезке [a, x], получаем

f(x) − f(a) = f (ξ)(x − a) = 0.

Таким образом,

f(x) = f(a) x [a, b].

4.2.Условия монотонности функции

ТЕОРЕМА 4.2. Пусть f – функция, непрерывная на [a, b] и дифференцируемая на (a, b). Для того, чтобы f возрастала (убывала) на [a, b] достаточно, чтобы

x (a, b) f (x) > 0 (f (x) < 0).

Доказательство. Пусть x1, x2 [a, b] – произвольные точки и пусть x1 < x2. На основании теоремы Лагранжа, применяемой к функции f на отрезке [x1, x2], имеем

Так как x2 > x1, то

f(x2) − f(x1) > 0 и f(x2) > f(x1).

Аналогично проверяется и условие f < 0 убывания f на

[a, b].

УПРАЖНЕНИЕ 1. Сформулировать и доказать самостоятельно соответствующие утверждения о достаточных условиях неубывания и невозрастания функции на отрезке.

4.3.Условие Липшица

ТЕОРЕМА 4.3. Если функция f имеет на [a, b] ограниченную производную, то она удовлетворяет на [a, b] условию Липшица.

Доказательство. Пусть M > 0 – постоянная такая, что

|f (x)| ≤ M x [a, b].

По формуле Лагранжа для произвольной пары точек x1 < x2

имеем

f(x2) − f(x1) = f (ξ)(x2 − x1).

Отсюда

|f(x2) − f(x1)| = |f (ξ)||x2 − x1| ≤ M|x2 − x1|,

что и требуется.

§5. Вторая разность

Величина ∆f(x) = f(x + ∆x) − f(x) называется первой разностью. Второй разностью называется первая разность от первой разности, а именно,

∆2f(x) = ∆(∆f(x)) = [f(x + ∆x + ∆x) − f(x + ∆x)]−

−[f(x + ∆x) − f(x)] = f(x + 2∆x) − 2f(x + ∆x) + f(x).

Разности более высокого порядка определяются по индукции

∆k+1f(x) = ∆(∆kf(x)).

ТЕОРЕМА 5.1. Предположим, что функция f имеет вторую производную в некоторой окрестности точки

x = a, непрерывную в точке x = a. Тогда

Доказательство. Согласно теореме Лагранжа существует точка ξ, заключенная между a и a + ∆x, для которой

∆2f(a) = ∆ (f(a + ∆x) − f(a)) = (f (ξ + ∆x) − f (ξ)) ∆x.

Применяя еще раз формулу Лагранжа, находим

f (ξ + ∆x) − f (ξ) = f (η)∆x,

где η – точка между ξ и ξ + ∆x. Таким образом,

∆2f(a) = f (η)(∆x)2,

и потому

ПРИМЕР. Заметим, что существование предела правой части (1) вовсе не влечет существования второй производной функции в точке. Функция

x3 sin x1 при x = 0,

f(x) =

0при x = 0.

не имеет второй производной в точке x = 0 (проверить!), однако,

∆2f(0)

(∆x)2 → 0 при ∆x → 0.