Лосев-КлячинМиклюков МА в КИ

ТЕОРЕМА 2.4. Если каждый из рядов

∞ ∞ ak, bk

k=1 k=1

сходится, то сходится и ряд, полученный их почленным сложением (вычитанием), причем

Доказательство. Достаточно заметить, что при всяком m ≥ 1 выполнено

Дальнейшие аргументы аналогичны приведенным в доказательстве предыдущей теоремы.

ПРИМЕР 1. Ряд

m

((−1)k + (−1)k+1)

k=1

сходится, хотя каждый из рядов

§3. Критерий Коши для числовых рядов

Пусть задан числовой ряд

∞

ak. (1)

k=1

ТЕОРЕМА 3.1 (Критерий Коши для числовых рядов). Ряд (1) сходится тогда и только тогда, когда ε > 0 N(ε) такое, что n ≥ m > N(ε) выполнено

Доказательство. По определению, сходимость ряда равносильна сходимости последовательности его частичных сумм {Sn}. Утверждение теоремы следует из критерия Коши сходимости последовательности {Sn} (вспомните и сформулируйте его!) и замечания о том, что при n ≥ m выполнено

Пусть m такое, что ε ≥ m1−1 , то есть m ≥ 1ε + 1. Выберем N(ε) = 1ε + 1. Таким образом, для любого числа ε > 0, мы

нашли N(ε) : n ≥ m > N(ε)

n

k=m

294 Глава 13. Числовые ряды

ПРИМЕР 2. Докажем расходимость так называемого гар-

критерия Коши. А именно, справедливо следующее утверждение.

Ряд (1) расходится тогда и только тогда, когда

> 21m(2m − m + 1) > 2mm = 12.

Таким образом, выбирая ε = 12 и n = 2m, получаем требуемое.

УПРАЖНЕНИЕ 1. Выясните происхождение названия гармонический ряд, и какое отношение он имеет к музыке?

ТЕОРЕМА 3.2 (Необходимое условие сходимости ряда). Для сходимости ряда (1) необходимо, чтобы его общий член ak → 0 при k → ∞.

Доказательство. На основании критерия Коши сходимости ряда, по ε > 0 можно найти номер N(ε) такой, что при всех m > N(ε) (n = m) выполнено

ЗАМЕЧАНИЕ. Условие ak → 0 при k → ∞ не является достаточным для сходимости ряда (1). К примеру, гармо-

нический ряд расходится, хотя его общий член k1 → 0 при k → ∞.

296 Глава 13. Числовые ряды

Справедливость высказывания (β) следует из (α), посколь-

ЗАМЕЧАНИЕ. В частности, в пункте (α) данной теоремы доказано, что если сходится ряд ∞ |an|, то сходится и ряд

n=1

∞

an.

n=1

УПРАЖНЕНИЕ 1. Выясните, верно ли следующее утвер-

мы можем заданный ряд промажорировать геометрической

прогрессией со знаменателем q = 15 < 1. Т.к. геометрическая прогрессия с таким знаменателем сходится, то по признаку сравнения сходится и первоначальный ряд.

ПРИМЕР 2. Исследуем на сходимость ряд

∞ 1

n=1 nα ,

где 0 < α < 1. Учитывая неравенство n1 < n1α и расходимость гармонического ряда, по признаку сравнения получаем расходимость первоначального ряда.

ТЕОРЕМА 4.2. Пусть

Тогда ряды (1) и (2) сходятся либо расходятся одновременно.

Доказательство. В силу соотношения (3), по ε > 0 найдется номер N(ε) такой, что при всех n > N(ε) выполнено

Поскольку умножение на постоянную, не равную нулю, не влияет на сходимость либо расходимость ряда, то нужное заключение следует из (4) и (5) на основании теоремы 4.1.

ЗАМЕЧАНИЕ. Если K = 0, то из (4) видно, что сходимость ряда (2) влечет сходимость ряда (1), а расходимость

(1) — расходимость (2). Если K = ∞, то

lim bn = 0

n→∞ an

и рассуждения такие же, как и в предыдущем случае.

УПРАЖНЕНИЕ 2. Доказать либо опровергнуть утверждение теоремы 4.2 без предположения о положительности рядов.

298 Глава 13. Числовые ряды

ТЕОРЕМА 4.3. Пусть

– ряды с положительными членами, и пусть при n ≥ N0 выполнено

Тогда из сходимости ряда (2) следует сходимость ряда (1), а из расходимости ряда (1) следует расходимость ряда (2).

Доказательство. Не умаляя общности, можно считать, что соотношения (6) справедливы при всех n = 1, 2, . . .. В этом случае мы имеем

Перемножая почленно эти неравенства, получаем

Дальнейшие рассуждения очевидны (проведите их самостоятельно).

§5. Ряды с неотрицательными членами

Признаки сравнения очень полезны, но чтобы успешно применять их мы должны иметь перед собой набор рядов с неотрицательными членами, заведомо сходящихся, либо расходящихся.

Простейшим из всех таких рядов, по-видимому, является геометрическая прогрессия. В силу важности данного ряда, уже рассмотренного нами в примере 2 первого параграфа данной главы, еще раз сформулируем полученный там результат.

ТЕОРЕМА 5.1. Если 0 < a < 1, то

∞ ak = 1 −1 a.

k=0

Если a ≥ 1, то этот ряд расходится.

Далее рассмотрим более общий случай. Справедливо следующее утверждение.

ТЕОРЕМА 5.2 (Коши). Допустим, что

a1 ≥ a2 ≥ . . . ≥ ak ≥ . . . ≥ 0.

Тогда ряд

Доказательство. Положим

Sn = a1 + a2 + . . . + an

и

tk = a1 + 2a2 + . . . + 2ka2k .

При n < 2k выполнено n < 2k+1 − 1 и, далее,

Sn < S2k+1−1 = a1 + (a2 + a3) + (a4 + a5 + a6 + a7) + . . . +

+(a2k + a2k+1 + . . . + a2k+1−1) ≤ a1 + 2a2 + 4a4 + . . . + +2ka2k ≡ tk,

т.е. при n < 2k выполнено

При n > 2k получаем

Sn > S2k = a1 + a2 + (a3 + a4) + (a5 + a6 + a7 + a8) + . . . + +(a2k−1+1 + . . . + a2k ) ≥ 12 a1 + a2 + 2a4 + 4a8 + . . . +

+2k−1a2k ≡ 12 tk,