Непейвода. Прикладная логика

8.2. ТЕОРИЯ, МОДЕЛЬ, ЛОГИЧЕСКОЕ СЛЕДСТВИЕ

201

Для учета изменения фактов и выводов по умолчанию в искусственном

интеллекте стали развиваться логики немонотонного вывода6.

И наконец, если наши действия необратимы (для этого достаточно,

чтобы в рассмотрение было введено время), то не всегда целесообразно

сохранять рефлексивность следования.

Вернемся к классической логике. Как видно, все, что следует из те-

ории с пустым множеством аксиом,

истинно в любой интерпретации и

следует из любой теории данной сигнатуры. И наоборот, если теория

вообще не имеет моделей, то из нее следует все, что угодно. Эти два

важных частных случая отражаются следующим определением.

Определение 8.2.3. (Логика предикатов, тавтологии, противоречия)

Логика предикатов сигнатуры σ —

теория с пустым множеством ак-

сиом.

теорема логики.

Тавтология —

Противоречивая теория —

теория, не имеющая моделей.

Противоречие —

такая формула

A, что {A} противоречива.

Формулы A и

B логически эквивалентны, если A B —

тавтоло-

гия.Итак, противоречие ложно в любой интерпретации. В противоре-

чивой теории в любой интерпретации ложна хотя бы одна из аксиом.

Эквивалентные формулы имеют одинаковые значения в любой интер-

претации.

Отметим несколько часто используемых отношения между интер-

претациями.

Если M и N — интерпретации одной и той же сиг-

Определение 8.2.4.

натуры, универсы M являются подмножествами соответствующих уни-

версов

N,

интерпретации констант совпадают, а интерпретации функ-

ций и предикатов в M являются сужениями соответствующих интерпре-

таций в N, то M —

подинтерпретация (соответственно, подмодель) N,

а N —

расширение

(надинтерпретация, надмодель) M. В этом случае

пишут M N.

Если все множества сигнатуры σ вложены в соответствующие мно-

жества из

σ1, то σ называется сужением (подсигнатурой, обеднением)

σ1, а σ1 —

расширением (обогащением, надсигнатурой) σ. Обозначает-

ся

σ σ1.

первым их создал бразильский философ Ньютон да Коста для формализа-

6

Впрочем,

ции рассуждений, базирующихся на противоречивых посылках.

202

ГЛАВА 8. СЕМАНТИКА КЛАССИЧЕСКОЙ ЛОГИКИ

Интерпретация M сигнатуры σ является сужением (обеднением) ин-

терпретации N сигнатуры σ1, такой, что σ σ1, если для всех понятий

из

σ интерпретации в M и N совпадают.

В этом случае N называется

обогащением M.

Суммируем:

Семантика чаще всего определяет функцию, задающую зна-

чения формул в интерпретации.

Интерпретация называется моделью теории Th, если в ней

истинны все аксиомы Th.

Семантика задает отношение семантического следования меж-

ду теорией и формулой: формула следует из теории, если

она истинна во всех ее моделях.

рефлексивность, моно-

Основные свойства следования —

тонность, транзитивность и теорема дедукции. Все они ино-

гда нарушаются в современных неклассических системах,

но для их нарушения нужны серьезные основания.

Чтобы применять классическую логику, необходимо быть

уверенным как минимум в том, что имеющиеся ресурсы до-

статочно велики либо расходуемые достаточно малы, чтобы

пренебречь их ограниченностью; что новое знание не может

перечеркнуть старое, что мы можем пренебречь временем

либо, по крайней мере,

его необратимостью.

8.2. ТЕОРИЯ, МОДЕЛЬ, ЛОГИЧЕСКОЕ СЛЕДСТВИЕ

203

8.2.3. Следует ли из теории {¬x yA(x, y), x A(x, x)} формула

x y A(x, y)?

8.2.4. Если множество констант есть {0, 1, . . . , n, . . . } для всех нату-

ральных чисел, то следует ли из теории {A(0), A(1), . . . , A(n), . . . }

формула xA(x)?

сигнатуры h0, S(), +(, ), (, ), = (, )i, где

8.2.5. Рассмотрим теорию Q

0 —

константа, S, +, —

функции, равенство —

предикат, c ак-

сиомами:

x y (S(x) = S(y) x = y) ; x y (x + S(y) = S(x + y)) ;

x ¬S(x) = 0;

x (x 0 = 0) ;

x (¬x = 0 y (x = S(y))) ; x y (x S(y) = x y + x) ;

x (x + 0 = x) .

Показать что множество натуральных чисел

обычными

x, y, z(x ◦ (y ◦ z) = (x ◦ y) ◦ z), x, y, z, u(x ◦ y = z y ◦ z 6= x),

x, y(x < y z x ◦ z = y).

Противоречива ли данная теория?

8.2.7.

Покажите, что всякая модель OS является обогащением модели

теории частичного порядка. Почему данное упражнение практи-

чески независимо от предшествующего (точнее, почему нет усло-

вия «Если теория OS непротиворечива, то. . . »)?

8.2.8.

Могут ли быть у теории OS конечные модели, если могут, то ка-

кие? От какого из предыдущих упражнений зависит данное?

204

ГЛАВА 8. СЕМАНТИКА КЛАССИЧЕСКОЙ ЛОГИКИ

§ 8.3. ТЕОРЕМА О ЗАМЕНЕ ЭКВИВАЛЕНТНЫХ

фор-

Теорема 8.1. Теорема о замене эквивалентных. Пусть A, B —

мулы, имеющие одни и те же свободные переменные x1, . . . , xn, и

x1 . . . xn(A(x1

, . . . , xn) B(x1, . . . , xn))

— теорема Th. Пусть C{A} —

формула с выделенным вхождением под-

формулы A; C{B} —

результат замены в ней этого вхождения

A на

B. Пусть y1,. . . , yk —

список всех свободных переменных C{A}. Тогда

y1 . . . yk(C{A} C{B}) является теоремой Th.

Доказательство. Индукцией по построению C.

есть

Базис индукции.

Если C элементарна, то C{A} есть A, C{B}

B, свободные переменные C{A} — это x1, . . . , xn; следовательно,

есть сама

y1 . . . yk(C{A} C{B})

x1 . . . xn (A (x1, . . . , xn) B (x1, . . . , xn)) .

Шаг индукции. Пусть теорема доказана для компонент C. Если A

совпадает с самой C, то поступаем как в базисе индукции. Если же нет,

то разбираем случаи, соответствующие построению C. Пусть C есть

(C1 & C2). Тогда A входит либо в C1, либо в C2. В первом случае поль-

зуемся тавтологией (4.50), во втором —

аналогичной ей с перестановкой

членов конъюнкции. Все остальные пункты определения рассматрива-

ются подобно же.

Доказанная теорема может показаться слишком тривиальной, но рас-

смотрение неклассических логик показывает, как легко ее можно нару-

шить. Другое дело, что наличие свойства замены эквивалентных явля-

ется весьма желательным для любой логики, а если уж его нет, надо

подумать, чем его заменить. Например, можно ввести понятие “ сильно-

го отрицания”, когда предикат задается парой непересекающихся мно-

жеств —

множества истинности и множества опровержимости. В этом

8.4. БУЛЕВЫ АЛГЕБРЫ

205

где — операция взятия опровержения формулы. Такие формулы есте-

ственно назвать сильно эквивалентными. Итак, если нарушается свой-

ство замены эквивалентных, ищите, какую сильную эквивалентность

нужно ввести для его спасения.

Упражнения к § 8.3

8.3.1.

Покажите, что формула

x (A(x) z(B(z)&C(x, z)))

x (A(x)& z(B(z) ¬ C(x, z)))

является тавтологией.

§ 8.4.

БУЛЕВЫ АЛГЕБРЫ И

АЛГЕБРАИЧЕСКАЯ СЕМАНТИКА.

Систему булевых операций можно охарактеризовать аксиоматически.

Определение 8.4.1. Булева алгебра —

множество B c бинарными опе-

рациями , ∩ и унарной −, удовлетворяющими следующим аксиомам:

A B = B A;

A ∩ B = B ∩ A;

A (B C) = (A B) C;

A ∩ (B ∩ C) = (A ∩ B) ∩ C;

(A ∩ B) B = B;

(A B) ∩ B = B;

A (B ∩ C) = (A B) ∩ (A C); A ∩ (B C) = (A ∩ B) (A ∩ C);

(A ∩ −A) B = B;

(A −A) ∩ B = B.

Рассмотрим отношение Th ` A B. Оно транзитивно, рефлексив-

но, симметрично и, согласно теореме о замене эквивалентных, согла-

суется с логическими операциями. Таким образом, можно определить

алгебру Линденбаума-Тарского теории Th как фактор-множество мно-

жества замкнутых формул сигнатуры σ по отношению Th ` A B.

Пересечению соответствует в ней &, объединению — , дополнению —

отрицание. Отметим, что конструкция алгебры Линденбаума-Тарского

переносится и на неклассические логики, лишь бы сохранялась теорема

о замене эквивалентных.

Очевидно, что алгебра Линденбаума-Тарского классической теории

является булевой. И обратно, любая булева алгебра может быть исполь-

зована, чтобы интерпретировать классические теории.

пятерка

Определение 8.4.2. Булевозначная модель сигнатуры σ —

(U, B, C, P, F ),

как в

где B — полная булева алгебра, универс, константы и функции —

двузначной модели, предикаты интерпретируются как функции из Un в

булеву алгебру истинностных значений B. Определение значений фор-

мул аналогично определению истинности, соответствие операциям —

как в алгебре Линденбаума-Тарского, квантору всеобщности соответ-

ствует бесконечное пересечение, квантору существования —

бесконеч-

ное объединение.

Преимущество булевозначных моделей в том, что они дают возмож-

ность строить точные модели теорий, в которых формула истинна тогда

и только тогда, когда она является теоремой. Двузначных точных моде-

лей не удается построить даже для теории {A B, B C}. Заодно бу-

левозначные модели развеивают предрассудок, что классическая логика

предполагает наличие всего двух значений истинности. Хорошее и глу-

бокое изложение взаимосвязи булевых алгебр с логикой можно найти в

книге [26].

Подытожим:

Классическая логика не обязательно требует двузначности

интерпретаций. Достаточно, чтобы множество истинност-

ных значений образовывало булеву алгебру.

бу-

Наоборот, если множество истинностных значений —

лева алгебра, то логика данной интерпретации —

классиче-

ская либо ее расширение дополнительными связками.

8.4. БУЛЕВЫ АЛГЕБРЫ

207

Любая логика (не только классическая), в которой есть свой-

ство замены эквивалентных, задает для каждой теории свою

алгебру логических значений —

алгебру Линденбаума-Тар-

ского, алгебру эквивалентных формул.

Для того, чтобы строить точную модель, в которой форму-

ла истинна тогда и только тогда, когда следует из аксиом,

необходимо переходить к булевым алгебрам. Для этой цели

двузначных моделей недостаточно.

Упражнения к § 8.4

8.4.1.

Построить булеву алгебру с четырьмя элементами.

8.4.2.

Студент Интеллектуалов построил булеву алгебру с четырьмя эле-

ментами следующим образом:

он взял диаграмму Эйлера

и сказал, что изображенные на ней три множества плюс пустое

составляют такую алгебру. Сравните его решение с Вашим.

8.4.3. Доказать, что отношение X Y = X (обозначается Y 6 X)

является отношением порядка в булевой алгебре.

8.4.4.

Доказать, что в булевой алгебре имеются наибольший элемент 1

и наименьший элемент 0.

8.4.5.

Доказать, что в алгебре Линденбаума-Тарского единица соответ-

ствует классу всех теорем, ноль —

классу всех противоречий.

8.4.6.

Доказать, что (A B) тогда и только тогда, когда B > A в алге-

бре Линденбаума-Тарского.

8.4.7. Доказать, что X ∩ Y является точной нижней гранью X и Y от-

носительно определенного нами порядка.

8.4.8.

Показать, что нет булевых алгебр с тремя элементами.

8.4.9.

Построить точную модель для теории

208

ГЛАВА 8.

СЕМАНТИКА КЛАССИЧЕСКОЙ ЛОГИКИ

8.4.10. Пусть A —

алгебра, удовлетворяющая следующим аксиомам:

A ∩ B = −A −B;

A B = B A;

A (B C) = (A B) C; (A ∩ B) (A ∩ −B) = A.

Тогда A — булева алгебра.

8.4.11.

Чтобы непустое подмножество булевой алгебры было ее подал-

геброй, достаточно его замкнутости относительно ∩ и −.

8.4.12.

Постройте булевозначную модель, в которой для некоторых A,

B формула

A B истинна,

но ни одна из элементарных формул

истинной не является.

8.4.13.

Какое минимальное количество элементов должна иметь булева

алгебра логических значений для точной модели теории {A B, B C}?

8.4.14.

Можно ли для всех пропозициональных теорий в данной сиг-

натуре подобрать единую булеву алгебру, которая может служить

алгеброй логических значений для их точных моделей? В каких

случаях эту булеву алгебру можно взять конечной?

8.4.15.

Во время математического боя студент Гениалькис, обосновы-

вая свое решение, заявил, что поскольку булева алгебра B конеч-

на, она полна. Ссылки на книгу, откуда он взял эту теорему, он не

дал. Будете ли Вы опротестовывать его доказательство на основа-

нии данного утверждения?

§ 8.5.

ЯЗЫКИ ВЫСШИХ ПОРЯДКОВ

Рассмотрим еще один вид языков, занимающих промежуточное положе-

ние между чистой логикой и теорией множеств. Обычно их тоже счита-

ют логическими языками.

Разберемся в разнице между конкретной теорией и логикой. Почему

теорию множеств безоговорочно считают конкретной, а вот язык преди-

катов —

логическим? Для этого рассмотрим множество интерпретаций,

8.5. ЯЗЫКИ ВЫСШИХ ПОРЯДКОВ

209

интерпретаций намного шире и намного проще определен, чем класс

моделей теории множеств.

а ведь формулируя опре-

Но проницательный читатель может заявить:

деление интерпретации, мы также принимали целый ряд предположе-

ний! Приведем два наиболее явственных: логических значений лишь

два, универс непуст. . . А сколько еще неявных предположений пролезло

с использованными математическими терминами? Ну ладно, насчет те-

ории множеств я еще могу согласиться, что это —

слишком конкретная

теория, но чем хуже, например, отношение порядка, чем отношение ра-

венства? Почему теория частичного порядка считается математической,

а не логической?

Как часто бывает, кое в чем проницательный читатель прав. В вопро-

се стоит разобраться с другой стороны. Чем же помешает отношение по-

рядка? Рассмотрим простую теорему, явившуюся одним из первых стро-

го установленных свойств классической логики. Определим предика-

тор как выражение вида $x1, . . . , xn A(x1, . . . , xn), где A(x1, . . . , xn) —

формула. Здесь $ рассматривается как квантор, связывающий перемен-

ные x1, . . . , xn. Предикатор служит синтаксическим объектом для под-

становки вместо предикатов. Теперь можно определить подстановку пре-

дикатора вместо предиката аналогично тому, как мы делали для термов

и переменных. Заменяются лишь базисные шаги.

4

Subst (P (t1, . . . , tn), P, $x1, . . . , xn) = Subst (A, (x1, . . . , xn), (t1, . . . , tn)) .

Как и для термов, подстановку часто сокращенно обозначают

A{P |

$

B}.

Доказательство. Рассмотрим два случая. Пусть сначала P не входит

в A. Поскольку P не входит в C{P | $ A}, по любой интерпретации

этой формулы строится интерпретация самой C, в которой она имеет

то же значение, определяя P (t1, . . . , tn) через значение A(t1, . . . , tn). А

по предположению C —

тавтология. Значит, результат замены истинен

во всех интерпретациях.

Пусть теперь P входит в подставляемый предикатор. Тогда любое

вхождение P в C{P |

A} является результатом одной из замен, и по

любой интерпретации

M формулы C{P | $ A} строим другую интер-

$

Теперь рассмотрим расширение языка логики предикатов, в кото-

ром сохраняется теорема о подстановке вместо предикатов. Разрешим

всевозможные конечные типы, построенные из исходных типов o и t

(объекты и логические значения), и выдающие результатом логические

значения. Таким образом, теперь аргументами предикатов могут быть

предикаты. Разрешим переменные по каждому типу и обычные кванто-

ры всеобщности и существования по каждому типу. Итак, теперь у нас

могут быть переменные по логическим значениям, переменные по одно-

местным обычным предикатам, переменные по предикатам, первым ар-

гументом которых служит двуместный предикат, вторым —

логическое

значение, третьим —

объект и т. д., и т. п. Но поскольку язык строго ти-