§5. Определенный интеграл с переменным верхним пределом |
201 |
Так как g ≡0, то существует точка x0 в которой g(x0) > 0. Тогда из непрерывности g(x) следует, что g(x) > 0 в некоторой окрестности точки x0 и, стало быть, выполнено неравенство
b
g(x) dx > 0.
a
Таким образом, при g(x) ≡0 выполнено
b
|
g(x) f(x) dx |
|
m ≤ |
a |
≤ M. |
b |
|
g(x) dx |
|
|
a |
|
Но f(x) непрерывна, а потому принимает все промежуточные значения между m и M. Таким образом, существует точка ξ [a, b] такая, что
f(ξ) = |
ab g(x) f(x) dx |
. |
|
|
ab g(x) dx |
§5. Определенный интеграл с переменным верхним пределом
5.1.Непрерывность по верхнему пределу
Пусть f – интегрируемая на [a, b] функция и пусть z – произвольная точка из [a, b]. Мы полагаем
z
Φ(z) = f(x) dx.
a
ТЕОРЕМА 5.1. Если f интегрируема на [a, b], то Φ непрерывна на [a, b].
Доказательство. Так как функция f интегрируема, то она ограничена на [a, b] и
M = sup |f(x)| < ∞.
202 |
|
|
|
|
|
|
|
|
Глава 10. Свойства интегрируемых функций |
Для произвольной пары точек z < z из [a, b] мы имеем |
|
|
|
|
|
|
|
z |
z |
|
|
|
|
|
|
Φ(z ) − Φ(z ) = a |
f(x) dx − a |
f(x) dx = |
|
|
= z |
f(x) dx + z f(x) dx − z |
f(x) dx |
|
|
|
a |
|
|
|
|
z |
|
a |
|
|
|
|
|
и, следовательно, |
| |
z |
|
|
≤ |
|
| |
|
| |
|
≤ |
| |
Φ(z ) |
− |
Φ(z ) |
|
|
|
f(x) |
dx |
|
|
|
= |
|
z f(x) dx |
z |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
z |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
z |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
≤ M |
dx = M (z − z ). |
|
|
z
Таким образом,
|Φ(z ) − Φ(z )| ≤ M |z − z |,
и, поэтому, Φ непрерывна на [a, b].
5.2.Дифференцируемость по переменному верхнему пределу
Пусть, как и выше,
z
Φ(z) = f(x) dx, a ≤ z ≤ b.
a
ТЕОРЕМА 5.2. Если функция f непрерывна на [a, b], то Φ дифференцируема на [a, b], причем
Φ (z) = f(z) для всех z [a, b].
§5. Определенный интеграл с переменным верхним пределом |
203 |
Доказательство. Фиксируем z [a, b]. Придадим z приращение ∆z так, чтобы точка z +∆z [a, b]. Тогда справедливо
|
z+∆z |
z |
|
z+∆z |
Φ(z + ∆z) − Φ(z) = |
a |
f(x) dx − |
a |
f(x)dx = |
z |
f(x) dx. |
По теореме о среднем существует точка ξ, лежащая между z и z + ∆z и такая, что
z+∆z
f(x) dx = f(ξ) ∆z.
z
При ∆z → 0 точка ξ → z, и мы получаем
lim |
Φ(z + ∆z) − Φ(z) |
= lim f(ξ). |
∆z→0 |
∆z |
ξ→z |
Так как f непрерывна, то предел в правой части существует и равен f(z). Значит, существует предел в левой части, который также равен f(z).
СЛЕДСТВИЕ. Если f непрерывна на [a, b], то она имеет первообразную. Такой первообразной является, например,
функция
z
Φ(z) = f(x) dx.
a
5.3.Интегрируемая по Риману функция, не имеющая первообразной
Рассмотрим функцию |
|
|
|
|
f(x) = |
0 |
при |
x |
0, |
1 |
при |
x >≤ |
0. |
Данная функция имеет единственную точку разрыва, а потому интегрируема на [−1, 1]. С другой стороны,
z |
|
|
|
при |
|
−1 |
|
0 |
1 z 0, |
Φ(z) = |
f(x)dx = |
|
z |
при |
0−<≤z ≤≤1. |
Функция Φ не имеет производной в точке 0.
204 |
Глава 10. Свойства интегрируемых функций |
Вообще, функция f не имеет первообразной. Действительно, существование функции F со свойством
F (x) = f(x) x [a, b]
противоречит теореме Дарбу, согласно которой F (x) обязана
принимать все промежуточные значения между
F (−1) = f(−1) = 0 и F (1) = f(1) = 1.
5.4.Неинтегрируемая по Риману функция, имеющая первообразную
Рассмотрим функцию |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
F (x) = |
xα sin(1/x) |
при |
|
x > 0, |
|
0 |
|
|
|
|
при |
|
x = 0. |
|
Если α > 1, то существует производная |
|
|
) x = 0. |
F (x) = f(x) = |
0 |
|
− |
1 |
sin(1 |
|
) − |
xα |
− |
2 |
cos(1 |
|
αxα |
|
|
/x |
|
|
|
|
/x x = 0, |
Ясно, что F есть первообразная по отношению к f. Однако, при 1 < α < 2 функция f неограничена в окрестности точки x = 0, а потому не является непрерывной и даже интегрируемой.
§6. Связь определенного интеграла с неопределенным. Формула Ньютона – Лейбница
ТЕОРЕМА 6.1 (формула Ньютона-Лейбница). Если f непрерывна на [a, b] и F – произвольная ее первообразная на [a, b], то
b
f(x) dx = F (b) − F (a).
a
Доказательство. Как было только что доказано, функция
x
Φ(x) = f(t) dt
a
является первообразной для функции f. Однако, как было доказано еще ранее, любые две первообразные могут отличаться разве лишь на константу, т.е. существует константа C
§7. Замена переменной в определенном интеграле |
205 |
такая, что |
|
Φ(x) − F (x) = C для любого |
x [a, b]. |
Следовательно, Φ(x) = F (x) + C и мы получаем
b
f(x) dx = Φ(b) − Φ(a) =
a
= (F (b) + C) − (F (a) + C) = F (b) − F (a).
ЗАМЕЧАНИЕ. В дальнейшем мы будем пользоваться следующим обозначением
F (x) ba = F (b) − F (a).
ПРИМЕР. Вычислим интеграл
π/2
cos x dx = sin x|π/0 2 = sin(π/2) − sin 0 = 1.
0
§7. Замена переменной в определенном интеграле
ТЕОРЕМА 7.1. Предположим, что функция f непрерывна на [a, b], а функция ϕ непрерывно дифференцируема на [α, β] и обладает свойствами:
i)ϕ(α) = a, ϕ(β) = b.
ii)a ≤ ϕ(t) ≤ b для всех t [α, β]. Тогда выполнено
b β
f(x) dx = f(ϕ(t)) ϕ (t) dt.
Доказательство. Так как f непрерывна, то она имеет первообразную F . При этом по формуле Ньютона-Лейбница:
b
f(x) dx = F (b) − F (a). |
(1) |
§8. Интегрирование по частям в определенном интеграле |
207 |
§8. Интегрирование по частям в определенном интеграле
ТЕОРЕМА 8.1. Пусть u, v – непрерывно дифференцируемые на [a, b] функции. Тогда
b b
u(x) v (x) dx = u(x)v(x)|ba − u (x) v(x) dx.
a a
Доказательство. Так как функции (u v ) и (u v) непрерывны, то существуют их первообразные P и Q соответственно. Функция P + Q является первообразной по отношению к (u v) . Таким образом,
P (x) = u(x)v(x) − Q(x) + const, x [a, b] |
|
и |
|
P (b) − P (a) = u(x)v(x)|ab − (Q(b) − Q(a)) . |
(1) |
Однако
b
u(x) v (x) dx = P (b) − P (a),
a
и
b
[u(x) v(x)] |ba − Q(x)|ba = u(x)v(x)|ba − u (x) v(x) dx.
a
Сопоставляя данные соотношения с (1), получаем нужное.
§9. Формула Валлиса
ТЕОРЕМА 9.1. Справедливо следующее соотношение
|
1 |
|
|
|
(2n)!! |
|
2 |
π |
|
lim |
|
|
= |
, |
|
|
|
(2n − 1)!! |
2 |
n→∞ 2n + 1 |
|
|
где (2n)!! = 2·4·6· . |
. . · |
2n и (2n−1)!! = 1·3·5· . . . ·(2n−1). |
208 |
Глава 10. Свойства интегрируемых функций |
Доказательство. Вычислим
π/2
Im = sinm x dx, (m = 1, 2, . . . ).
0
Ясно, что I0 = π/2, I1 = 1. Пусть m > 1. Пользуясь формулой интегрирования по частям, имеем
π/2 |
|
|
π/2 |
|
|
Im = 0 |
sinm x dx = |
0 |
sinm−1 x d(− cos x) = |
|
|
|
|
|
|
π/2 |
= − sinm−1 x cos x |
+ (m − 1) |
0 |
sinm−2 x cos2 x dx = |
0π/2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
π/2
= (m−1) sinm−2 x (1−sin2 x) dx = (m−1)Im−2 −(m−1)Im.
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Тем самым, мы получаем рекуррентную формулу |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Im = |
m − 1 |
Im−2. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
m |
|
|
|
|
|
|
|
Пусть m = 2n – четное (n ≥ 1). Тогда |
|
|
|
|
|
|
|
I |
2n |
= |
2n − 1 |
I |
2n−2 |
= |
2n − 1 |
2n − 3 |
I |
2n−4 |
= |
· · · |
= |
|
|
|
|
2n |
|
|
2n 2n − 2 |
|
|
|
|
|
= |
|
2n − 1 |
|
2n − 3 |
. . . |
|
1 |
I0, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
т.е. |
|
|
|
|
|
|
2n 2n − 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(2n − 1)(2n − 3) . . . 1 |
|
π |
|
|
|
|
(2n − 1)!! |
|
π |
|
|
|
I2n = |
|
|
= |
|
. |
(1) |
|
2n(2n − 2) . . . 2 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(2n)!! |
2 |
|
|
Здесь и ниже k!! – произведение всех нечетных чисел 1·3 · · · k, если k нечетно, и произведение всех четных чисел 2 · 4 · · · k, если k четно.
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Пусть m = 2n − 1 – нечетное (n ≥ 2). Тогда |
|
I |
2n−1 |
= |
2n − 2 |
I |
2n−3 |
= |
· · · |
= |
(2n − 2)(2n − 4) . . . 2 |
, |
|
(2n − 1)(2n − 3) . . . 1 |
и |
|
2n − 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(2n − 2)!! |
|
|
|
|
|
|
|
I2n−1 = |
. |
(2) |
|
|
|
|
|
|
|
|
(2n − 1)!! |
|
§10. Приближенные методы вычисления определенного интеграла |
209 |
Так как при x [0, π/2] выполнено 0 ≤ sin x ≤ 1, то для любого n = 1, 2, . . . справедливо двойное неравенство
sin2n+1 x ≤ sin2n x ≤ sin2n−1 x.
Интегрируя, получаем
|
|
|
π/2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
π/2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
π/2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
sin2n+1 x dx ≤ |
0 |
|
|
|
sin2n xd x ≤ 0 |
|
|
|
sin2n−1 x dx. |
|
|
|
|
|
Пользуясь соотношениями (1), (2), находим |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(2n)!! |
|
|
|
|
|
|
|
(2n − 1)!! |
|
π |
|
|
|
(2n − 2)!! |
, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(2n + 1)!! ≤ |
|
|
|
|
|
(2n)!! |
|
|
2 ≤ (2n |
− |
1)!! |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
или |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
(2n)!! |
|
|
|
2 |
|
|
|
π |
|
|
|
|
(2n |
|
|
|
2)!! |
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(2n)!! |
2 |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
≤ |
|
|
|
|
|
≤ |
(2n |
− |
1)!! |
|
|
2n = |
|
|
|
|
|
|
|
|
. |
(2n + 1) |
(2n |
− |
1)!! |
|
2 |
|
− |
|
(2n |
− |
1)!! |
2n |
Далее имеем |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
π |
1 |
|
|
|
|
|
|
(2n)!! |
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
(2n)!! |
|
|
|
|
2 |
|
|
|
1 |
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
≤ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= |
|
|
0 ≤ |
|
− |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
− |
|
|
|
2 |
2n + 1 |
(2n − 1)!! |
|
|
(2n − 1)!! |
2n |
2n + 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
= |
|
|
(2n)!! |
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
π 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
≤ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
или |
(2n − 1)!! |
|
2n(2n + 1) |
2 |
2n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
π |
− |
|
|
(2n)!! |
|
|
|
2 |
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
π |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 ≤ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
≤ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(3) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
(2n − 1)!! |
|
|
|
2n + 1 |
|
|
|
|
4n |
|
|
|
|
|
|
|
В силу (3), заключаем о существовании следующего предела |
|
|
и справедливости формулы Валлиса2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(2n)!! |
2 |
|
|
|
|
|
π |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
lim |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(2n − 1)!! |
= |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n→∞ 2n + 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Заметим, что (3) дает также оценку скорости сходимости данной последовательности рациональных дробей к π/2. 
§10. Приближенные методы вычисления определенного интеграла
Предположим, что требуется вычислить определенный интеграл от непрерывной на [a, b] функции, а первообразную
2Валлис Джон (23.11.1616-28.10.1703). Род. в Кентском уезде (Англия). Один из основателей и первых членов Лондонского королевского общества.
210 |
Глава 10. Свойства интегрируемых функций |
мы найти затрудняемся (или она имеет сложный вид). Тогда интеграл вычисляется приближенно.
Имеется достаточно много различных методов приближенного нахождения интегралов. Мы изучим здесь только три из них — метод прямоугольников, метод трапеций и метод парабол (метод Симпсона3).
10.1.Формула прямоугольников
Здесь мы используем непосредственно приближения определенного интеграла интегральными суммами Римана
|
b |
|
n−1 |
|
|
|
a |
|
|
|
|
|
f(x) dx |
|
|
f(ξ |
) ∆x |
. |
|
|
= |
µ(T )→0 i=0 |
i |
i |
|
Пусть T – разбиение отрезка [a, b] на n равных частей точ-
ками |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
a = x |
0 |
< x |
1 |
= a + |
b − a |
< x |
2 |
= a + |
2(b − a) |
< |
· · · |
< x |
k |
= |
|
|
|
|
n |
|
|
|
|
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
= a + |
k(b − a) |
< |
· · · |
< x |
n |
= b. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3Симпсон Томас (20.8.1710-14.5.1761). Профессор математики в военной академии в Вульвиче (Англия). Автор работ, посвященным приближенному интегрированию, элементарной геометрии, анализу, теории вероятностей.
