Лосев-КлячинМиклюков МА в КИ

ПРИМЕР 2.

Пусть E – шаровой слой

{x = (x1, x2, x3) R3 : 0 < r ≤ |x| ≤ R < ∞}.

Здесь все точки сгущения принадлежат E.

ПРИМЕР 3. Пусть E = {a} {b}, где a, b R2 и a = b.

Множество E не имеет точек сгущения.

Таким образом, точка сгущения может как принадлежать, так и не принадлежать множеству E.

ОПРЕДЕЛЕНИЕ 2.2. Множество E Rn называется замкнутым в Rn, если оно содержит все свои точки сгущения.

Говорят, что точка x0 Rn является точкой прикосновения множества E, если всякая ε-окрестность Oε(x0) содержит хотя бы одну точку x E.

Множество всех точек прикосновения E обозначается сим-

волом E и называется замыканием E.

ОПРЕДЕЛЕНИЕ 2.3. Пусть E Rn – множество и x0 E

– некоторая точка. Точка x0 называется внутренней точкой E, если найдется окрестность Oε(x0), полностью содержащаяся в E.

ОПРЕДЕЛЕНИЕ 2.4. Множество, все точки которого являются внутренними, называется открытым.

ОПРЕДЕЛЕНИЕ 2.5. Пусть {ak}∞k=1 – произвольная последовательность точек в Rn. Будем говорить, что

ak → a Rn при k → ∞ и писать lim ak = a, если ε > 0

k→∞

номер N(ε) такой, что k > N(ε) выполнено |ak − a| < ε.

ПРИМЕР 4.

n−1

% $

Пусть ak = (0, . . . , 0, k1 ).

Последовательность {ak} → 0 при k → ∞. Пусть ak = 21k , 31k R2, k = 1, 2, ....

Здесь последовательность {ak} → 0 при k → ∞.

k → ∞ тогда и только тогда, когда i = 1, 2, . . . , n выполнено aik → ai.

Доказательство. Пусть ak → a. Тогда

i=1

т.е. |ak − a| → 0 при k → ∞. Теорема доказана.

УПРАЖНЕНИЕ 1. Какие точки не являются точками сгущения множества E?

УПРАЖНЕНИЕ 2. Привести пример множества, не являющегося ни замкнутым, ни открытым.

УПРАЖНЕНИЕ 3. Привести пример множества в Rn, являющегося одновременно и замкнутым и открытым.

УПРАЖНЕНИЕ 4. Может ли одна и та же последователь-

ность точек an Rn сходиться к двум различным пределам

a и a ?

§3. Ограниченные множества. Теорема Больцано

– Вейерштрасса. Критерий Коши сходимости последовательности

Множество A Rn называется ограниченным, если найдется постоянная M > 0 такая, что

|x| < M для всех x A ,

т.е. множество A помещается в шаре радиуса M с центром в начале координат.

УПРАЖНЕНИЕ 1. Привести пример замкнутого, но неограниченного множества.

УПРАЖНЕНИЕ 2. Какие множества в Rn являются неограниченными?

УПРАЖНЕНИЕ 3. Доказать, что сумма двух ограниченных множеств есть множество ограниченное.

УПРАЖНЕНИЕ 4. Доказать, что из ограниченности множества A Rn следует неограниченность множества Rn \ A. Верно ли обратное утверждение?

ТЕОРЕМА 3.1 (Больцано – Вейерштрасса). Из всякой ограниченной последовательности точек {ak}∞k=1 в Rn можно извлечь сходящуюся подпоследовательность.

Доказательство. Предположим для простоты, что n = 2 и ak = (xk, yk). Условие ограниченности последовательности {ak} означает, что найдется постоянная M > 0 такая, что

x2k + yk2 ≤ M для всех k = 1, 2, . . . .

Следовательно, каждая из последовательностей {xk}∞k=1 и {yk}∞k=1 ограничена и мы вправе воспользоваться теоремой Больцано-Вейерштрасса для одномерного случая.

Таким образом, существует подпоследовательность {xkl } → x. Соответствующая ей подпоследовательность {ykl } ограничена и, пользуясь еще раз теоремой Больцано-Вейер- штрасса, находим подпоследовательность {ykls } → y при s → ∞.

Последовательность точек (xkls , ykls ) сходится к некоторой точке (x, y) R2 и теорема доказана.

УПРАЖНЕНИЕ 5. Дать определение последовательности Коши (фундаментальной последовательности) точек в Rn.

УПРАЖНЕНИЕ 6. Доказать критерий Коши сходимости последовательности точек в Rn.

§4. Предел и непрерывность функции нескольких переменных

Пусть y = f(x) = f(x1, x2, . . . , xn) – функция, определенная на множестве E Rn с областью значений в R. Пусть

x0 – точка сгущения E.

ОПРЕДЕЛЕНИЕ 4.1. Число y0 R называется пределом

f(x) при x → x0, если для любой последовательности точек {xk}∞k=1 → x0, xk E, xk = x0, выполнено f(xk) → y0.

ОПРЕДЕЛЕНИЕ 4.2. Число y0 R называется пределом

f(x) при x → x0 и обозначается lim f(x) = y0 (или f(x) → y0

x→x0

при x → x0), если ε > 0 такая δ-окрестность точки x0, что при изменении x E в проколотой δ-окрестности выполнено |f(x) − y0| < ε, т.е. ε > 0 δ(ε) > 0 так, что x E , x = x0, |x − x0| < δ(ε) выполнено |f(x) − y0| < ε.

ТЕОРЕМА 4.1. Определения 4.1 и 4.2 предела функции нескольких переменных в точке эквивалентны.

Доказать самостоятельно (см. также теорему об эквивалентности пределов по Коши и по Гейне).

УПРАЖНЕНИЕ 1. Дать определение (конечного) предела функции нескольких переменных в бесконечно удаленной точке

lim f(x) = y0 R.

|x|→+∞

УПРАЖНЕНИЕ 2. Дать определения пределов

lim f(x) = ±∞

x→x0

в случаях x0 Rn и x0 = ∞.

УПРАЖНЕНИЕ 3. Сформулировать и доказать аналоги теоремы 4.1 для указанных пределов.

ОПРЕДЕЛЕНИЕ 4.3. Пусть x0 E – точка сгущения множества E Rn. Функция f называется непрерывной в x0, если

x→x0 x E

Функция f разрывна в точке сгущения x0 E, если предел

(1) не существует, либо не равен f(x0).

УПРАЖНЕНИЕ 4. Сформулируйте определение непрерывности функции нескольких переменных по отдельной переменной.

ВНИМАНИЕ, ЛОВУШКА!!! Функция нескольких переменных может быть непрерывной по каждой переменной в отдельности, однако не быть непрерывной в смысле определения 4.3.

ТЕОРЕМА 5.1. Пусть z = f(x, y) – функция, определенная всюду в прямоугольнике

R = {(x, y) R2 : x1 < x < x2, y1 < y < y2}

за возможным исключением точки (x0, y0) R. Предположим, что

i) существует (конечный или нет) предел

lim f(x, y) = A;

(x,y)→(x0,y0)

ii) при любом y (y1, y2) существует (конечный) предел по x

lim f(x, y) = ϕ(y).

x→x0

Тогда существует повторный предел

lim ϕ(y) = lim lim f(x, y) = A.

Доказательство. Докажем теорему в предположении, что A = ±∞. В указанных исключительных случаях проведите доказательство самостоятельно.

Условие i) влечет, что ε > 0 δ(ε) > 0 такое, что(x, y) = (x0, y0), удовлетворяющих условию

существует и равен A.

СЛЕДСТВИЕ. Если в условиях теоремы x (x1, x2) существует конечный предел limy→y0 f(x, y) , то существуют повторные пределы

КОНТРПРИМЕРЫ. Укажем некоторые примеры, показывающие существенность требований, накладываемых в условиях теоремы.

1) Повторные пределы существуют, но не равны:

(Здесь не существует двойной предел.)

2) Существует двойной предел, но нельзя говорить о повторных:

f(x, y) = x sin y1.

Так как

|x sin y1| ≤ |x| ≤ x2 + y2 ,

то существует двойной предел

lim f(x, y) = 0.

(x,y)→(0,0)

Здесь нельзя говорить о повторном пределе

поскольку предел

lim x sin 1

y→0 y

не существует.

§6. Основные свойства непрерывных функций нескольких переменных

ТЕОРЕМА 6.1. Пусть f(x) = f(x1, x2, . . . , xn) – функ-

ция, непрерывная в точке x0 = (x01, x02, . . . , x0n), а функции

x1 = x1(t) , x2 = x2(t) , . . . , xn = xn(t)

непрерывны в точке t0, где x0 = x(t0). Тогда, если определена сложная функция

Φ(t) = f(x1(t), x2(t), . . . , xn(t)) ,

то она также непрерывна при t = t0.

Доказательство. Зададим произвольно ε > 0. Так как f непрерывна, то найдется δ(ε) > 0 такое, что для всех x таких, что |x − x0| < δ(ε), выполнено

|f(x) − f(x0)| < ε.

Каждая из функций xk(t) непрерывна в t0 и потому при любом k = 1, 2, . . . , n существуют δk(δ(ε)) > 0 такие, что

∆(ε) = min{δ1(δ(ε)), . . . , δn(δ(ε))}.

При всех t, |t − t0| < ∆(ε), имеем

и, далее,

|Φ(t) − Φ(t0)| < ε.

УПРАЖНЕНИЕ 1. Сформулировать и доказать теоремы о непрерывности суммы, разности, произведения и частного двух непрерывных функций.

УПРАЖНЕНИЕ 2. Дать определения максимума и минимума функции нескольких переменных. Сформулировать и доказать теоремы Вейерштрасса об ограниченности непрерывной функции и о существовании максимума и минимума непрерывной функции нескольких переменных.

УПРАЖНЕНИЕ 3. Дать определение равномерной непрерывности функции нескольких переменных. Доказать теорему Кантора о равномерной непрерывности.

§7. Понятие области. Теорема об обращении функции в нуль

ОПРЕДЕЛЕНИЕ 7.1. Множество D Rn называется связным, если любые две его точки можно соединить ломаной, состоящей из конечного числа звеньев и целиком содержащейся в D.

ОПРЕДЕЛЕНИЕ 7.2. Открытое связное множество D Rn называется областью.

УПРАЖНЕНИЕ 1. Доказать, что шар в Rn (без ограничивающей его сферы) и эллипсоид (без ограничивающей его поверхности) являются областями.

УПРАЖНЕНИЕ 2. Привести примеры открытых множеств, не являющихся областями.

УПРАЖНЕНИЕ 3. Если D1 и D2 – области в Rn, причем D1 ∩ D2 = , то D1 D2 – также область (доказать!)

ТЕОРЕМА 7.1. Если функция f(x) = f(x1, x2, . . . , xn)

непрерывна в области D Rn и принимает в этой области значения разных знаков, то найдется точка ξ D, в которой f(ξ) = 0.

Доказательство. Предположим, что в точках (x1, . . . , xn) и (x1, . . . , xn) области D Rn функция f принимает значения

разных знаков. Так как D есть область, то найдется ломаная, состоящая из конечного числа прямолинейных звеньев, соединяющая эти точки и целиком содержащаяся в D. Тогда либо в какой-либо из вершин этой ломаной функция f обращается в нуль, либо найдется отрезок, на концах которого f принимает значения разных знаков.

Пусть таковым является отрезок ab, где a = (a1, . . . , an) и b = (b1, . . . , bn). Параметрические уравнения, описывающие